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【名师一号】2017届高考数学大一轮总复习 几何证明选讲 计时双基练74 全等与相似 理 北师大版选修4-1

时间:2016-07-01


计时双基练七十四

全等与相似

AD 1 1.(2016·牡丹江模拟)如图,正三角形 ABC 中,D,E 分别在 AC,AB 上, = ,AE= AC 3 BE,则有(
)

A.△AED∽△BED B.△AED∽△CBD C.△AED∽△ABD D.△BAD∽△BCD 解析 在正三角形 ABC 中,

AD 1 = ,AE=BE, AC 3 CD BC 2 = , AD AE 1

在△AED 与△CBD 中,∠A=∠C, = 故△AED∽△CBD。 答案 B

2.在平行四边形 ABCD 中,E 为 CD 上一点,DE∶EC=2∶3,连接 AE,BE,BD,且 AE,

BD 交于点 F,则 S△DEF∶S△EBF∶S△ABF=(

)

A.4∶10∶25 C.2∶3∶5

B.4∶9∶25 D.2∶5∶25

解析 由已知易得△DEF∽△BAF,且相似比为 2∶5,故 S△DEF∶S△ABF=4∶25。 而△BED 与△BEA 有同底 BE,高之比为 2∶5, 故 S△BED∶S△BEA=2∶5, 即(S△DEF+S△BEF)∶(S△ABF+S△BEF)=2∶5, 由比例的性质可得:S△DEF∶S△EBF∶S△ABF=4∶10∶25。 故选 A。 答案 A 1 3.如图,在正方形 ABCD 中,E 是 AB 中点,F 是 AD 上一点,且 AF= AD,EG⊥CF 于 G, 4 则下列式子中不成立的是( )

1

A.EF·EC=EG·FC C.AE +AF =FG·FC 解析 由题意,正方形 ABCD 中,
2 2

B.EC =CG·GF D.EG =GF·GC
2

2

E 是 AB 中点,F 是 AD 上一点,
1 且 AF= AD,所以△AEF∽△BCE, 4 所以∠AEF=∠BCE, 所以∠FEC=90°, 因为 EG⊥CF,所以 EF·EC=EG·FC,AE +AF =EF =FG·FC,EG =GF·GC, 即 A,C,D 正确,故选 B。 答案 B 4.(2015·湖北卷)如图,PA 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆的割线,且 BC=3PB,则
2 2 2 2

AB =________。 AC

解析 由题意易知△PBA∽△PAC,则得 = 所以 PA =PB·PC,又 BC=3PB,
2

PB PA AB = 。 PA PC AC

AB PB 1 2 2 所以 PA =4PB ,即 PA=2PB,故 = = 。 AC PA 2
答案 1 2

5.(2016·茂名模拟)如图,已知 AB∥EF∥CD,若 AB=4,CD=12,则 EF=________。

解析 ∵AB∥CD∥EF, ∴

AB BC BC CD 4 BC BC 12 = , = ,∴ = , = , EF CF BF EF EF BC-BF BF EF

2

BC 12 ∴4(BC-BF)=12BF,∴BC=4BF,∴ =4= , BF EF
∴EF=3。 答案 3 4 6.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点 D,AD=4,sin ∠ACD= ,则 CD 5 =________,BC=________。

AD 4 2 2 解析 在 Rt△ADC 中,AD=4,sin ∠ACD= = ,得 AC=5,CD= AC -AD =3, AC 5
又由射影定理 AC =AD·AB,得 AB= 25 9 ∴BD=AB-AD= -4= , 4 4 9 25 15 2 由射影定理 BC =BD·AB= × ,∴BC= 。 4 4 4 答案 3 15 4
2

AC2 25 = 。 AD 4

7.如图,在四边形 ABCD 中,EF∥BC,FG∥AD,求 + 的值。

EF FG BC AD



由平行线分线段成比例定理得

EF AF FG FC = , = , BC AC AD AC


EF FG AF FC AC + = + = =1。 BC AD AC AC AC

8.如图所示,在△ABC 中,AD 为 BC 边上的中线,F 为 AB 上任意一点,CF 交 AD 于点 E。

求证:AE·BF=2DE·AF。

3

证明

过点 D 作 AB 的平行线 DM 交 AC 于点 M,交 FC 于点 N。 在△BCF 中,D 是 BC 的中点,DN∥BF, 1 ∴DN= BF。 2 ∵DN∥AF,∴△AFE∽△DNE, ∴

AE DE = 。 AF DN

1 AE 2DE 又 DN= BF,∴ = , 2 AF BF 即 AE·BF=2DE·AF。 1 1 9. (2016·南阳模拟)如图,△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,AE= AC,BD= AB,点 3 3

F 在 BC 上,且 CF= BC。求证:

1 3

(1)EF⊥BC; (2)∠ADE=∠EBC。 证明 设 AB=AC=3a,则 AE=BD=a,CF= 2a。 (1) =

CE 2a 2 CF 2a 2 = , = = 。 CB 3 2a 3 CA 3a 3

又∠C 为公共角,故△BAC∽△EFC, 由∠BAC=90°,∴∠EFC=90°,∴EF⊥BC。 (2)由(1)得 EF= 2a,故 =

AE EF

a
2a



2 AD 2a 2 , = = , 2 FB 2 2a 2



AE AD = ,∵∠DAE=∠BFE=90°, EF FB

∴△ADE∽△FBE,∴∠ADE=∠EBC。

4

10. (2016·哈尔滨模拟)如图,已知在△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC,E 是 AC 的中 点,ED 交 AB 的延长线于 F。求证: =

AB DF 。 AC AF

证明 ∵∠BAC=90°,AD⊥BC, ∴∠ADB=∠ADC=∠BAC=90°, ∴∠1+∠2=90°,∠2+∠C=90°。∴∠1=∠C。 ∴△ABD∽△CAD,∴ = 。 又∵E 是 AC 的中点,∴DE=EC,∴∠3=∠C。 又∵∠3=∠4,∠1=∠C,∴∠1=∠4。 又∠F=∠F,△FBD∽△FDA, ∴

AB BD AC AD

BD DF AB DF = ,∴ = 。 AD AF AC AF

5


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