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2018届高三数学一轮复习第十一章统计统计案例第三节变量间的相关关系统计案例夯基提能作业本理

时间:2017-10-29


第三节

变量间的相关关系、统计案例
A 组 基础题组

1.已知变量 x,y 之间具有线性相关关系,其散点图如图所示,回归直线 l 的方程为 = x+ ,则下列说法正 确的是( )

A. >0, <0

B. >0, >0

C. <0, <0

D. <0, >0

2.(2015 福建,4,5 分)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区 5 户家庭,得 到如下统计数据表: 收入 x(万元) 支出 y(万元) 8.2 6.2 8.6 7.5 10.0 8.0 11.3 8.5 11.9 9.8

根据上表可得回归直线方程 = x+ ,其中 =0.76, = 年支出为( )

.据此估计,该社区一户年收入为 15 万元家庭的

A.11.4 万元 B.11.8 万元 C.12.0 万元 D.12.2 万元 3.在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度不断加快,这已经成为全球性的威胁.为考察某种埃博拉病 毒疫苗的效果,现随机抽取 100 只小动物进行试验,得到如下列联表: 感染 服用 没服用 总计 附表: P(K ≥k) k
2

未感染 40 30 70 0.05 3.841

总计 50 50 100 0.025 5.024

10 20 30 0.10 2.706

其中 K =

2

. )

参照附表,下列结论正确的是(

A.在错误率不超过 5%的前提下,可认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”
1

B.在错误率不超过 5%的前提下,可认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关” C.有 97.5%的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关” D.有 97.5%的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”

4.已知变量 x 与 y 之间的回归直线方程为 =-3+2x,若 A.3 B.4 C.0.4 D.40

xi=17,则

yi 的值等于(

)

5.2016 年春节 期间,某市物价部门对该市 5 家商场某商品一天的销售量及售价进行了调查,5 家商场的售 价 x(单位:元)和销售量 y(单位:件)之间的一组数据如下表所示: 售价 x 销售量 y 9 11 9.5 10 10 8 10.5 6 11 5

通过散点图可知,销售量 y 与售价 x 之间有较好的线性相关关系,其线性回归方程是 =-3.2x+ ,则 的值 为 .

6.某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用,把 500 名使用血清的人与另外 500 名未使用血清的 人一年中的感冒记录进行比较,提出假设 H0:“这种血清不能起到预防感冒的作用”,利用 2×2 列联表计 算得 K ≈3.918,经查临界值表知 P(K ≥3.841)≈0.05.则下列结论中,正确结论的序号是 ①有 95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”; ②若某人未使用该血清,那么他在一年中有 95%的可能性得感冒; ③这种血清预防感冒的有效率为 95%; ④这种血清预防感冒的有效率为 5%. 7.(2016 赣中南五校 2 月联考)心理学家分析发现视觉和空间想象能力与性别有关,某数学兴趣小组为了 验证这个结论,从所在学校中按分层抽样的方法抽取 50 名同学(男 30 女 20),给所有同学几何题和代数题 各一题,让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表:(单位:人) 几何题 男同学 女同学 总计 附表及公式: P(K ≥k) k
2 2 2

.

代数题 8 12 20

总计 30 20 50

22 8 30

根据以上数据能否判断有 97.5%的把握认为视觉和空间想象能力与性别有关? 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

K=

2

.

2

8.某商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比,得到如下表格: 人数 xi 件数 yi 10 4 15 7 20 12 25 15 30 20 35 23 40 27

其中 i=1,2,3,4,5,6,7. (1)以每天进店人数为横轴,每天商品销售件数为纵轴,画出散点图;

(2)求 回归直线方程;(结果保留到小数点后两位)

参考数据:

xiyi=3 245, =25, =15.43,

=5 075,7( ) =4 375,7

2

=2 700

(3)预测进店人数为 80 时商品销售的件数.(结果保留整数)

B 组 提升题组 9.(2016 河南开封一模)下列说法错误的是( ) A.自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系 B.在线性回归分析中,相关系数 r 的值越大,变量间的相关性越强 C.在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高 D.在回归分析中,R 为 0.98 的模型比 R 为 0.80 的模型拟合的效果好 10.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月 1 号到 5 号每天 打篮球时间 x(单位:小时)与当天投篮命中率 y 之间的关系: 时间 x 1 2 3 4 5 命中率 y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4
2 2

3

小李这 5 天的平均投篮命中率为 投篮命中率为 .

;用线性回归分析的方法,可预测小李该月 6 号打 6 小时篮球的

11.(2016 河南新乡许昌平顶山二调)某校高二年级共有学生 1 000 名,其中走读生 750 名,住宿生 250 名, 现采用分层抽样的方法从该年级抽取 100 名学生进行问卷调查,得到这 100 名学生每天晚上有效学习时 间(单位:分钟)的数据,按照以下区间分为八组:①[0,30),②[30,60),③[60,90),④[90,120),??得到 频率分布直方图(部分),如图所示.

(1)如果把“学生晚上有效学习时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准,对抽取的 100 名学生, 完成下列 2×2 列联表,并判断是否有 95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关; 利用时间不充 分

利用时间充分 走读生 住宿生 总计 附: P(K ≥k0) k0
2

总计

50 10 60 0.05 3.841 0.025 5.024 100 0.010 6.635 0.005 7.879

0.10 2.706

K=

2

.

(2)若在第①组、第②组、第③组中共抽出 3 人调查影响有效 利用时间的原因,记抽到“有效学习时间少 于 60 分钟”的学生人数为 X,求 X 的分布列和数学期望.

4

答案全解全析 A 组 基础题组

1.D 由题图可知,回归直线的斜率是正数,即 >0;回归直线在 y 轴上的截距是负数,即 <0,故选 D.

2.B 由统计数据表可得 =

=10.0, =

=8.0,则 =8.0-0.76×10.0=0.4,

所以回归直线方程为 =0.76x+0.4 ,当 x=15 时, =0.76×15+0.4=11.8,故估计年收入为 15 万元家庭的年 支出为 11.8 万元.故选 B.

3.A 由题意得,K =

2

≈4.762,结合附表比较得 3.841<K <5.024,所以在错误率不超过 5%

2

的前提下,可认 为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”,故选 A.

4.B 依题意有 = =1.7,而直线 =-3+2x 一定经过样本点的中心( , ),所以 =-3+2 =-3+2×1.7=0.4, 所



yi=0.4×10=4.

5. 答案 40

解析 由题意可知, =

=10, =

=8,故样本点的中心为(10,8),将其代入线性回

归方程 =-3.2x+ ,可解得 =40. 6. 答案 ① 解析 ∵3.918≥3.841,P(K ≥3.841)≈0.05,所以有 95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作 用”.要注意我们检验的是假设是否成立和该血清预防感冒的有效率是没有关系的,不是同一个问题,不 要混淆.
2

7. 解析 由 2×2 列联表中数据得 K 的观测值 k= 所以有 97.5%的把握认为视觉和空间想象能力与性别有关. 8. 解析 ( 1)散点图如图所示.

2

= ≈5.556>5.024,

5

(2)因为
2

xiyi=3 245, =25, =15.43, =2 700.

=5 075,

7( ) =4 375,7

所以 =

= -

=-4.07,

所以回归直线方程是 =0.78x-4.07. (3)进店人数为 80 时,商品销售的件数为 y=0.78×80-4.07≈58 件. B 组 提升题组 9.B 根据相关关系的概念知 A 正确;当 r>0 时,r 越大,相关性越强,当 r<0 时,r 越大,相关性越弱,故 B 不正确;对于一组数据拟合程度好坏的评价,一是残差点分布的带状区域越窄,拟合效果越好;二是 R 越大, 拟合效果越好,所以 R 为 0.98 的模型比 R 为 0.80 的模型拟合的效果好,C,D 正确,故选 B. 10. 答案 0.5;0.53
2 2 2

解析 这 5 天的平均投篮命中率= ×(0.4+0.5+0.6+0.6+0.4)=0.5.利用相关公式计算易得

=0.01, =0.47,∴线性回归方程为 =0.01x+0.47,当 x=6 时, =0.01×6+0.47=0.53. 11. 解析 (1) 利用时间充分 走读生 住宿生 总计 50 10 60 利用时间不充分 25 15 40 总计 75 25 100

K=
2

2

≈5.556.

由于 K >3.841,所以有 95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关.

6

(2)设第 i 组的频率为 Pi(i=1,2,?,8),则由题图可知,P1= 得第①组 1 人,第②组 4 人,第③组 10 人. 因为 X 的所 有可能取值为 0,1,2,3,

×30=

,P2=

×30=

,P3=

×30=

,可

P(X=0)=

= ,

P(X=1)=

= ,

P(X=2)=

= ,

P(X=3)=

= .

所以 X 的分布列为 P X 0 1 2 3

E(X)=0× +1× +2× +3× =1.

7


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