nbhkdz.com冰点文库

高中数学:复习不等式知识点及主要题型

时间:2015-03-16


不等式的基本知识
一、解不等式
1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0或ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的解集: 设相应的一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的两根为 x1、x2 且 x1 ? x2 , ? ? b ? 4ac ,则
2

不等式的解的各

种情况如下表:

??0

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c
二次函数

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c
( a ? 0 )的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

?a ? 0?的根

ax ? bx ? c ? 0
2

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x 2 ? ?

b 2a

无实根

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?
?

R

?x x

1

? x ?x 2 ?

?

2、简单的一元高次不等式的解法: 标根法:其步骤是: 1)分解成若干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正; 2)将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根的右上方依次通过每一点画曲线;并注意奇穿 过偶弹回; 3)根据曲线显现 f ( x) 的符号变化规律,写出不等式的解集。 如:?x ? 1??x ? 1? ?x ? 2? ? 0
2 3

1

2

3、分式不等式的解法:分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0,再通分并将分子分母 分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解。解分式不等式时,一般 不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母。

f ( x) ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0; g ( x)

? f ( x) g ( x) ? 0 f ( x) ?0?? g ( x) ? g ( x) ? 0

4、不等式的恒成立问题:常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式 f ?x ? ? A 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ?min ? A 若不等式 f ?x ? ? B 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ?max ? B

二、线性规划
1、用二元一次不等式(组)表示平面区域 二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面 区域.(虚线表示区域不包括边界直线) 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点( x , y ),把它的坐标( x , y )代入 Ax+By+C,所得到实 数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点(x0,y0),从 Ax0+By0+C 的正负即可判断 Ax+By+C>0 表示直线哪一侧的平面区域.(特殊地,当 C≠0 时,常把原点作为此特殊点) 3、线性规划的有关概念: ①线性约束条件:在上述问题中,不等式组是一组变量 x、y 的约束条件,这组约束条件都是关 于 x、y 的一次不等式,故又称线性约束条件. ②线性目标函数: 关于 x、y 的一次式 z=ax+by 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、y 的解析式,叫线性目标 函数. ③线性规划问题: 一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题. ④可行解、可行域和最优解: 满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解. 由所有可行解组成的集合叫做可行域. 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解. 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤: 1)寻找线性约束条件,列出线性目标函数; 2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域; 3)依据线性目标函数作参照直线 ax+by=0,在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解

3

三、基本不等式 ab ?
2、如果 a,b 是正数,那么

a?b 2

1、若 a,b∈R,则 a2+b2≥2ab,当且仅当 a=b 时取等号.

a?b ? ab (当且仅当 a ? b时取" ?"号). 2
2

?a?b? 变形: 有:a+b≥ 2 ab ;ab≤ ? ? ,当且仅当 a=b 时取等号. ? 2 ?
3、如果 a,b∈R+,a·b=P(定值),当且仅当 a=b 时,a+b 有最小值 2 P ; 如果 a,b∈R+,且 a+b=S(定值),当且仅当 a=b 时,ab 有最大值

S2 . 4

注: 1)当两个正数的积为定值时,可以求它们和的最小值,当两个正数的和为定值时,可以求它们 的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大” . 2)求最值的重要条件“一正,二定,三取等” 4、常用不等式有: 1)

a 2 ? b2 ? a ? b ? ab ? 2 (根据目标不等式左右的运算结构选用) ; 2 2 1?1 a b

2 2 2 2)a、b、c ? R, a ? b ? c ? ab ? bc ? ca (当且仅当 a ? b ? c 时,取等号) ;

3)若 a ? b ? 0, m ? 0 ,则

b b?m ? (糖水的浓度问题) 。 a a?m

4

不等式主要题型讲解
一、不等式与不等关系 题型一:不等式的性质 1、对于实数 a, b, c 中,给出下列命题: ① 若a ? b, 则ac2 ? bc2 ; ③ 若a ? b ? 0, 则a 2 ? ab ? b 2 ; ⑤ 若a ? b ? 0, 则 ② 若ac2 ? bc2 , 则a ? b ; ④ 若a ? b ? 0, 则

1 1 ? ; a b

b a ? ; ⑥ 若a ? b ? 0, 则 a ? b ; a b a b 1 1 ? ⑦ 若c ? a ? b ? 0, 则 ; ⑧ 若a ? b, ? ,则 a ? 0, b ? 0 。 c?a c?b a b
其中正确的命题是______ 题型二:比较大小(作差法、函数单调性、中间量比较,基本不等式)

2、设 a ? 2 , p ? a ?

2 1 , q ? 2 ?a ?4a?2 ,试比较 p, q 的大小 a?2

3、比较 1+ logx 3 与 2 logx 2( x ? 0且x ? 1) 的大小

4 、 若 a ? b ? 1, P ? 是 .

lg a ? lg b , Q ?

1 a?b (lg a ? lg b), R ? lg( ) , 则 P, Q, R 的 大 小 关 系 2 2

二、解不等式 题型三:解不等式 5、解不等式: 2 x ? 7 x ? 4 ? 0
2

4x2 ? 4x ? 1 ? 0

5

6、解不等式 ( x ?1)( x ? 2)2 ? 0 。

7、解不等式

5? x ? ?1 x ? 2x ? 3
2

8、不等式 ax ? bx ? 12 ? 0 的解集为{x|-1<x<2},则 a =_____, b=_______
2

9、关于 x 的不等式 ax ? b ? 0 的解集为 (1,??) ,则关于 x 的不等式

ax ? b ? 0 的解集为 x?2

10、解关于 x 的不等式 ax2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0

6

题型四:恒成立问题 11、关于 x 的不等式 a x2+ a x+1>0 恒成立,则 a 的取值范围是_____________

12、若不等式 x 2 ? 2mx ? 2m ? 1 ? 0 对 0 ? x ? 1 的所有实数 x 都成立,求 m 的取值范围.

13、已知 x ? 0, y ? 0 且

1 9 ? ? 1 ,求使不等式 x ? y ? m 恒成立的实数 m 的取值范围。 x y

三、基本不等式 ab ? 题型五:求最值

a?b 2

14、 (直接用)求下列函数的值域 1 1)y=3x 2+ 2 2x 1 2)y=x+ x

15、 (配凑项与系数) 1)已知 x ?

5 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最大值。 4 4x ? 5

7

2)当

时,求 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值。

x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域。 16、(耐克函数型)求 y ? x ?1

注意:在应用基本不等式求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数 f ( x) ? x ? 性。 17、 (用耐克函数单调性)求函数 y ?

a 的单调 x

x2 ? 5 x2 ? 4

的值域。

18、 (条件不等式)
a b 1)若实数满足 a ? b ? 2 ,则 3 ? 3 的最小值是

.

2)已知 x ? 0, y ? 0 ,且

1 9 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值。 x y

y2 3)已知 x,y 为正实数,且 x 2+ =1,求 x 1+y 2 的最大值. 2

8

1 4)已知 a,b 为正实数,2b+ab+a=30,求函数 y= 的最小值. ab

题型六:利用基本不等式证明不等式 19、已知 a, b, c 为两两不相等的实数,求证: a
2

? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca

20、正数 a,b,c 满足 a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc

21、已知 a、b、c ? R ,且 a ? b ? c ? 1 。求证: ?

?

? 1 ?? 1 ?? 1 ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 8 ? a ?? b ?? c ?

题型七:均值定理实际应用问题:
9

22、某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 200m2 的三级污水处理池(平面图如 图) , 如果池外圈周壁建造单价为每米 400 元,中间两条隔墙建筑单价为每米 248 元, 池底建造单价为每平方米 80 元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水池的长和宽,使 总造价最低,并求出最低造价。

四、线性规划
题型八:目标函数求最值

?2 x ? y ? 3 ? 0 ? 23、满足不等式组 ?7 x ? y ? 8 ? 0 ,求目标函数 k ? 3x ? y 的最大值 ? x, y ? 0 ?

24 、 已 知 实 系 数 一 元 二 次 方 程 x ? (1 ? a) x ? a ? b ? 1 ? 0 的 两 个 实 根 为 x1 、 x2 , 并 且
2

0 ? x1 ? 2 , x2 ? 2 .则

b 的取值范围是 a ?1

? x?0 ? x , y 25、已知 满足约束条件: ?3 x ? 4 y ? 4 ,则 x2 ? y 2 ? 2 x 的最小值是 ? y?0 ?
10

?x ? 2 y ? 3 ? 0 ? 26、已知变量 x, y满足约束条件 ? x ? 3 y ? 3 ? 0 .若目标函数 z ? ax ? y (其中 a>0)仅在点 ? y ?1 ? 0 ?
(3,0)处取得最大值,则 a 的取值范围为 。

? y ? 1, ? 27、已知实数 x, y 满足 ? y ? 2 x ? 1, 如果目标函数 z ? x ? y 的最小值为 ?1 ,则实数 m 等于 ? x ? y ? m. ?
题型九:实际问题 28、某饼店制作的豆沙月饼每个成本 35 元,售价 50 元;凤梨月饼每个成本 20 元,售价 30 元。 现在要将这两种月饼装成一盒,个数不超过 10 个,售价不超过 350 元,问豆沙月饼与凤梨月饼 各放几个,可使利润最大?又利润最大为多少?

11

不等式的基本知识参考答案
高中数学必修内容练习---不等式 1、②③⑥⑦⑧; 2、 p ? q ; 3、当 0 ? 当1 ? 当x

x ? 1或 x ?

4 时,1+ logx 3 > 2log x 2 ; 3

x?

4 时,1+ logx 3 < 2log x 2 ; 3

4 时,1+ logx 3 = 2log x 2 3 4、∵ a ? b ? 1 ∴ 1 lg a ? 0, lg b ? 0 Q ? ( lg a ? lg b) ? lg a ? lg b ? p 2 a?b 1 R ? lg( ) ? lg ab ? lg ab ? Q ∴R>Q>P。 2 2 ?
5、

x ? 1 或 x ? ?2} ; 7、 (?1,1) (2,3) ) ;
6、 { x | 8、不等式 ax
2

9、 (??,?1) ? (2,??) ).

? bx ? 12 ? 0 的解集为{x|-1<x<2},则 a =___-6____, b=__6_____

10、解:当 a=0 时,不等式的解集为 x x ? 1 ; 当 a≠0时,a(x-

?

?

2分

1 1 )(x-1)<0;当 a<0时,原不等式等价于(x- )(x-1)>0 a a 1? ? 不等式的解集为 ? x x ? 1或x ? ? ; ....................................................................................................... 6分 a? ? 1 1? ? 当0<a<1时,1< ,不等式的解集为 ? x 1 ? x ? ? ; ..................................................................... 8分 a? a ? 1 ? 1 ? 当 a>1时, <1,不等式的解集为 ? x ? x ? 1? ; .......................................................................... 10分 a ? a ?
当 a=1时,不等式的解为 φ..................................................................................................................... 12分 11、0≤x<4 12、 m

??

1 ) 2

13、 m ?

? ??,16?
1 3x 2· 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) 2x x· 1 x 1 1 =2;当 x<0 时, y=x+ = -(- x- )≤-2 x x x· 1 x =-2

1 14、解:1)y=3x 2+ 2 ≥2 2x 1 2)当 x>0 时,y=x+ ≥2 x

∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞)

12

15、1)解

5 1 1 ? ? x ? ,? 5 ? 4 x ? 0 ,? y ? 4 x ? 2 ? ? ? ? 5 ? 4x ? ? ? 3 ? ?2 ? 3 ? 1 4 4x ? 5 5 ? 4x ? ?

当且仅当 5 ? 4 x 2) 当 16、解析一:

?

1 ,即 x ? 1 时,上式等号成立,故当 x ? 1 时, ymax ? 1 。 5 ? 4x

,即 x=2 时取等号

当 x=2 时,

y ? x(8 ? 2 x) 的最大值为 8。



,即

时,

y ? 2 (x ? 1) ?

4 ? 5 ? 9 (当且仅当 x=1 时取“=”号)。 x ?1

解析二:本题看似无法运用基本不等式,可先换元,令 t=x+1,化简原式在分离求最值。

(t ? 1)2 ? 7(t ? 1 ) +10 t 2 ? 5t ? 4 4 y? = ? t ? ?5 t t t 4 当 , 即 t= 时, y ? 2 t ? ? 5 ? 9 (当 t=2 即 x=1 时取“=”号)。 t
17、解:令
2 x2 ? 4 ? t (t ? 2) ,则 y ? x ? 5 ? x 2 ? 4 ?

x ?4
2

1 ? t ? (t ? 2) t x ?4
2

1

1 1 ? 0, t ? ? 1 ,但 t ? 解得 t ? ?1 不在区间 ? 2, ?? ? ,故等号不成立,考虑单调性。 t t 1 5 因为 y ? t ? 在区间 ?1, ?? ? 单调递增,所以在其子区间 ? 2, ?? ? 为单调递增函数,故 y ? 。 2 t
因t 所以,所求函数的值域为

?5 ? , ?? ? 。 ? ?2 ?

18、 (条件不等式) 1)解: 当3
a

3 a 和3b 都是正数, 3 a ? 3b ≥ 2 3a ? 3b ? 2 3a?b ? 6

? 3b 时等号成立,由 a ? b ? 2 及 3 a ? 3b 得 a ? b ? 1 即当 a ? b ? 1 时, 3 a ? 3b 的最小值是 6.
? 1 9 ? y 9x 1 9 x ? 0, y ? 0, ? ? 1 ,? x ? y ? ? x ? y ? ? ? ? ? ? ? 10 ? 6 ? 10 ? 16 x y ? x y? x y

2)解:

当且仅当

1 9 y 9x ? 1 ,可得 x ? 4, y ? 12 时, ? x ? y ?min ? 16 ? 时,上式等号成立,又 ? x y x y

13

3)解:x 1+y 2 =x 下面将 x, 1 y2 + 2 2



1+y 2 = 2 x· 2

1 y2 + 2 2

分别看成两个因式: 1 y2 + 2 2 2 y2 1 + 2 2 3 = 2 4



1 y + 2 2

2

x 2+( ≤

)2 =

x 2+

即 x 1+y 2 = 2 · x

1 y2 3 + ≤ 2 2 4

2

30-2b 4)解:法一:a= , b+1 由 a>0 得,0<b<15

ab=

30-2b -2 b 2+30b ·b= b+1 b+1

-2t 2+34t-31 16 16 令 t=b+1,1<t<16,ab= =-2(t+ )+34∵t+ ≥2 t t t ∴ ab≤18 ∴ y≥ 1 当且仅当 t=4,即 b=3,a=6 时,等号成立。 18 ∴ 30-ab≥2 2 ab



16 t

=8

法二:由已知得:30-ab=a+2b∵ a+2b≥2 2 ab 2 令 u= ab 则 u +2 2 u-30≤0, -5 2 ≤u≤3 2 1 ∴ ab ≤3 2 ,ab≤18,∴y≥ 18 19、已知

a, b, c 为两两不相等的实数,求证: a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca
?

20、正数 a,b,c 满足 a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc 21、已知 a、b、c ? R ,且 a ? b ? c

? 1 ?? 1 ?? 1 ? ? 1 。求证: ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 8 ? a ?? b ?? c ?
1 1 ? a b ? c 2 bc ?1 ? ? ? a a a a
。同理

证明:

a、b、c ? R ,

?

a ?b ? c ?1 。?

1 2 ac ?1 ? b b



1 2 ab 。上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得 ?1 ? c c

1 ? 1 ?? 1 ?? 1 ? 2 bc 2 ac 2 ab ? 8 。当且仅当 a ? b ? c ? 时取等号。 ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 3 a b c ? a ?? b ?? c ?
22、解:若设污水池长为 x 米,则宽为 水池外圈周壁长: 中间隔墙长: 池底面积:200(米 2) 目标函数: (米) (米) (米)



14

23、4 24、 25、1 26、 ( 27、5 28、解:设一盒內放入 x 个豆沙月饼,y 个凤梨月饼,利润为 z 元

1 ( ?3,? ) 2 1 ,?? ) 2

则 x,y 必须满足 目标函数为 z=15x+10y



在可行区內的顶点附近 z=f ( x,y ) 的最大值,

所以,一盒内装 2 个豆沙月饼 8 个凤梨月饼或 4 个豆沙月饼 5 个凤梨月饼,可得最大利润 110 元。

15


高考数学不等式知识点及相关题型

高考数学不等式知识点及相关题型_数学_高中教育_教育专区。不等式一、比较大小作差法:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果。 ?a ? b ? 0 ? ...

高中数学不等式选修知识点和常考题型归纳

高中数学不等式选修知识点和常考题型归纳_高三数学_数学_高中教育_教育专区。...不等式对一些简单 的不等式进行证明.该部分的复习以基础知识、基本方法为主,不...

高中数学--不等式知识点归纳和分类习题测试

高中数学--不等式知识点归纳和分类习题测试_高一数学_数学_高中教育_教育专区。...x ?1 题型二:条件求值 a b 1.若实数满足 a ? b ? 2 ,则 3 ? 3 ...

不等式知识点及题型总结

不等式知识点及题型总结_高二数学_数学_高中教育_教育专区。高一不等式小结、复习及几种常见的不等式解法。不等式一、知识点: 知识点: 1. 实数的性质: 实数的性...

高一下学期期末复习之——必修五不等式知识点及主要题型

高一下学期期末复习之——必修五不等式知识点及主要题型_高二数学_数学_高中教育_教育专区。不等式的基本知识(一)不等式与不等关系 1、应用不等式(组)表示不等...

...学期期末复习之——必修五不等式知识点及主要题型_...

高一下学期期末复习之——必修五不等式知识点及主要题型_讲义含解答 - 23_高三数学_数学_高中教育_教育专区。不等式的基本知识(一)不等式与不等关系 1、应用不...

...学期期末复习之——必修五不等式知识点及主要题型_...

高一下学期期末复习之——必修五不等式知识点及主要题型_讲义含解答_高二数学_数学_高中教育_教育专区。不等式的基本知识(一)不等式与不等关系 1、应用不等式(组...

必修五不等式知识点&典型例题

必修五不等式知识点&典型例题_数学_高中教育_教育专区。不等式精品学案高中...第三章 不等式复习 a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d a ? b, c...

...学期期末复习之——必修五不等式知识点及主要题型_...

高一下学期期末复习之——必修五不等式知识点及主要题型_讲义含解答2_高一数学_数学_高中教育_教育专区。不等式的基本知识 y ? ax2 ? bx ? c (一)不等式与...

高中数学不等式知识点总结

高中数学不等式知识点总结_数学_高中教育_教育专区。选修 4--5 知识点 1、不等式的基本性质 ①(对称性) a ? b ? b ? a ②(传递性) a ? b, b ? ...