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1992年全国高中数学联赛试题及详细解析


一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 2 2 1.对于每个自然数 n,抛物线 y=(n +n)x ?(2n+1)x+1 与 x 轴交于 An,Bn 两点,以|AnBn| 表示该两点的距离,则|A1B1|+|A2B2|+?+|A1992B1992|的值是( 1991 1992 1991 1993 (A) (B) (C) (D) 1992 1993 1993 1992 )

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(A)是等腰三角形,但不是直角三角形 (B)是直角三角形,但不是等腰三角形 (C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰三角形,也不是直角三角形 2 2 5.设复数 z1,z2 在复平面上对应的点分别为 A,B,且|z1|=4,4z1 ?2z1z2+z2 =0,O 为坐 标原点,则△OAB 的面积为( ) (A)8 3 ( B)4 3 (C)6 3 (D)12 3 6 . 设 f(x) 是 定 义 在 实 数 集 R 上 的 函 数 , 且 满 足 下 列 关 系 f(10+x)=f(10?x) , f(20?x)=?f(20+x),则 f(x)是 (A)偶函数,又是周期函数 (B)偶函数,但不是周期函数 (C)奇函数,又是周期函数 (D)奇函数,但不是周期函数 二、填空题(每小题 5 分共 30 分)
[来源:学科网]

1 1 1 x z 1.设 x,y,z 是实数,3x,4y,5z 成等比数列,且 , , 成等差数列,则 + 的值是

x y z

z x

______. 2.在区间[0,?]中,三角方程 cos7x=cos5x 的解的个数是______. 3.从正方体的棱和各个面上的对角线中选出 k 条, 使得其中任 意两条线段所在的 直线 都是异面直线,则 k 的最大值是_____.
[来源:学科网]

4.设 z1,z2 都是复数,且|z1|=3,|z2|=5|z1+z2|=7,则 arg( ) 的值是______. 5.设数列 a1,a2,?,an,?满足 a1=a2=1,a3=2,且对任何自然数 n,都有 anan+1an+2?1, 又 anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3,则 a1+a2+?+a100 的值是____. 6.函数 f(x)= x -3x -6x+13- x -x +1 的最大值是_____. 4 1 三、(20 分)求证:16< Σ <17. i=1 k
4 2 4 2

z2 z1

3

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四、(20 分)设 l,m 是两条 异面直线,在 l 上有 A,B,C 三点,且 AB=BC,过 A,B,C 分别 7 作 m 的垂线 AD,BE,CF,垂足依次是 D,E,F,已知 AD= 15,BE= CF= 10,求 l 与 m 的距 2 离.

第二试 一、(35 分) 设 A1A2A3A4 为⊙O 的内接四边形,H1、H2、H3、H4 依次为⊿A2A3A4、⊿A3A4A1、 ⊿A4A1A2、⊿A1A2A3 的垂心.求证:H1、H2、H3、H4 四点在同一个圆上,并定出该圆的圆心位 置.

[来源:学科网]

二、 分) 设集合 Sn={1,2,?,n}. X 是 Sn 的子集, X 中所有数的和称为 X 的“容 (35 若 把 量”(规定空集的容量为 0),若 X 的容量为奇(偶)数,则称 X 为的奇(偶)子集. 1.求证 Sn 的奇子集与偶子集个数相等. 2.求证:当 n≥3 时,Sn 的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和. 3.当 n≥3 时,求 Sn 的所有奇子集的容量之和.

三、(35 分)在平面直角坐标系中,横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点,任取 6 个 格点 Pi(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)满足 (1) |xi|≤2,|yi|≤2,(i=1,2,3,4,5,6),(2) 任何三 点不在同一条直线上.试证:在以 Pi(i=1,2,3,4,5,6)为顶点的所有三角形中,必有一个三 角形,它的面积不大于 2.

1992 年全国高中数学联赛解答
第一试 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 2 2 1.对于每个自然数 n,抛物线 y=(n +n)x ?(2n+1)x+1 与 x 轴交于 An,Bn 两点,以|An Bn| 表示该两点的距离,则|A1B1|+|A2B2|+?+|A1992B1992|的值是( 1991 1992 1991 1993 (A) (B) (C) (D) 1992 1993 1993 1992 【答案】B 【 解 析 】 y=((n+1)x - 1)(nx - 1) , ∴ 1992 |A1B1|+|A2B2|+?+|A1992B1992|= ,选 B. 1993 |AnBn|= 1 )

n



1

n+1

, 于 是

C sinB 4.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别记为 a,b,c(b?1),且 , 都是方程 log b A sinA x=logb(4x-4)的根,则△ABC( ) (A) 是等腰三角形,但不是直角三角形 (B)是直角三角形,但不是等腰三角形 (C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰三角形,也不是直角三角形
【答案】B 【解析】 =4x-4. x2 根为 x=2. C=2A, B=180°-3A, B=2sinA. ∴ ? sin ?sin3A=2sinA, 2 ?3-4sin A=2.A=30°,C=60°,B=90°.选 B. 5.设复数 z1,z2 在复平面上对应的点分别为 A,B,且|z1|=4,4z1 ?2z1z2+z2 =0,O 为 坐标原点,则△OAB 的面积为( )
2 2

(A)8 3 (B)4 3 【答案】A

(C)6 3

(D)12 3

2z1 π π 1 3 【解析】 =cos ±isin .∴ |z2|=8,z1、z2 的夹角=60°.S= ?4?8? =8 3.选 z2 3 3 2 2

A.

二、填空题(每小题 5 分共 30 分) 1 1 1 x z 1.设 x,y,z 是实数,3x,4y,5z 成等比数列,且 , , 成等差数列,则 + 的值是

x y z

z x

______. 【答案】
2

34 15
2

2xz (x+z) 64 x z 34 2 2 2 【解析】16y =15xz,y= ,?16?4x z =15xz(x+z) .由 xz≠0,得 = ,? + = . x+z xz 15 z x 15 2.在区间[0,?]中,三角方程 cos7x=cos5x 的解的个数是. 【答案】7 1 【解析】7x=5x+2kπ ,或 7x=-5x+2kπ ,(k∈Z)? x=kπ ,x= kπ (k∈Z),共有 7 解. 6

6.函数 f(x)= x -3x -6x+13- x -x +1的最大值是_____. 【答案】 10 【解析】f(x)= (x -2) +(x-3) - (x -1) +x ,表示点(x,x )与点 A(3,2)的距离 及 B(0,1)距离差的最大值.由于此二点在抛物线两侧,故过此二点的直线必与抛物线交于 两点.对于抛物线上任意一点,到此二点距离之差大于|AB|= 10.即所求最小值为 10.
2 2 2 2 2 2 2

4

2

4

2

四、(20 分)设 l,m 是两条异面直线,在 l 上有 A,B,C 三点,且 AB=BC,过 A,B,C 分别 7 作 m 的垂线 AD,BE,CF,垂足依次是 D,E,F,已知 AD= 15,BE= CF= 10,求 l 与 m 的距 2 离. 【解析】 m 作平面 α ∥l, AP⊥α 于 P, 与 l 确定平面 β , ∩α =l?, ?∩m=K. 过 作 AP β l 作 BQ⊥α ,CR⊥α ,垂足为 Q、R,则 Q、R∈l?,且 AP=BQ=CR=l 与 m C 的距离 d. l ? 连 PD、QE、RF,则由三垂线定理之逆,知 PD、QE、RF 都⊥m.

B

A

PD= 15-d2,QE=
2

49 2 2 -d ,RF= 10-d . 4
?
l'
2 2

m

R KF

Q

P

当 D、E、F 在 K 同侧时 2QE=PD+RF, ? 49-4d = 15-d + 10-d .解之得 d= 6

E D

当 D、E、F 不全在 K 同侧时 2QE=PD-RF,? 49-4d = 15-d - 10-d .无实解. ∴ l 与 m 距离为 6.

2

2

2

五、(20 分)设 n 是自然数,fn(x)=

xn+1-x-n-1 1 (x?0,±1), 令 y=x+ . -1 x- x x

1.求证:fn+1(x)=yfn(x)?fn-1(x),(n>1) 2.用数学归纳法证明:

? ? f (x)=? ?y -C ?
n n

n n 1 i yn-Cn-1yn-2+?+(-1)iCn-i yn-2i+?+(-1)2,(i=1,2,?, ,n为偶数)
2
1 n-2 n-1

n-1 n-1 n-1 y +?+(-1) Cn-i+?+(-1) 2 C n2 y,(i=1,2,?, ,n为奇数) +1 2
i i

2

2.若 m 为奇数,则 m+1 为偶数,由归纳假设知,对于 n=m 及 n=m-1,有

fm(x)=y


m - 1

-C

1 m-2

y

m - 2

+ ? +( -

1) ?C m-i y

i

i

m - 2i

m-1 2 ?C m-1 y 2 + ? +( - 1) 2

m-1

m-1 m-1 1 i-1 2 fm - 1(x)=ym - 1 - C m-2 ym - 3+ ? +( - 1)i - 1C m-i ym+1 - 2i+ ? +( - 1) 2 C m-1
2 ④ 用 y 乘③减去④,同上合并,并注意最后一项常数项为

m-1 m-1 m-1 m+1 m+1 2 -(-1) 2 Cm-1=-(-1) 2 Cm2 =(-1) 2 . +1
2 2

m+1
于是得到 yfm(x)-fm-1(x)=y -Cm y +?+(-1) 2 ,即仍有对于 n=m+1,命题成立 综上所述,知对于一切正整数 n,命题成立.
m+1
1 m-1

第二试 一、(35 分) 设 A1A2A3A4 为⊙O 的内接四边形,H1、H2、H3、H4 依次为⊿A2A3A4、⊿A3A4A1、 ⊿A4A1A 2、⊿A1A2A3 的垂心.求证:H1、H2、H3、H4 四点在同一个圆上,并定出该圆的圆心位 置.

显然,⊿A2A3A4、⊿A3A4A1、⊿A4A1A2、⊿A1A2A3 的外心都是点 O,而它们的重心依次是 1 1 1 1 ( (cosβ +cosγ +cos?), (sinβ +sinγ +sin?))、( (cosγ +cos?+cosα ), 3 3 3 3 (sinα +sin?+sinγ ))、 1 1 1 1 ( (cos?+cosα +cosβ ), (sin?+sinα +sinβ ))、( (cosα +cosβ +cosγ ), 3 3 3 3 (sinα +sinβ +sinγ )). 从而,⊿A2A3A4、⊿A3A4A1、⊿A4A1A2、⊿A1A2A3 的垂心依次是 H1(cosβ +cosγ +cos? , sinβ +sinγ +sin?) 、 H2 (cosγ +cos?+cosα , sinα +sin?+sinγ )、 H3 (cos?+cosα +cosβ , sin?+sinα +sinβ ) 、 H4 (cosα +cosβ +cosγ , sinα +sinβ +sinγ ). 而 H1、H2、H3、H4 点与点 O1(cosα +cosβ +cosγ +cos?,sinα +sinβ +sinγ +sin?)的距 离都等于 1,即 H1、H2、H3、H4 四点在以 O1 为圆心,1 为半径的圆上.证毕.
[来源:Zxxk.Com]

二、(35 分)设集合 Sn={1,2,?,n}.若 X 是 Sn 的子集,把 X 中所有数的和称为 X 的“容 量”(规定空集的容量为 0),若 X 的容量为奇(偶)数,则称 X 为的奇(偶)子集. 1.求证 Sn 的奇子集与偶子集个数相等. 2.求证:当 n≥3 时,Sn 的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和.

三、(35 分) 在平面直角坐标系中,任取 6 个格点 Pi(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)满 足: ⑴ |xi|≤2,|yi|≤2(i=1,2,3,4,5,6); ⑵ 任何三点不在一条直线上. 试证明:在以 Pi(i=1,2,3,4,5,6)为顶点的所有三角形中,必有一个三角形的面 积不大于 2.


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