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2016届高考数学总复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第3讲 函数的奇偶性与周期性


第3讲

函数的奇偶性与周期性

最新考纲 1.结合具体函数, 了解函数奇偶性的含义; 2.会运用函数的图象理解和研究 函数的奇偶性;3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.

知 识 梳 理 1.函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 定义 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-

图象特点 关于 y 轴对称

x)=f(x),那么函数 f(x)是偶函数
如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-

奇函数

x)=-f(x),那么函数 f(x)是奇函数

关于原点对称

2.奇(偶)函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的 单调性相反(填“相同”、“相反”). (2)在公共定义域内 ①两个奇函数的和函数是奇函数,两个奇函数的积函数是偶函数. ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数. ③一个奇函数,一个偶函数的积函数是奇函数. (3)若函数 f(x)是奇函数且在 x=0 处有定义,则 f(0)=0. 3.周期性 (1)周期函数:对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任 何值时,都有 f(x+T)=f(x),那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最 小正数就叫做 f(x)的最小正周期. 诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数 y=x ,x∈(0,+∞)是偶函数.(×) (2)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.(×) (3)若函数 y=f(x+a)是偶函数,则函数 y=f(x)关于直线 x=a 对称.(√) (4)函数 f(x)在定义域上满足 f(x+a)=-f(x),则 f(x)是周期为 2a(a>0)的周期函 数.(√) 2.(2014·广东卷)下列函数为奇函数的是( )
2

精彩 PPT 展示

1

1 x A.y=2 - x 2 C.y=2cos x+1

B.y=x sin x D.y=x +2
2

3

x

1 x 3 2 x 解析 易知 y=2 - x是奇函数,y=x sin x 和 y=2cos x+1 是偶函数,y=x +2 是非 2 奇非偶函数,故选 A. 答案 A 3. (2014·新课标全国Ⅰ卷)设函数 f(x), g(x)的定义域都为 R, 且 f(x)是奇函数, g(x) 是偶函数,则下列结论中正确的是( A.f(x)g(x)是偶函数 函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 函数 解析 依题意得对任意 x∈R, 都有 f(-x)=-f(x), g(-x)=g(x), 因此, f(-x)g(- D . |f(x)g(x)| 是奇 ) B . |f(x)|g(x) 是奇

x) =- f(x)g(x) =- [f(x)·g(x)] , f(x)g(x) 是奇函数, A 错; |f( - x)|·g( - x) = | - f(x)|·g(x)=|f(x)|g(x),|f(x)|g(x)是偶函数,B 错;f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|
=-[f(x)|g(x)|],f(x)|g(x)|是奇函数,C 正确; |f(-x)·g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|, |f(x)g(x)|是偶函数,D 错. 答案 C 4.已知 f(x)在 R 上是奇函数,且满足 f(x+4)=f(x),当 x∈(0,2)时,f(x)=2x ,则
2

f(2 015)等于(
A.-2 C.-98

) B.2 D.98

解析 ∵f(x+4)=f(x), ∴f(x)是以 4 为周期的周期函数, ∴f(2 015)=f(503×4+3)=f(3)=f(-1). 又 f(x)为奇函数, ∴f(-1)=-f(1)=-2×1 =-2, 即 f(2 015)=-2. 答案 A 5.(人教 A 必修 1P39A6 改编)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x) =x(1+x),则 x<0 时,f(x)=________. 解析 当 x<0 时,则-x>0,∴f(-x)=(-x)(1-x). 又 f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x)=(-x)(1-x),
2
2

∴f(x)=x(1-x). 答案 x(1-x)

考点一 函数奇偶性的判断 例 1 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=xlg(x+ x +1); (2)f(x)=(1-x)
2 2

1+x ; 1-x

?-x +2x+1 ?x>0?, ? (3)f(x)=? 2 ?x +2x-1 ?x<0?; ?

4-x (4)f(x)= . |x+3|-3 解 (1)∵ x +1>|x|≥0,
2

2

∴函数 f(x)的定义域为 R,关于原点对称, 又 f(-x)=(-x)lg(-x+ ?-x? +1) =-xlg( x +1-x) =xlg( x +1+x)=f(x). 即 f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数. 1+x (2)当且仅当 ≥0 时函数有意义, 1-x ∴-1≤x<1, 由于定义域关于原点不对称, ∴函数 f(x)是非奇非偶函数. (3)函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称, 当 x>0 时,-x<0,f(-x)=x -2x-1=-f(x), 当 x<0 时,-x>0,f(-x)=-x -2x+1=-f(x). ∴f(-x)=-f(x),即函数是奇函数.
? ?4-x ≥0, (4)∵? ?|x+3|≠3 ?
2 2 2 2 2 2

? -2≤x≤2 且 x≠0,

∴函数的定义域关于原点对称. ∴f(x)= 4-x 4-x = , x+3-3 x 4-?-x? 4-x =- , -x x
3
2 2 2 2

又 f(-x)=

∴f(-x)=-f(x),即函数是奇函数. 规律方法 判断函数的奇偶性,包括两个必备条件:(1)定义域关于原点对称,这是函 数具有奇偶性的必要不充分条件, 所以首先考虑定义域; (2)判断 f(x)与 f(-x)是否具有等 量关系,在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x) =0(奇函数)或 f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 【训练 1】 (1)(2015·郑州质量预测)下列函数中,既是偶函数又在区间(1,2)上单调 递增的是( ) B.y=cos 2x 2-x D.y=log2 2+x
2

A.y=log2|x| 2 -2 C.y= 2
x
-x

(2)(2014·日照模拟)函数 f(x)=log2(x+ x +1)(x∈R)与 g(x)=lg |x-2|分别为 ________和________函数(填“奇”“偶”“既奇又偶”或“非奇非偶”). 解析 (1)对于 A,函数 y=log2|x|是偶函数且在区间(1,2)上是增函数;对于 B,函数

y=cos 2x 在区间(1,2)上不是增函数;对于 C,函数 y= y=log2
2-x 不是偶函数,故选 A. 2+x

2 -2 不是偶函数;对于 D,函数 2

x

-x

(2)法一 易知 f(x)的定义域为 R. ∵f(-x)=log2[-x+ ?-x? +1]=log2 =-log2(x+ x +1)=-f(x), ∴f(x)是奇函数. 对于 g(x),由|x-2|>0,得 x≠2. ∴g(x)的定义域为{x|x≠2}. ∵g(x)的定义域关于原点不对称, ∴g(x)为非奇非偶函数. 法二 易知 f(x)的定义域为 R. ∵f(-x)+f(x)=log2[-x+ ?-x? +1]+ log2(x+ x +1)=log21=0,即 f(-x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数. 对于 g(x),由|x-2|>0,得 x≠2. ∴g(x)的定义域为{x|x≠2}. ∵g(x)的定义域关于原点不对称, ∴g(x)为非奇非偶函数. 答案 (1)A (2)奇函数 非奇非偶
4
2 2 2 2

1

x+ x2+1

考点二 函数周期性的应用 例 2 (1)(2014·安徽卷)若函数 f(x)(x∈R)是周期为 4 的奇函数, 且在[0,2]上的解析
?x?1-x?,0≤x≤1, ? 式为 f(x)=? ? ?sin π x,1<x≤2,

?29? ?41? 则 f? ?+f? ?=________. ?4? ?6?

(2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(x+2)=-f(x),当 2≤x≤3 时,f(x)=x, 则 f(105.5)=________. 解析 3? ?29? ?41? ? (1)由于函数 f(x)是周期为 4 的奇函数,所以 f? ?+ f? ? =f?2×4- ?+ 4? ?4? ?6? ?

f?2×4- ?=f?- ?+f?- ?=-f? ?-f? ?=- +sin 6 4 6 4 6

? ?

7?

?

? 3? ? ?

? 7? ? ?

?3? ? ?

?7? ? ?

3 16

π 5 = . 6 16

(2)由 f(x+2)=-f(x), 得 f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2) =-[-f(x)]=f(x), 所以函数 f(x)的周期为 4, ∴f(105.5)=f(4×27-2.5)=f(-2.5)=f(2.5)=2.5. 5 答案 (1) 16 (2)2.5

规律方法 函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质. 对函数周期性的考查, 主 要涉及函数周期性的判断,利用函数周期性求值. 【训练 2】 (2014·长春一模)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且是以 2 为周期 的周期函数.若当 x∈[0,1)时,f(x)=2 -1,则 f(log1 6)的值为(
2

x

)

5 A.- 2 1 C.- 2 解析 ∵f(x)是周期为 2 的奇函数.

B.-5 D.-6

? 1 3? ∴f(log1 6)=f?log 2? ? 2 ?
2

3? ? ? =f?-log2 ?=-f?log2 2? ? ?
3 1 =-(2log22-1)=- . 2

3? ? 2?

答案 C 考点三 函数性质的综合应用 例 3 (1)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增
5

函数,则(

)

A.f(-25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(-25) C.f(11)<f(80)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11) (2)(2014·新课标全国Ⅱ卷)偶函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称,f(3)=3,则

f(-1)=________.
解析 (1)∵f(x)满足 f(x-4)=-f(x), ∴f(x-8)=f(x),∴函数 f(x)是以 8 为周期的周期函数,则 f(-25)=f(-1),f(80) =f(0),f(11)=f(3). 由 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足 f(x-4)=-f(x),得 f(11)=f(3)=-f(-1) =f(1). ∵f(x)在区间[0,2]上是增函数,f(x)在 R 上是奇函数, ∴f(x)在区间[-2,2]上是增函数, ∴f(-1)<f(0)<f(1),即 f(-25)<f(80)<f(11). (2)因为 f(x)的图象关于直线 x=2 对称,所以 f(x)=f(4-x),f(-x)=f(4+x),又

f(-x)=f(x),所以 f(x)=f(4+x),则 f(-1)=f(4-1)=f(3)=3.
答案 (1)D (2)3 规律方法 比较不同区间内的自变量对应的函数值的大小. 对于偶函数, 如果两个自变 量的取值在关于原点对称的两个不同的单调区间上, 即正负不统一, 应利用图象的对称性将 两个值化归到同一个单调区间,然后再根据单调性判断. 【训练 3】 已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若 实数 a 满足 f(log2a)+f(log1 a)≤2f(1),则 a 的取值范围是(
2

)

A.[1,2]

? 1? B.?0, ? ? 2?
D.(0,2]

?1 ? C.? ,2? ?2 ?
解析 因为 f(x) 是偶函数,所以 f( - x) = f(x) =

深度思考

你知道奇偶性与单调性的

f(|x|),又因为log1 a=-log2a,且 f(x)是偶函数,所以
2

关系了吗?奇函数在对称区间上单调性相 同,偶函数在对称区间上单调性相反??在 解决有关偶函数问题时,常利用 f?x?=f?|x|? 这一结论进行转化.

f(log2a)+f(log a)=2f(log2a)=2f(|log2a|)≤2f(1),
1 2

即 f(|log2a|)≤f(1),又函数在[0,+∞)上单调递增, 1 所以 0≤|log2a|≤1,即-1≤log2a≤1,解得 ≤a≤2. 2

6

答案 C

[思想方法] 1.奇偶性定义是判断函数奇偶性的主要方法之一,为了便于判断,有时需要将函数进 行 化 简 , 或 应 用 定 义 的 变 通 形 式 : f( - x) = ±f(x) ? f( - x)±f(x) = 0 ? ±1(f(x)≠0). 2. 已知函数的奇偶性求参数问题的一般思路是: 利用函数的奇偶性的定义, 转化为 f(-

f?-x? = f?x?

x)=-f(x)(或 f(-x)=f(x))对 x∈R 恒成立,从而可轻松建立方程,通过解方程,使问题
获得解决. 3.若对于函数 f(x)的定义域内任一个自变量的值 x 都有 f(x+a)=-f(x)或 f(x+a) = 1

f?x?

或 f(x+a)=-

1

f?x?

(a 是常数且 a≠0),则 f(x)是一个周期为 2a 的周期函数.

[易错防范] 1.在用函数奇偶性的定义进行判断时,要注意自变量在定义域内的任意性.不能因为 个别值满足 f(-x)=±f(x),就确定函数的奇偶性. 2.分段函数奇偶性判定时,要以整体的观点进行判断,不可以利用函数在定义域某一 区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域的奇偶性. 3.函数 f(x)满足的关系 f(a+x)=f(b-x)表明的是函数图象的对称性,函数 f(x)满 足的关系 f(a+x)=f(b+x)(a≠b)表明的是函数的周期性, 在使用这两个关系时不要混淆.

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.(2014·重庆卷)下列函数为偶函数的是( A.f(x)=x-1 C.f(x)=2 -2
x
-x

) B.f(x)=x +x D.f(x)=2 +2
x
-x 2

解析 函数 f(x)=x-1 和 f(x)=x +x 既不是偶函数也不是奇函数,排除选项 A 和选 项 B;选项 C 中 f(x)=2 -2 ,则 f(-x)=2 -2 =-(2 -2 )=-f(x),所以 f(x)=2
-x

2

x

-x

-x

x

x

-x

x

-2 为奇函数, 排除选项 C; 选项 D 中 f(x)=2 +2 , 则 f(-x)=2 +2 =f(x), 所以 f(x) =2 +2 为偶函数,故选 D. 答案 D 2. (2014·乌鲁木齐诊断)定义在 R 上的偶函数 f(x), 对任意 x1, x2∈[0, +∞)(x1≠x2),
x
-x

x

-x

-x

x

7



f?x2?-f?x1? <0,则( x2-x1
A.f(3)<f(-2)<f(1)

) B . f(1)<f( -

2)<f(3) C.f(-2)<f(1)<f(3) 2) 解析 由题意知 f(x)为偶函数,所以 f(-2)=f(2), 又 x∈[0,+∞)时,f(x)为减函数,且 3>2>1, ∴f(3)<f(2)<f(1),即 f(3)<f(-2)<f(1),故选 A. 答案 A 3.已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则 D . f(3)<f(1)<f( -

g(1)等于(
A.4 C.2

) B.3 D.1

解析 由题意知:f(-1)+g(1)=-f(1)+g(1)=2,

f(1)+g(-1)=f(1)+g(1)=4,
①+②得 g(1)=3. 答案 B 4.(2014·福建统一检测)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且在[0,+∞)上单调递 增,若 f(lg x)<0,则 x 的取值范围是( A.(0,1) C.(1,+∞) ) B.(1,10) D.(10,+∞)

解析 依题意,函数 f(x)在 R 上是增函数,且 f(0)=0,不等式 f(lg x)<0=f(0)等 价于 lg x<0,故 0<x<1,故选 A. 答案 A 5.(2014·山东卷)对于函数 f(x),若存在常数 a≠0,使得 x 取定义域内的每一个值, 都有 f(x)=f(2a-x),则称 f(x)为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是( A.f(x)= x C.f(x)=tan x 解析 由 f(x)=f(2a-x), ∴y=f(x)关于直线 x=a 对称(a≠0), 题中四个函数中,存在对称轴的有 B,D,而 B 中 f(x)=x 的对称轴为 x=0,不满足题 意,故选 D. 答案 D
2

)
2

B.f(x)=x

D. f(x)=cos(x+1)

8

二、填空题 6. 函数 f(x)在 R 上为奇函数, 且 x>0 时, f(x)= x+1, 则当 x<0 时, f(x)=________. 解析 ∵f(x)为奇函数,x>0 时,f(x)= x+1, ∴当 x<0 时,-x>0,

f(x)=-f(-x)=-( -x+1),
即 x<0 时,f(x)=-( -x+1)=- -x-1. 答案 - -x-1 7.(2014·湖南卷)若 f(x)=ln(e +1)+ax 是偶函数,则 a=________. 解析 由题意知,f(x)的定义域为 R, 所以 f(-1)=f(1), 从而有 ln(e +1)+a=ln(e +1)-a, 3 解得 a=- . 2 3 答案 - 2 8.(2014·四川卷)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数,当 x∈[-1,1)时,f(x)
?-4x +2,-1≤x<0, ? =? ?x,0≤x<1, ?
2 3 -3 3x

?3? 则 f? ?=________. ?2?

解析 ∵f(x)的周期为 2,

?3? ? 1? ∴f? ?=f?- ?, ?2? ? 2?
又∵当-1≤x<0 时,

f(x)=-4x2+2

?3? ? 1? ? 1?2 ∴f? ?=f?- ?=-4×?- ? +2=1. 2 2 ? ? ? ? ? 2?
答案 1 三、解答题 9.f(x)为 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=-2x +3x+1,求 f(x)的解析式. 解 当 x<0 时, -x>0,则
2

f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.
由于 f(x)是奇函数,故 f(x)=-f(-x), 所以当 x<0 时,f(x)=2x +3x-1. 因为 f(x)为 R 上的奇函数,故 f(0)=0. 综上可得 f(x)的解析式为
2

9

-2x +3x+1,x>0, ? ? f(x)=?0,x=0, ? ?2x2+3x-1,x<0. 10.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x,恒有 f(x+2)=-f(x),当 x∈ [0,2]时,f(x)=2x-x . (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式; (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 014). (1)证明 ∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)解 ∵x∈[2,4], ∴-x∈[-4,-2], ∴4-x∈[0,2], ∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x) =-x +6x-8, 又 f(4-x)=f(-x)=-f(x), ∴-f(x)=-x +6x-8, 即 f(x)=x -6x+8,x∈[2,4]. (3)解 ∵f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1. 又 f(x)是周期为 4 的周期函数, ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7) =?=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0. ∴f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 014)=f(2 012)+f(2 013)+f(2 014)=f(0)+f(1) +f(2)=1. 能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 11. (2014·石家庄模拟)已知 f(x)是定义在 R 上以 3 为周期的偶函数, 若 f(1)<1, f(5) 2a-3 = ,则实数 a 的取值范围为( a+1 A.(-1,4) C.(-1,2) ) B.(-2,1) D.(-1,0)
2 2 2 2 2

2

解析 因为函数 f(x)是定义在 R 上以 3 为周期的偶函数,所以 f(5)=f(-1)=f(1), 2a-3 即 <1,化简得(a-4)(a+1)<0,解得-1<a<4,故选 A. a+1

10

答案 A 12.(2015·郑州模拟)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0≤x<2 时,

f(x)=x3-x,则函数 y=f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点个数为(
A.6 C.8
3

)

B.7 D.9

解析 因为当 0≤x<2 时,f(x)=x -x,又 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数, 且 f(0)=0,所以 f(6)=f(4)=f(2)=f(0)=0.又 f(1)=0,所以 f(3)=f(5)=0.故函数 y =f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点个数为 7. 答案 B 13.已知函数 y=f(x)为奇函数,且对定义域内的任意 x 都有 f(1+x)=-f(1-x).当

x∈(2,3)时,f(x)=log2(x-1).给出以下 4 个结论:
①函数 y=f(x)的图象关于点(k,0)(k∈Z)成中心对称; ②函数 y=|f(x)|是以 2 为周期的周期函数; ③当 x∈(-1,0)时,f(x)=-log2(1-x); ④函数 y=f(|x|)在(k,k+1)(k∈Z)上单调递增. 其中所有正确结论的序号为________. 解析 因为 f(2+x)=-f(1-(1+x))=-f(-x)=f(x),所以 f(x)的周期为 2, 因为 f(x)为奇函数,其图象关于点(0,0)对称,

所以 f(x)的图象也关于点(2,0)对称,先作出函数 f(x)在(2,3)上的图象,然后作出在 (1,2)上的图象,左右平移即可得到 f(x)的草图如图所示,由图象可知 f(x)关于点(k,0)(k ∈Z)对称,故①正确; 由 y=|f(x)|的图象可知 y=|f(x)|的周期为 2,故②正确; 当-1<x<0 时, 2<2-x<3, f(2-x)=log2(1-x)=-f(x), 即 f(x)=-log2(1-x), 故③正确;

y=f(|x|)在(-1,0)上为减函数,故④错误.
答案 ①②③ 14.设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x. (1)求 f(π )的值; (2)当-4≤x≤4 时,求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积; (3)写出(-∞,+∞)内函数 f(x)的单调区间. 解 (1)由 f(x+2)=-f(x)得,

f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),
11

所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数, ∴f(π )=f(-1×4+π )=f(π -4)=-f(4-π )= -(4-π )=π -4. (2)由 f(x)是奇函数与 f(x+2)=-f(x), 得:f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)], 即 f(1+x)=f(1-x). 故知函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称. 又当 0≤x≤1 时,f(x)=x,且 f(x)的图象关于原点成中心对称,则 f(x)的图象如图所 示.

当-4≤x≤4 时,f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S,

?1 ? 则 S=4S△OAB=4×? ×2×1?=4. ?2 ?
(3)函数 f(x)的单调递增区间为[4k-1,4k+1](k∈Z), 单调递减区间为[4k+1,4k+3](k∈Z).

12


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