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教学内容:圆与圆的位置关系

【重点、难点、考点】 重点:两圆相切,相交时公切线或公共弦与连心线的关系、性质及应用. 难点:综合运用圆与三角形、四边形及相似形的知识解题. 考点:两圆相交或相切的图形、内切圆的外公切线与外切圆的内公切线是考查频率最高的辅助线.

【经典范例引路】 例1 (2001 年江西省中考题)如图,⊙O1 与⊙O2 相交

于 A、B 两点,AC 切⊙O1 于点 A,交⊙O2 于点 C;BD 切⊙O2 于点 B,并⊙O1 于
2

点 D,连结 AB、AD、BC。(1)求证:AB =AD·BC;(2)若∠C=∠D,问四边形 ADBC 是什么四边形?请加以证明.

证明:(1)∵DB 是⊙O2 的切线,∴∠DBA=∠C,同理∠CAB=∠D.

AB ∴△BDA∽△CAB,∴ BC

=

AD AB

,即 AB =AD·BC。

2

(2)当∠C=∠D 时,四边形 ADBC 是平行四边形. 证明:∵△BDA∽△CAB,∴∠DAB=∠ABC,又∵∠D=∠C, ∠D=∠BAC,∠C=∠DBA,∴∠DBA=∠BAC, ∠DBC=∠CAD,∴四边形 ADBC 是平行四边形.

【解题技巧点拨】 本题要充分运用圆的切线、与圆有关的角的性质,相似三角形的判定与性质和平行四边形的判定来证题。 例2 (2001 年武汉市中考题)已知:如图,⊙O1 与⊙O2 相交于 A、B 两点,过 B 点作⊙O1 的切线交⊙O2 于 D 点,连结 DA 并延长与

⊙O1 相交手 C 点,连结 BC,过 A 点作 AE∥BC 与⊙O2 相交于 E 点,与 BD 相交于 F 点.(1)求证:EF·BC=DE·AC;(2)若 AD=3, AC=1,AF=

3 ,求 EF 的长.

(1)证明:连结 AB.∵AE∥BC,∴∠CBA=∠BAE, 又∵∠BAE=∠EDB,∴∠CBA=∠EDB, ∵∠C=∠ABD,又∵∠ABD=∠E,∴∠C=∠E

AC ∴△ACB∽△FED,∴ EF

BC = DE

,即 EF·BC=DE·AC。

DA (2)解:∵AF∥BC,∴ DC

AF = BC

3 4 3 ,即 3 ? 1 = BC ,∴BC= 3

3

∵AE∥BC,∵∠DAE=∠C,由(1)知∠C=∠E,∴∠DAE=∠E, ∴DA=DE=3,由(1)知 EF·BC=DE·AC 得:

DE ? AC BC EF=



3 ?1 4 3 3

3 3 ,∴EF 的长是 4



提示本题要注意相交两圆的公共弦 AB 这一重要的辅助线,同时要充分运用平行线,圆的切线这些特殊的位置关系得到相等的角, 从而得到相似三角形,最终得到相应的比例线段.

【综合能力训练】 一、填空题 1.(2001 年北京市海淀市海淀区中考题)已知两圆内切,圆心距为 2cm,其中一个圆的半径为 3cm,那么另一个圆的半径为 cm. 2.⊙O1、⊙O2、⊙O3 是三个半径为 1 的等圆,且圆心在同一条直线上,若⊙O2 分别与⊙O1、⊙O3 相交,⊙O1 与⊙O3 不相交,则⊙O1 与 ⊙O3 的圆心距 d 的取值范围是 .(2001 年安徽省中考题)

3.(2001 年大连市中考题)如图,正方形 ABCD 的边长为 2,分别以 AB、BC 为直径在正方形内作半圆,则图中阴影部分的面积为 平方单位.

4.当两圆只有两条公切线时,这两圆的位置关系是

,并且这两条公切线长



5.两圆外切时圆心距为 5,且内切时圆心距为 1,如果这两圆外离时一条内公切线长为 2
2

6 ,则两圆圆心距为

. .

6. 已知⊙O1 和⊙O2 的半径长分别为方程 x -9x+14=0 的两根, 若圆心距 O1O2 的长为 5, 则⊙O1 与⊙O2 的位置关系为

7.(2001 年夏门市中考题)如图,⊙O 和⊙O′相交于 A 和 B,PQ 切⊙O 于 P,交⊙O′于 Q 和 M,交 AB 的延长于 N,MN=3,QN= 25,则 PN= .

二、选择题: 8.(2001 年广西中考题)已知⊙O1 和⊙O2 的半径分别为 3cm、4cm,圆心距 O1O2=7cm,那么两圆的公切线共有( A.1 条 B.2 条 C.3 条 ) D.4 条 )

9.(2001 年四川省中考题)下列命题中,正确的是( A.长度相等的两条弧是等弧 C.切线垂直于圆的半径

B.平分弦的直径垂直于这条弦 D.相切两圆的连心线必过切点 )

10.如图,两个同心圆,过大圆上一点 A 作小圆的割线交小圆于 B、C 两点,且 AB·AC=4,则图中圆环的面积为(

A.2π

B.3π

C.4π )

D.5π

12.两圆只有一条公切线,那么这两圆的位置关系是( A.内切 B.内含

C.外切

D.外离 )

13.⊙O1 与⊙O2 相外切,MN 是外公切线,M、N 为切点,若⊙O1 和⊙O2 的半径分别是 4 和 9,则 MN 的长是(

A.12

B.13

C.

194

D.14

14.半径分别为 1 和 2 的两圆外切,与这两个圆都相切且半径为 3 的圆共有( A.6 个 B.5 个 C.4 个

) D.3 个 )

15.如图,过相交两圆的公共弦上任意一点 P 作一条割线,与两圆交于 A、B、C、D 四点,那么下面的结论正确的是(

A.PB·BA=PC·CD C.PB·CD=PC·BA

B.PB·PA=PC·PD D.PC·CA=PB·BD

三、解答下列各题: 16.(2001 年广西中考题)如图,AB 是⊙O 的直径,以 OA 为直径的⊙O1 与⊙O 的弦 AC 相交于 D,DE⊥OC,垂足为 E. (1)求证:AD=DC;(2)求证:DE 是⊙O1 的切线; (3)如果 OE=EC,请判断四边形 O1OED 是什么四边形,并证明你的结论.

17. (2001 年黄冈市中考题) 如图, ⊙O1 和⊙O2 内切于点 P, 过点 P 的直线交⊙O1 于点 D, 交⊙O2 于点 E; DA 与⊙O2 相切, 切点为 C. (1) 求证:PC 平分∠APD;(2)若 PE=3, PA= 6,求 PC 的长.

18.(98 年江苏宿迁市中考题)已知:如图⊙O1 与⊙O2 外切于点 A,过⊙O2 上一点 B 作⊙O2 的切线,交⊙O1 于 C、D,连结 BA 并延长 交⊙O1 于 E,连结 AC、AD,DE.求证:DE =EA·EB。
2

19.(2001 年青岛市中考题)已知:如图⊙O1 与⊙O2 外切于点 P,AB 为⊙O1 与⊙O2 的外公切线,切点分别为 A、B,连心线 O1O2 分别

交⊙O1 于 D,交⊙O2 于 C,连结 AD、AP,BP。求证(1)AD∥BP;(2)CP·CO1=CD·CO2;(3)

AD PC AP = BC



20.如图,⊙O1 和⊙O2 相交于 A、B 两点,AC 为⊙O1 的直径 CA、CB 的延长线分别交⊙O2 于 D、E,AC=6cm, BE=11cm,AD=BC.求 (1)BC 的长;(2)∠DEC 的余弦值;(3)两圆⊙O1 和⊙O2 的圆心距.

【创新思维训练】

21.如图,已知⊙O1 和⊙O2 相交于 A、B 两点,过点 A 作⊙O1 的切线交⊙O2 于点 C,过点 B 作两圆的割线分别交⊙O1、⊙O2 于点 D、E, 与 AC 相交于点 P.(1)求证:PA· PE。= PC· PD;(2)当 AD 与⊙O2 相切,且 PA=6,PC=2,PD=12 时,求 AD 的长。

22.如图,在△AB C 中,∠ABC=90°,以 AB 为直径作⊙O 交 AC 于 D,过 D 作⊙O 的切线交 BC 于 E,求证:BC =2EO·CD.

2

23.(2001 年辽宁省中考题)已知:如图甲,⊙O1 与⊙O2 相交于 A、B 两点,经过 A 点的直线分别交⊙O1、⊙O2 于 C、D 两点(C、D 不与 B 重合),连结 BD,过 C 作 BD 的平行线交⊙O1 于点 E. (1)求证:BE 是⊙O2 的切线; (2)如图乙,若两圆圆心在公共弦 AB 的同侧,其它条件不变,判断 BE 和⊙O2 的位置关系;(不要求证明)

(3)若点 C 为劣弧

AB 的中点,其它条件不变,连结 AB、AE,AB 与 CE 交于点 F,如图丙,写出图中所有的相似三角形.(不另



外连线,不要求证明)

参考答案 【综合能力训练】

? 一、1.5 或 1 2.2≤d<4 3.3- 2
二、8.C 9.D 10.C ②略 11.C 12.A

4.相交、相等 5.7 13.A 14.B 15.C

6.内切

7.3 5

三、 16.①连 OD

③正方形

17. ①提示: 过点 P 作两圆的公切线 PT

②PC=3 2

18.提示: 20.4cm,

过点 A 作两圆内公切线,证△EAD∽△EDB。 19.过点 P 作两圆的公切线 PQ,连 BD。
5 15 2 , 2 cm

21.(1)连 AB,证△APD∽△CPE (2)12 EAC

22.连 BD,先证 BE=DE=CE,再证 CA=2EO,后用切割线定

理。 23.(1)作直径 BH,连 AB、AH (2)BE 仍是⊙O2 的切线 (3)△AFC∽△ABD∽△EFB∽△


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