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高中数学必修四第三章 三角恒等变换知识点总结及练习


第三章 三角恒等变换 24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ;⑵ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑶ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ;⑷ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos

? ? cos ? sin ? ; ⑸ tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ?

tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ?

⑹ tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ?

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:

sin 2? ? 2sin ? cos ? ? 1 ? sin 2? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 sin ? cos? ? (sin ? ? cos? ) 2
⑵ cos 2? ? cos
2

? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?
?
,1 ? cos? ? 2 sin 2

? 1 ? cos? ? 2 cos2

?

2 2 cos 2? ? 1 1 ? cos 2? 2 , sin ? ? . ? cos 2 ? ? 2 2
⑶ tan 2? ?

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?

26、 半角公式 :
α 1 ? cos α α 1 ? cos α cos ? ? ; s in ? ? 2 2 2 2 α 1 ? cos α s inα 1 ? cos α tan ? ? ? ? 2 1 ? cos α 1 ? cos α s inα

万能公式 : α α 2 tan 1 ? tan 2 2 ; cosα ? 2 sinα ? 2α 2α 1 ? tan 1 ? tan 2 2 27 、合一变形 ? 把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的 ? 其中 tan ? ? . y ? A sin(?x ? ? ) ? B 形式。? sin ? ? ? cos ? ? ? 2 ? ? 2 sin ?? ? ? ? , ?
28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条件, 灵活运用三角公式,掌握运算,化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下: (1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角 与角之间的和差,倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的 差异,使问题获解,对角的变形如: ① 2? 是 ? 的二倍; 4? 是 2? 的二倍; ? 是

? ? ? 的二倍; 是 的二倍; 2 2 4

? 30 o ;问: sin ? 12 2 ③ ? ? (? ? ? ) ? ? ;④ ? ? ? ? ? ? ( ? ? ? ) ; 4 2 4
② 15 o ? 45 o ? 30 o ? 60 o ? 45 o ? ⑤ 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ? (

; cos

?
12

?



?
4

??) ? (

?
4

? ? ) ;等等

(2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余 弦是基础,通常化切为弦,变异名为同名。 (3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例 如常数“1”的代换变形有:

1 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? tan? cot? ? sin 90 o ? tan 45 o
(4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处 理的方法。常用降幂公式有: ; 。降幂并非绝对, 有 时 需 要 升 幂 , 如 对 无 理 式 1 ? cos? 常 用 升 幂 化 为 有 理 式 , 常 用 升 幂 公 式 有: ; ; (5)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。 如:

1 ? tan? 1 ? tan? ? __________ _____ ; ? __________ ____ ; 1 ? tan? 1 ? tan?

tan? ? tan ? ? __________ __ ; 1 ? tan? tan ? ? __________ _; tan? ? tan ? ? __________ __ ; 1 ? tan? tan ? ? __________ _;

2 tan? ?

; 1 ? tan ? ?
2

; ; ;

tan 20 o ? tan 40 o ? 3 tan 20 o tan 40 o ?

sin ? ? cos? ? a sin ? ? b cos? ?
中 tan ? ? ; )

= =

; (其

1 ? cos? ?

; 1 ? cos? ?



(6)三角函数式的化简运算通常从: “角、名、形、幂”四方面入手; 基本规则是:见切化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理 化有理,特殊值与特殊角的三角函数互化。 如: sin 50 (1 ? 3 tan10 ) ?
o o

; 。

tan? ? cot? ?


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