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2016高考数学专题复习导练测 第五章 第3讲 平面向量的数量积 理 新人教A版

时间:2015-12-26


第 3 讲 平面向量的数量积
一、选择题 1.若向量 a,b,c 满足 a∥b 且 a⊥c,则 c?(a+2b)=( A.4 C.2 解析 由 a∥b 及 a⊥c,得 b⊥c, 则 c?(a+2b)=c?a+2c?b=0. 答案 D 2.若向量 a 与 b 不共线,a?b≠0,且 c=a-? A.0 π B. 6 B.3 D.0 )

?a?a?b,

则向量 a 与 c 的夹角为( ? ?a?b?
π D. 2

)

π C. 3

解析 ∵a?c=a??a-?
2

? ?

?a?a?b? ? ? ?a?b? ?

? a ?a?b=a2-a2=0, =a?a-? ? ?a?b?
π 又 a≠0,c≠0,∴a⊥c,∴〈a,c〉= ,故选 D. 2 答案 D 3.若向量 a,b,c 满足 a∥b,且 a⊥c,则 c?(a+2b)= A.4 B.3 C.2 D.0 ( ).

解析 由 a∥b 及 a⊥c,得 b⊥c,则 c?(a+2b)=c?a+2c?b=0. 答案 D → → → → → → 4. 已知△ABC 为等边三角形, AB=2.设点 P, Q 满足AP=λ AB, AQ=(1-λ )AC, λ ∈R.若BQ?CP 3 =- ,则 λ 等于 2 1 A. 2 1± 10 C. 2 1± 2 B. 2 -3±2 2 D. 2 ( ).

解析 以点 A 为坐标原点, AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系, 则 B(2,0), C(1, 3), → → → → → → 由AP=λ AB,得 P(2λ ,0),由AQ=(1-λ )AC,得 Q(1-λ , 3(1-λ )),所以BQ?CP =(-λ -1, 3(1-λ ))?(2λ -1,- 3)=-(λ +1)(2λ -1)- 3? 3(1-λ )= 3 1 - ,解得 λ = .] 2 2 答案 A 5. 若 a, b, c 均为单位向量, 且 a?b=0, (a-c)?(b-c)≤0, 则|a+b-c|的最大值为( ).
1

A. 2-1

B.1

C. 2
2 2

D. 2
2

解析 由已知条件,向量 a,b,c 都是单位向量可以求出,a =1,b =1,c =1,由 a?b =0,及(a-c)(b-c)≤0,可以知道,(a+b)?c≥c =1,因为|a+b-c| =a +b +c +2a?b-2a?c-2b?c,所以有|a+b-c| =3-2(a?c+b?c)≤1, 故|a+b-c|≤1. 答案 B 6 .对任意两个非零的平面向量 α 和 β ,定义 α β = α ?β . 若平面向量 a ,b 满足 β ?β
2 2 2 2 2 2

?n ? ? π? |a|≥|b|>0,a 与 b 的夹角 θ ∈?0, ?,且 a b 和 b a 都在集合? |n∈Z ?中,则 a b= 4 2 ? ? ? ?

( 1 A. 2 解析 B.1 由定义 α β = 3 C. 2 D. 5 2

).

α ?β a?b |a|?|b|cos θ |b|cos θ 可得 b a= 2 = = ,由 2 2 β a |a| |a |

|b|cos θ |b|cos θ 1 ? π? |a|≥|b|>0,及 θ ∈?0, ?得 0< <1,从而 = ,即|a|=2|b|cos 4? |a| |a | 2 ? θ .a b=

a?b |a|?|b|cos θ |a|cos θ ? π ? 所以 2<cos 2 = = =2cos θ , 因为 θ ∈?0, ?, 2 4? b2 |b | |b| 2 ?

1 2 2 θ <1,所以 <cos θ <1,所以 1<2cos θ <2.结合选项知答案为 C. 2 答案 C 二、填空题 7. 已知向量 a,b 均为单位向量,若它们的夹角是 60°,则|a-3b|等于________. 解析 ∵|a-3b| =a -6a?b+9b =10-6?cos60°=7,∴|a-3b|= 7. 答案 7 .
? ? ? ? 8. 已知向量 a ? (3, ?2) , a ? (3m ? 1, 4 ? m) ,若 a ? b ,则 m 的值为 ? ? ? ? 解析 ? a ? b,? a ? b ? 3(3m ?1) ? (?2)(4 ? m) ? 0,? m ? 1
2 2 2

答案 1 9. 如图,在矩形 ABCD 中,AB= 2,BC=2,点 E 为 BC 的中点,点 F → → → → 在边 CD 上,若AB?AF= 2,则AE?BF的值是________. 解析 以 A 点为原点,AB 所在直线为 x 轴,AD 所在直线为 y 轴建 → → 立直角坐标系 xOy,则AB=( 2,0),AE=( 2,1), → 设 F(t,2),则AF=(t,2).

2

→ → ∵AB?AF= 2t= 2,∴t=1, → → 所以AE?BF=( 2,1)?(1- 2,2)= 2. 答案 2
2 2 2

10.已知向量 a,b,c 满足 a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若|a|=1,则|a| +|b| +|c| 的值是________. 解析 由已知 a?c-b?c=0,a?b=0,|a|=1, 又 a+b+c=0,∴a?(a+b+c)=0,即 a +a?c=0, 则 a?c=b?c=-1, 由 a+b+c=0,∴(a+b+c) =0, 即 a +b +c +2a?b+2b?c+2c?a=0, ∴a +b +c =-4c?a=4, 即|a| +|b| +|c| =4. 答案 4 三、解答题 11.已知向量 a=(1,2),b=(2,-2). (1)设 c=4a+b,求(b?c)a; (2)若 a+λ b 与 a 垂直,求 λ 的值; (3)求向量 a 在 b 方向上的投影. 解 (1)∵a=(1,2),b=(2,-2), ∴c=4a+b=(4,8)+(2,-2)=(6,6). ∴b?c=2?6-2?6=0,∴(b?c) a=0a=0. (2) a+λ b=(1,2)+λ (2,-2)=(2λ +1,2-2λ ), 由于 a+λ b 与 a 垂直, 5 ∴2λ +1+2(2-2λ )=0,∴λ = . 2 (3)设向量 a 与 b 的夹角为 θ , 向量 a 在 b 方向上的投影为|a|cos θ . ∴|a|cos θ =
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

a?b 1?2+2??-2? 2 2 = =- =- . 2 2 |b| 2 2 +?-2? 2 2

12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1). (1)求以线段 AB,AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长; → → → (2)设实数 t 满足(AB-tOC)?OC=0,求 t 的值. → → 解 (1)由题设知AB=(3,5),AC=(-1,1),则
3



AB+AC=(2,6),AB-AC=(4,4).
→ → → → 所以|AB+AC|=2 10,|AB-AC|=4 2. 故所求的两条对角线长分别为 4 2,2 10. → → → (2)由题设知OC=(-2,-1),AB-tOC=(3+2t,5+t). → → → 由(AB-tOC)?OC=0, 得(3+2t,5+t)?(-2,-1)=0, 从而 5t=-11,所以 t=- 11 . 5







13.设两向量 e1,e2 满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2 的夹角为 60°,若向量 2te1+7e2 与向量

e1+te2 的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围.
解 由已知得 e1=4,e2=1,e1?e2=2?1?cos 60°=1. ∴(2te1+7e2)?(e1+te2)=2te1+(2t +7)e1?e2+7te2=2t +15t+7. 1 2 欲使夹角为钝角,需 2t +15t+7<0,得-7<t<- . 2 设 2te1+7e2=λ (e1+te2)(λ <0),
?2t=λ , ? ∴? ?7=tλ , ?
2 2 2 2 2 2

∴2t =7.∴t=-

2

14 ,此时 λ =- 14. 2

即 t=-

14 时,向量 2te1+7e2 与 e1+te2 的夹角为 π . 2

∴当两向量夹角为钝角时,t 的取值范围是 14? ? 14 1? ? ?-7,- ?∪?- ,- ?. 2 ? ? 2 2? ? 14. 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 m=?cos

? ?

3A 3A ,sin ? ,n= 2 2? ?

?cos A,sin A?,且满足|m+n|= 3. ? 2 2? ? ?
(1)求角 A 的大小; → → → (2)若|AC|+|AB|= 3|BC|,试判断△ABC 的形状. 解 (1)由|m+n|= 3,得 m +n +2m?n=3, 即 1+1+2?cos
2 2

? ?

3A A 3A A cos +sin sin ? =3, 2 2 2 2? ?

1 π ∴cos A= .∵0<A<π ,∴A= . 2 3 → → → (2)∵|AC|+|AB|= 3|BC|,∴sin B+sin C= 3sin A,
4

∴sin B+sin? 即

?2π -B?= 3? 3, ? 2 ? 3 ?

3 1 3 3 ? π? sin B+ cos B= ,∴sin?B+ ?= . 6? 2 2 2 2 ?

2π π π 5π ∵0<B< ,∴ <B+ < , 3 6 6 6 π π 2π π π ∴B+ = 或 ,故 B= 或 . 6 3 3 6 2 π π π π 当 B= 时,C= ;当 B= 时,C= . 6 2 2 6 故△ABC 是直角三角形.

5