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四川省成都七中2013-2014学年高二下学期开学考试数学(理)试题


成都七中高 2015 届高二下期入学考试
数学试题(理)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. 若集合 M ? { y | y ? 2 , x ? R} ,集合, S ? {x | y ? lg( x ? 1)} 则下列各式中正确的是
x

( ) A. M

? S ? M B. M ? S ? S C. M ? S D. M ? S ? ? 2. 对四组数据进行统计,获得以下散点图,关于其相关系数比较,正确的是( )

相关系数为 r1

相关系数为 r2

相关系数为 r3 A. r2 ? r4 ? 0 ? r3 ? r1 C. r4 ? r2 ? 0 ? r3 ? r1

相关系数为 r4 B. r4 ? r2 ? 0 ? r1 ? r3 D. r2 ? r4 ? 0 ? r1 ? r3

3. 已知 m,n 为异面直线,m⊥平面α ,n⊥平面β ,直线 l 满足 l⊥m,l⊥n,l?α ,l? β ,则( ) A.α ∥β 且 l∥α B.α ⊥β 且 l⊥β C.α 与β 相交,且交线垂直于 l D.α 与β 相交,且交线平行于 l 4. 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的 s 值等于( ) A. ?3 B. ?21 C. 3 D. 21 5. 球面上有三点 A 、 其中 AB ? 18 , C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点, B、 BC ? 24 、 AC ? 30 ,球心到这个截面的距离为球半径的一半,则球的表面积为( ) A. 1200? B. 1400? C. 1600? D. 1800? 6. 下列判断正确的是( ) A. 若命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,则命题“ p ? q ”为真命题 B.命题“若 xy ? 0 ,则 x ? 0 ”的否命题为“若 xy ? 0 ,则 x ? 0 ” C. “ sin ? ?

1 ? ”是” ? ? ”的充分不必要条件 6 2
x
x

D. .命题“ ?x ? R, 2 ? 0 ”的否定是“ ?x0 ? R, 2 0 ? 0 ” 7. 将函数 y= 3cos x+sin x(x∈R)的图像向左平移 m(m>0)个单位长度后,所得到的图 像关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( )

π A. 12

π B. 6

π C. 3

5π D. 6

8. 设 x0 是方程 ln x ? x ? 4 的解,则 x0 属于区间( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

?x ? 2 ? 9. 已知 x,y 满足 ? x ? y ? 4 且目标函数 z=3x+y 的最小值是 5, 则 z 的最大值是( ) ??2 x ? y ? c ? 0 ?
A. 10 B. 12
2 2

C. 14

D. 16

10. 直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 与圆 ? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 9 交于 E.F 两点,则 ? EOF(O 是原点) 的面积为( ) A.

3 2

B.

3 4

C. 2 5

D.

6 5 5

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 20 分. →→ → → → → 11. 已知向量 a , b 不共线,若向量 a +? b 与 b +? a 的方向相反,则实数?的值为 .

12. 在 ?ABC 中 , 角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c, 且满足 a sin B ? b cos A , 则

2 sin B ? cos C 的最大值是

.
x ?1

13. 如果 直线 2ax ? by ? 14 ? 0 ? a ? 0, b ? 0 ? 和函数 f ? x? ? m
2

?1? m ? 0, m ? 1 ? 的图
2

象恒过同一个定点,且该定点始终落在圆 ? x ? a ? 1? ? ? y ? b ? 2 ? ? 25 的内部或圆 上,那么

b 的取值范围是______. a
2

14. 如果不等式 4 x ? x ? (a ? 1) x 的解集为 A ,且 A ? {x | 0 ? x ? 2} ,那么实数 a 的 取值范围是 . 15. 给出下列四个命题:

a?m a ? ,则 a ? b ; b?m b ② 若函数 f ( x) ? lg(ax ? 1) 的定义域是 {x | x ? 1} ,则 a ? ?1 ; 2 ③ 已知 x∈(0,π ) ,则 y ? sin x ? 的最小值为 2 2 ; sin x
① 已知 a , b , m 都是正数,且 ④ 已知 a、b、c 成等比数列,a、x、b 成等差数列,b、y、c 也成等差数列,则 值等于 2; ⑤ 已 知 函 数 f ( x) ? e ? 1, g ( x )? ? x ? 4 x ? 3 , 若 有 f ( a) ? g ( b) , 则 b 的 取 值 范 围 为
x 2

a c ? 的 x y

(2 ? 2, 2 ? 2) .
其中正确命题的序号是________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 在参加市里主办的科技知识竞赛的学生中随机选取了 40 名学生的成绩作为样本, 这 40 名学生的成绩全部在 40 分至 100 分之间,现将成绩按如下方式分成 6 组:第一组,成 绩大于等于 40 分且小于 50 分;第二组,成绩大于等于 50 分且小于 60 分;??第六 组,成绩大于等于 90 分且小于等于 100 分,据此绘制了如图所示的频率分布直方图. 在选取的 40 名学生中, (1)求成绩在区间 [80,90) 内的学生人数; (2) 从成绩大于等于 80 分的学生中随机选 2 名学生, 求至少有 1 名学生成绩在区间 [90,100] 内的概率.

17. (本小题满分 12 分)
2 设数列{an}是公差大于零的等差数列,已知 a1 ? 2 , a3 ? a2 ? 10 .

(1)求{an}的通项公式; (2)设数列{bn}是以函数 f(x)=4sin ?x 的最小正周期为首项,以 3 为公比的等比数列,求
2

数列{an?bn}的前 n 项和 S n .

18. (本小题满分 12 分) (1)设函数 f(x)=(sin?x+cos?x) +2cos ?x(?>0)的最小正周期为
2 2

向右平移

? 个单位长度得到函数 y=g(x)的图像,求 y=g(x)的单调增区间. 2

2? ,将 y=f(x)的图像 3

(2)设?ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c, cos( A ? C ) ? cos B ? 求角 B 的大小.

3 2 ,b =ac, 2

19. (本小题满分 12 分) 如图,建立平面直角坐标系 xoy , x 轴在地平面上, y 轴垂直于地平面,单位长度为 1 千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程 y ? kx ?

1 (1 ? k 2 ) x 2 (k ? 0) 表示 20

的曲线上,其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小) ,其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不 超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.

20.

(本小题满分 13 分) 已知几何体 A ? BCED 的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为 4 的等腰 直角三角形,正视图为直角梯形. (1)求异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值; (2)求二面角 A ? ED ? B 的正弦值.

21. (本小题满分 14 分) 2 2 已知圆 C:x +y -2x+4y-4=0.问在圆 C 上是否存在两点 A、B 关于直线 y=kx-1 对称,且以 AB 为直径的圆经过原点?若存在,写出直线 AB 的方程;若不存在,说明 理由.

成都七中高 2015 届高二下期入学考试
数学试题(理答案)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. 若 集 合 , 集 合 ,

则下列各式中正确的是( ) A. C. 解析:A 由题意得 可得 2. ,所以选 A. D. , ,所以根据选项 B.

对四组数据进行统计,获得以下散点图,关于其相关系数比较,正确的是( )

相关系数为

相关系数为

相关系数为 A. C. 【答案】A

相关系数为 B. D.

【解析】由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知 3.

.

已知 m,n 为异面直线,m⊥平面α ,n⊥平面β ,直线 l 满足 l⊥m,l⊥n,l?α ,l? β ,则( ) A.α ∥β 且 l∥α B.α ⊥β 且 l⊥β C.α 与β 相交,且交线垂直于 l D.α 与β 相交,且交线平行于 l 【答案】D [解析] 若α ∥β ,则 m∥n 与 m,n 为异面直线矛盾,故 A 错.若α ⊥β 且 l⊥β ,则由 n⊥平面β 知 l ∥n 与 l ⊥n 矛盾,故 B 错.若α 与β 相交,设垂直于交线的 平面为γ ,则 l ⊥γ ,又 l ⊥m,l ⊥n,m⊥平面α ,n⊥平面β ,故交线平行于 l.故选 D.

4. A.

阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的 值等于( ) B. C. D.

解析:A 程序执行循环六次,依次执行的是 , 于 5. . 球面上有三点 , 面积为( A. 解析:A ∵ ) B. , , C. ,∴ D. , ,即截面圆的半径 是以 为 、 、 、 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点,其中 ,球心到这个截面的距离为球半径的一半,则球的表 , 故输出 值等

斜边的直角三角形.∴

的外接圆的半径为

,又球心到截

面的距离为



∴ 6.

,得 下列判断正确的是( ) A. 若命题 B.命题“若

.∴球的表面积为



为真命题,命题 为假命题,则命题“ ,则 ”的否命题为“若

”为真命题 ,则 ”

C. “ D. .命题“ 【答案】D

”是”

”的充分不必要条件 ”的否定是“ ”

【解析】A 项中,因为

真 假,所以

为假命题.故 A 项错误;B 项中,“若





”的否命题为“若

,则

”, 故 B 项错误;C 项中,



的必要不充分条件,故 C 项错误;D 选项正确. 7. 将函数 y=cos x+sin x(x∈R)的图像向左平移 m(m>0)个单位长度后,所得到的图像 关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( )

π A.12 【答案】B

π B. 6

π C. 3

5π D. 6

π [解析] 结合选项,将函数 y=cos x+sin x=2sin 3 的图像向 π π 左平移 6 个单位得到 y=2sin 2 =2cos x,它的图像关于 y 轴对称, 选 B. 8. 设 是方程 的解,则 B.(1,2) 属于区间( ) C.(2,3)

A.(0,1) D.(3,4) 【答案】C 【解析】 设 ,所以

,因为 .所以 .



9. A.

已知 x,y 满足 B. , 则

且目标函数 z=3x+y 的最小值是 5, 则 z 的最大值是( ) C. , 因为 的最小值为 , 所以 经过点 D. ,

解析: 由

作出不等式对应的可行域,由图象可知当直线

时,直线的截距最小,

所以直线

的直线方程为 得 即直线方程为

,由

,解得 ,平移直线

,代入直线 ,当直线

经过点

时,直线的截距最大,此时

有最大值,由

,得

,即 10. 直线 的面积为( )

,代入直线 与圆



。 交于 E.F 两点,则 EOF(O 是原点)

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】因为圆心

到直线 , 又 原 点

的距离为 到 直 线

,则 的 距 离 为

,所以

.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 20 分. a b a b b a 11. 已知向量→,→不共线,若向量→+?→与→+?→的方向相反,则实数?的值为 解析: , 12. 在 由 ,即 与 , 的方向相反得, ,此时 与 , 的方向相反.

. ,则

中 , 角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c, 且满足 的最大值是 .

,则

【答案】1

【解析】由

,得

,又由正弦定理,得

,所以

.又

,所以

.又

,所以

.故

.



.





.故当 13. 如果 直线

时, 和函数

取得最大值 1. 的图 的内部或圆

象恒过同一个定点,且该定点始终落在圆

上,那么

的取值范围是______.

【答案】 【 解 析 】 根 据 指 数 函 数 的 性 质 , 可 知 函 数 恒过定点 入 , 可得 . 由于点 . 将点 代

始终落在所

给圆的内部或圆上,所以

. 由

解得



, 这说明点

在以



为端点的线段上运动, 所以



取值范围是 14. 如果不等式 取值范围是 【答案】 【解析】函数 y=

. 的解集为 . ,且 ,那么实数 a 的

的图象是一个半圆,如图,可知需满足



解得 a>2. 15. 给出下列四个命题: ① 已知 ② 若函数 ③ 已知 x∈(0,π ),则 都是正数,且 的定义域是 ,则 ; ,则 的最小值为 ; ; 的

④ 已知 a、b、c 成等比数列,a、x、b 成等差数列,b、y、c 也成等差数列,则 值等于 2; ⑤ 已知函数 . 其中正确命题的序号是________. 【答案】①④⑤ ,若有 ,则

的取值范围为

【解析】对于①,由 即

,得

,又 ,此时函数

都是正数,所以 的定义域是



.故①正确;对于②,令

,不是

,故②错误;对于③,设

,则

,因



在区间

上单调递减,所以

的最小值是

,即

的最小值为 3,故③错误;对于④,由题 意, ,所以

.故④正确;对于⑤,由题意, ,若有 .故⑤正确. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)在参加市里主办的科技知识竞赛的学生中随机选取了 40 名学生的 成绩作为样本,这 40 名学生的成绩全部在 40 分至 100 分之间,现将成绩按如下方式 分成 6 组:第一组,成绩大于等于 40 分且小于 50 分;第二组,成绩大于等于 50 分且 小于 60 分;??第六组,成绩大于等于 90 分且小于等于 100 分,据此绘制了如图所 示的频率分布直方图.在选取的 40 名学生中, (1)求成绩在区间 内的学生人数; ,则 ,解得

(2) 从成绩大于等于 80 分的学生中随机选 2 名学生, 求至少有 1 名学生成绩在区间 内的概率. 解析:(1)因为各组的频率之和为 ,所以成绩在区间 , 所以, (2)设 绩在区间 记这四个人分别为 名学生中成绩在区间 表示事件“在成绩大于等于 的学生人数为 的频率为 (3 分) (人).(5 分)

分的学生中随机选两名学生,至少有一名学生成 内的学生有 4 人, (7 分)

内”,由已知和(1)的结果可知成绩在区间 ,成绩在区间 内的学生有 人,

记这两个人分别为

, 则选取学生的所有可能结果为: ,

基本事件数为 15,(9 分) 事件“至少一人成绩在区间 之间”的可能结果为: ,基本事件数为 9, (11 分)

所以

.

(12 分) , .

17. (本小题满分 12 分)设数列{an}是公差大于零的等差数列,已知 (1)求{an}的通项公式;

(2)设数列{bn}是以函数 f(x)=4sin ?x 的最小正周期为首项,以 为公比的等比数列,求
2

数列{an?bn}的前 n 项和

.

解析: (1) 设 (5 分) 所以

的公差为

, 则

, 解得



(舍) .

.(6 分)

(2)因为



其最小正周期为 因为公比为 ,从而

,故首项为 .(7 分) ,所以 ,(8 分)



.(12 分)
2 2

18. (本小题满分 12 分)(1)设函数 f(x)=(sin?x+cos?x) +2cos ?x(?>0)的最小正周期为

,将 y=f(x)的图像向右平移 调增区间.

个单位长度得到函数 y=g(x)的图像,求 y=g(x)的单

(2)设?ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c, 角 B 的大小. 解析:(1)

,b =ac,求

2

依题意得

,故?=

,



,解得



的单调增区间为:

.

(2)由







,所以

.

又由

,利用正弦定理进行边角互化,得

,故

.

所以



(舍去) . 于是



,又由





,所以

.

19. (本小题满分 12 分)如图,建立平面直角坐标系 , 轴在地平面上, 轴垂直于地平 面,单位长度为 1 千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程

表示的曲线上,其中 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹 落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽 略其大小) , 其飞行高度为 3.2 千米, 试问它的横坐标 不超过多少时, 炮弹可以击中它?请说明理由.

1 2 2 【解】(1)令 y=0,得 kx-20(1+k )x =0, 20k 1 20 由实际意义和题设条件知 x>0,k>0,故 x=1+k2=k≤ 2 =10,当且仅当 k=1 时取等号. 所以炮的最大射程为 10 km. 1 2 2 (2)因为 a>0,所以炮弹可击中目标?存在 k>0,使 3.2=ka-20(1+k )a 成立 ?关于 k 的方程 a k -20ak+a +64=0 有正根 2 2 2 ?判别式Δ =(-20a) -4a (a +64)≥0 ?a≤6. 所以当 a 不超过 6 km 时,可击中目 标. 20. (本小题满分 13 分)已知几何体 的三视图如图所 示,其中俯视图和侧视图都是 腰长为 4 的等腰直角三角形, 正视图为直角梯形. (1)求异面直线 的余弦值; (2)求二面角 解析:解法一 (1)取 ∴ 的正弦值. 的中点是 ,连接 与 ,则 , 与 所成角
2 2 2

或其补角即为异面直线

所成的角.(2 分)



中,



.∴

.(4 分)

∴异面直线 (2)因为 可得 ∴ 平面



所成的角的余弦值为 ,过 作 ,

.(6 分) 交 于 ,连接 .

平面

,从而

为二面角

的平面角. (8 分)



中,







∴ 分) 解法二(1)以 则

. ∴

.∴二面角

的的正弦值为

. (13

为原点,以

所在直线为 ,(2 分)

轴建立空间直角坐标系.



,∴

,(5 分)

∴异面直线 (2) 平面 所以



所成的角的余弦值为

.(6 分) , 设平面 的一个法向量为 ,

的一个法向量为 ,

,(8 分)

则 分)

, ∴

,从而



,(10



, 则



, ∴二面角

的的正弦值为

. (13

分) 2 2 21. (本小题满分 14 分)已知圆 C:x +y -2x+4y-4=0.问在圆 C 上是否存在两点 A、B 关于直线 y=kx-1 对称, 且以 AB 为直径的圆经过原点?若存在, 写出直线 AB 的方程; 若不存在,说明理由. 2 2 解析:圆 C 的方程可化为(x-1) +(y+2) =9,圆心为 C(1,-2).假设在圆 C 上存在两点 A、B 满足条件,则圆心 C(1,-2)在直线 y=kx-1 上,即 k=-1. [3 分] 于是可知,kAB=1. 2 2 设 lAB:y=x+b,代入圆 C 的方程,整理得 2x +2(b+1)x+b +4b-4=0, 2 2 2 则Δ =4(b+1) -8(b +4b-4)>0,即 b +6b-9<0. 解得-3-3<b<-3+3. [8 分] 设点 A、B 的坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2), 1 2 则 x1+x2=-b-1,x1x2=2b +2b-2. 由题意知 OA⊥OB,则有 x1x2+y1y2=0, 也就是 x1x2+(x1+b)(x2+b)=0. 2 ∴2x1x2+b(x1+x2)+b =0. 2 2 2 2 ∴b +4b-4-b -b+b =0,化简得 b +3b-4=0. 解得 b=-4 或 b=1,均满足Δ >0, 即直线 AB 的方程为 x-y-4=0,或 x-y+1=0.

[12 分]

[14 分]


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