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平面向量数量积的坐标表示


2.4.2

平面向量

数量积的坐标表示、模、夹角

一、复习引入

我们学过两向量的和与差可以转 化为它们相应的坐标来运算,那么怎 样用

二、新课学习 1、平面向量数量积的坐标表示 如图,i 是x轴上的单位向量, j 是y 轴上的单位向量, 由于
i ? i ?

1. j ? j ? 1 .
i ? j ? j ? i ? 0.

所以
b

y A(x ,y ) 1 1
j

B(x2,y2)

a

o i

x

下面研究怎样用 设两个非零向量
a

? ? ? ? ? ? a ? x1 i ? y1 j b ? x2 i ? y 2 j , ? ? ? ? ? ? a ? b ? ( x1 i ? y1 j ) ? ( x2 i ? y2 j ) ?2 ? ? ? ? ?2 ? x1 x2 i ? x1 y2 i ? j ? x2 y1 i ? j ? y1 y2 j ? x1 x2 ? y1 y2

=(x1,y1),

b

=(x2,y2),则

故两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和。即 y A(x ,y )
1 1

B(x2,y2)
b
j

a
i

o

x

根据平面向量数量积的坐标表示,向 量的数量积的运算可转化为向量的坐标运 算。

2、向量的模和两点间的距离公式

3、两向量垂直和平行的坐标表示 (1)垂直

(2)平行

4、两向量夹角公式的坐标运算

三、基本技能的形成与巩固
例1 (1) 已知a ? (?1,2 ? 3 ), b ? (1,1), 求a ? b, a ? b, a与b的夹角? .

(2) 已知a ? (2,3), b ? (?2,4), 则(a ? b) ( ? a ? b) ? .

练习:课本P1191、2、3.

例2 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),
试判断?ABC的形状,并给出证明.

y

C(-2,5) 证明:?AB? (2 ?1,3 ? 2) ? (1,1)
AC? (?2 ?1,5 ? 2) ? (?3,3)
?AB? AC? 1? (?3) ?1? 3 ? 0

B(2,3) A(1,2) 0 x

?AB? AC

?三角形 ABC 是直角三角形 .

练习2:以原点和A(5,2)为两 个顶点作等腰直角三角形OAB, ?B=90?,求点B的坐标.
y B A O x

四、逆向及综合运用
例3 (1)已知 a =(4,3),向量 b 是 垂直于 a 的单位向量,求 b .
(2)已知 a ? 10 , b ? (1,2),且a // b,求a的坐标.
3? (3)已知a ? (3,0), b ? (k ,5),且a与b的夹角为 , 4 求k的值.

提高练习
1、已知OA ? (?3,1), OB ? (0,5),且 AC // OB, BC ? AB,则点C的坐标为

2、已知A(1,2)、B(4、0)、C(8,6)、 D(5,8),则四边形ABCD的形状是矩形 .

b = (-3,2), a = (1,2), 若k a +2 b 与 2 a - 4 b 平行,则k = - 1 .
3、已知

小结 1、理解各公式的正向及逆向运 用; 2、数量积的运算转化为向量的坐 标运算; 3、掌握平行、垂直、夹角及距离 公式,形成转化技能。 作业 课本P119A组5(1),9,10,11.


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