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江苏省南通市2016届高三上学期第一次调研测试数学试题(解析版)


【答案】 ?0,1? . 【命题立意】本题旨在考查集合的概念和交集的运算.考查概念的理解和运算能力,难度较小. 【解析】 A ? x ?1 ? x ? 2 , B ? ??1, 0,1? ,根据交集定义可得 A ? B ? ?0,1 ?.

?

?

【答案】 ? 5 . 【命题立意】本题旨在考查复数及模的概念与复数的

运算,考查运算求解的能力. ,难度较小. 【解析】由题意得 z ?

a 2 ? 4 ? 3 ,即 a 2 ? 5 ,解得 a ? ? 5 .

【答案】

5 . 6

【命题立意】本题旨在考查古典概型的求法,枚举法在求古典概型中的应用.考查运算和推理能力,难度 较小. 【解析】随机地抽取 2 个数总可能数为 6 种,两个数之积为偶数的为:1,2;1,4;2,3;2,4;3,4,

共有 5 种,那么所取的 2 个数之为偶数的概率为 P ?

5 . 6

【答案】21 【命题立意】本题旨在考查算法伪代码,考查学生的阅读能力.考查推理运算能力,难度较小。 【解析】模拟执行程序,开始有 I=1,S=0,此时满足条件 S≤10;接下来有 I=2,S=1,此时满足条件 S≤ 10;接下来有 I=3,S=1+4=5,此时满足条件 S≤10;接下来有 I=4,S=5+16=21,此时不满足条件 S>10, 退出循环,输出 S=21. 【易错警示】此题容易出错的地方就是循环的结束的确定.

【答案】2000. 【命题立意】本题旨在考查统计的概念,直方图.考查概念的理解和运算能力,难度较小. 【解析】由题意得,被调查的 10000 户家庭中,消费额在 1000 元以下的户数有: (0.0001+0.0003)×500 ×10000=2000 户.

【答案】63.

【命题立意】本题旨在考查等比数列的基本运算,等比数列的求和,考查学生的运算能力,难度中等. 【解析】由等比数列前 n 项和的性质 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,? 成等比数列,则 S2 , S4 ? S2 , S6 ? S4 成等比 数列, ?15 ? 3? ? 3 ? ? S6 ? 15 ? ,解得 S6 ? 63 .
2

法一:设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q.显然 q≠1,由题意得 -q ) =3 ?a (1 1-q ?a =1, 1-q 解之得:? 所以,S = =63. ?a (1-q ) 2. 1-q ?q=± =15. ? 1-q
1 1 4 1 6 6 2

法二:由等比数列的性质得

S4-S2 q2= =4,(下同一) S2

法三:由 S2,S4-S2,S6-S4 成等比数列 所以 (S4-S2)2=S2(S6-S4),得 S6=63.

【答案】

x2 ? y 2 ? 1. 1 2

【命题立意】本题旨在考查双曲线的标准方程,双曲线几何性质,渐近线等概念.考查概念和运算和推理 能力,难度中等.

?1 1 ? ?1 ? 2 1 ? x2 ? a 2 b2 ?a ? 2 【解析】法一: 由题意可得 ? ,解得 ? 2 .故双曲线的方程为 ? y ? 1. 1 b 2 ? ? ? 2 ? b ?1 2 ? a ?
法二:设所求的双曲线方程为:2x2-y2=λ,因为点 P(1,1),所以 λ=2-1=1.所以,所求的双曲线方程 为:2x2-y2=1.

【答案】

1 . 12

【命题立意】本题旨在考查多面体的概念,三棱锥的体积求法.考查计算能力,难度较小.

【解析】根据等体积法可得 VB1 ? ADE ? VD ? AB1E ?

1 1 1 1 ? ? ? 1? 1 ? . 3 2 2 12

1 1 1 1 1 法一:VB1-ADE=VD-AB1E= × AD× S△AB1E= × 1× × 1× = . 3 3 2 2 12 1 1 1 1 法二:因为 AD⊥B1E,所以 VB1-ADE= × AD× B1E× d× sinθ= × 1× × 1× 1= . 6 6 2 12 (其中 d 为异面直线 AD 与 B1E 的距离,θ 为异面直线 AD 与 B1E 所成的角). 法三:设 F、G、H 分别为棱 CC1、DD1、AA1 的中点, 1 1 1 1 则 VB1-ADE= VB1-ADEF= × V = V = . 2 6 B1C1GH-ADEF 12 ABCD-A1B1C1D1 12

【答案】 ?1 . 【命题立意】考查函数,分段函数的概念,函数的奇偶性,函数的求值等基础知识.考查数形结合 的思想方法,考查分析问题、解决问题的能力,难度中等. 【解析】法一:因为函数 f(x)为奇函数,所以 f(-1)=-f(1),f(-2)=-f(2),即
?1(1-b)=a(-1+2) ? ,解得 a=-1,b=2.经验证 a=-1,b=2 满足题设条件. ?2(2-b)=2a(-2+2)

f(a+b)=f(1)=-1. 法二:因为函数 f(x)为奇函数,所以 f(x)的图象关于原点对称. b b2 当 x>0,二次函数的图象顶点为( ,- ). 2 4 当 x<0,二次函数的图象顶点为(-1,-a). b b2 所以,- =-1,- =a,解得 a=-1,b=2.(下略). 2 4

【答案】

5 . 9

【命题立意】本题旨在考查三角函数的基本性质,诱导公式,两角和与差三角函数,三角函数的恒等变换, 考查运算能力,难度中等. 【解析】 sin ? x ?

? ?

5? 6

?? ?? ? ? ?? ? ? ? 2 ?? 2 ?? ? ? sin ? ? x ? ? sin ? ? x ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? x ? ? ? 6? 6 ?? ? ?3 ? ?? ? ?2 ?

?? ?? 5 ? ? ? ? sin ? x ? ? ? 1 ? sin 2 ? x ? ? ? . 6? 6? 9 ? ?
5π π π 1 法一:sin(x- )=sin(x+ -π)=-sin(x+ )=- . 6 6 6 3 π π π 1 8 sin2( -x)=cos2(x+ )=1-sin2(x+ )=1- = , 3 6 6 9 9 5π π 8 1 5 所以 sin(x- )+sin2( -x)= - = . 6 3 9 3 9 5π π π 1 1 2π 法二:sin(x- )+sin2( -x)=-sin(x+ )+ - cos( -2x) 6 3 6 2 2 3 1 1 1 π 1 1 1 π 5 =- + + cos(2x+ )=- + + [1-2sin2(x+ )]= . 3 2 2 3 3 2 2 6 9

【答案】 ? ?2 2, 2 2 ? .

?

?

【命题立意】本题旨在考查直线与圆的位置关系,点到直线距离.考查学生的运算能力,灵活运用有关知 识解决问题的能力.难度中等. 【解析】法一:设满足条件 PA=2PB 的 P 点坐标为(x,y),则(x-4)2+y2=4(x-1)2+4y2,化简得 |m| x2+y2=4.要使直线 x-y+m=0 有交点,则 ≤2.即-2 2≤m≤2 2. 2 法二:设直线 x-y+m=0 有一点(x,x +m)满足 PA=2PB,则 (x-4)2+(x+m)2=4(x-1)2+4(x+m)2. 整理得 2x2+2mx+m2-4=0 (*) 方程(*)有解,则△=4m2-8(m2-4)≥0, 解之得:-2 2≤m≤2 2.

【答案】3. 【命题立意】本题旨在考查向量的线性运算,向量的数量积,向量的坐标运算.考查运算能力,推理论证 能力及灵活运用数学知识能力.难度中等. → → → → →→ → → → → μ→ → → η→ η→ 【解析】法一:设 AB = a , AC = b .则 a ·b =8.设 AP =λ AB +μ AE =λ a + b , AP =η AD = a + b , 3 2 2

又 B、P、E 三点共线,所以

? ?λ=2 η ?μ = 3 2 ? ?λ+μ=1

η

1 3 1 解之得:λ= ,μ= ,η= . 4 4 2

→ → → 3→ 1→ → 1→ 1→ PB = AB - AP = a - b , PD = a + b , 4 4 4 4 1 → → → 3→ 1→ 1→ 1→ →→ → PB ·PD =( a - b )( a + b )= (3 a 2+2 a ·b - b 2)=3. 4 4 4 4 16 2 4 3 法二:以 BC 为 x 轴,AD 为 y 轴,建立坐标系,B(-2,0),C(-2,0),A(0,2 3),E( , ), 3 3 →→ P(0, 3).所以, PB ·PD =(-2,- 3)· (0,- 3)=3.

4 【答案】3. 【命题立意】本题旨在考查导数的概念,函数的切线方程.考查运算能力,推理论证能力及灵活运用数学 知识能力,难度中等. 【解析】由题设函数 y=x2 在 A(x1,y1)处的切线方程为:y=2x1 x-x12, 函数 y=x3 在 B(x2,y2)处的切线方程为 y=3 x22 x-2x23.
?2x1=3x22 32 8 所以? 2 3 ,解之得:x1= ,x2= . 27 9 ?x1 =2x2

所以

x1 4 = . x2 3

1 【答案】24. 【命题立意】本题旨在考查二次函数、函数性质、基本不等式、绝对值的概念. 考查恒等变换,代换技巧, 抽象概括能力和综合运用数学知识解决问题能力,难度中等. 【解析】法一:由|f(x)|≤1,得|2a+3b|≤1, 所以,6ab≤|2a· 3b|=|2a+3b-3b|· |3b|≤ (

2a ? 3b ? 3b ? 3b 2 1 1 ) ≤ (2a ? 3b)2 ≤ . 2 4 4

1 1 且当2a=3b=± 时,取得等号.所以ab的最大值为 . 2 24

?f(0)=3b 法二:由题设得? ? ?f(1)=2a+3b

?a=2(f(1)-f(0)) 1 1 f(1) 1 ,ab= (f(1)-f(0))f(0)≤ ( ) ≤ . ? 1 6 6 2 24 ? b=3f(0)
2

1

【答案】 (1)

2 ?; (2) 3 . 3

【命题立意】本题旨在考查三角函数的基本关系、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、向量的数量积 等基本知识,考查运算求解能力.难度较小. 【解析】

【答案】 (1)略; (2)略. 【命题立意】本题旨在考查直线与直线、直线与平面及平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象 能力和推理论证能力.难度较小.

【解析】

【答案】 (1)

1 x2 y 2 ? ? 1; (2) y ? ? x . 2 8 2

【命题立意】本题旨在考查直线、圆、解三角形等基础知识,考查学生的抽象概括能力、运算求解能力, 建系能力,考查学生的数学应用意识.难度中等. 【解析】

?1 ? sin ? ? 【答案】 (1)① S ?
sin 2?

2

t3 3 3 ?? ? S ? ② (2) . 0 ? ? ? ? t ? 1? ; ? ? 2 t ?1 2 2? ?

【命题立意】本题旨在考查椭圆的标准方程和几何性质,直线与椭圆的交点,直线斜率等基础知识.考查 运算能力.难度中等.

?2 ?2 ?1 【答案】 (1)函数 f ? x ? 的单调增区间为 e , ?? ,单调减区间为 0, e ; (2)当 a ? 2e 时, f ? x ? 的

?

?

?

?

零点个数为 0;当 a ? 2e 时,或 a ? 0 时, f ? x ? 的零点个数为 1;当 0 ? a ? 2e 时, f ? x ? 的零点个数
?1 ?1

为 2. 【命题立意】本题旨在考查函数的基本性质、导数的应用等基础知识,考查综合运用数学思想方法分析与 解决问题的能力.难度较大.

【答案】 (1)① an ? 2n?1 ? 1 ;②略; (2)略. 【命题立意】本题旨在考查数列的概念、等差数列、等比数列的的通项公式与求和公式、不等式的求解等 基本性质.考查学生创新意识.难度较大. 【解析】

【答案】

18 5

【命题立意】本题旨在考查圆的基本性质、圆周角定理等基础知识,考查推理论证能力.难度较小. 【解析】

【答案】 1或

1 2

【命题立意】本题旨在考查矩阵乘法,矩阵相等,矩阵的逆等基础知识,考查学生的运算能力.难度较小.

【答案】 ? sin ? ? ?

? ?

??

? ? 2. 4?

【命题立意】本题旨在考查抛物线的参数方程、参数方程化普通方程、直线与曲线的交点、直线被曲线所 截的弦长.考查数形结合思想和运算求解能力.难度较小.

【答案】略 【命题立意】本题旨在考查算术—几何平均不等式等基本知识,考查应用综合法、分析法证明不等式,考 查学生推理论证能力.难度较小.

【答案】 (1)

3 41 42 ; (2) 41 42

【命题立意】本题旨在考查空间向量,空间坐标系,向量的运算,直线与直线所成的角,二面角的求法等 基础知识.难度中等.

【答案】 (1) f1 ? x ? ? ? x ?1? cos x ? ? x ?1?? ? sin x ? , (2) f2 ? x ? ? ? ? x ? 2? sin x ? ? x ? 2? cos x ;

n? ? f n ? x ? ? ? x ? n ? sin ? x ? 2 ?

n? ? ? ? ? ? x ? n ? cos ? x ? 2 ? ?

? ? ,证明略. ?

【命题立意】本题旨在考查导数,三角函数,递推方法,数学归纳法等基础知识.考查学生探究能力和推 理论证能力.难度较大.


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