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辽宁省大连理工大学附属高中数学:新人教B版必修二 1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征 学案


大连理工大学附属高中数学学案

1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球
一.学习要点:圆柱、圆锥、圆台及球等旋转体的概念及其性质。 二.学习过程:

一.圆柱

O1 A1

O A 1. 圆柱的有关概念: (1)圆柱:以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫 做圆柱。

(2)圆柱的轴:旋转轴叫做圆柱的轴。直线 OO1 . (3)圆柱的底面:垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面。 (4)圆柱的侧面:平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面。 (5)圆柱的母线:不论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线。 (6)圆柱的轴截面:经过圆柱的轴所作的截面叫做圆柱的轴截面。 概念解读: (1)连结圆柱上底面圆周上的一点和下底面圆周上一点的线段,不一定在侧面上,因此不 一定是母线; (2)把圆柱的侧面按一条母线展开后是一个矩形,它的长是底面圆的周长,宽和母线长相 等。 2.圆柱的表示法:圆柱 OO1 . 3.圆柱的性质: (1)圆柱的底面是两个互相平行的等圆面,平行于底面的截面也和底面是等圆面; (2)圆柱的轴截面有无数个,并且都是全等的矩形; (3)圆柱的母线有无数条,它们相互平行,并且均等于圆柱的高; (4)连结圆柱两底面圆心的线段是圆柱的高,和母线长相等。 例 1 圆柱的轴截面是边长为 5cm 的正方形 ABCD ,则圆柱侧面上从 A 到 C 的最短距离为

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A. 10cm

B.

5 ? 2 ? 4cm 2

C. 5 2cm

D. 5 ? 2 ? 1cm
S

二.圆锥
1.圆锥的有关概念: (1)圆锥:以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转 形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。 (2)圆锥的轴:旋转轴叫做圆锥的轴。直线 SO . (3) 圆锥的高:在轴上的这条边(或它的长度)叫做圆锥的高。 (4)圆锥的底面:垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面。 (5)圆锥的侧面:三角形的斜边绕轴旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面。 (6)圆锥的母线:不论旋转到什么位置,斜边所在的边都叫做圆锥的母线。 (7)圆锥的轴截面:经过圆锥的轴所作的截面叫做圆锥的轴截面。 2. 圆锥的表示法:圆锥 SO .

O A

3. 圆锥的性质: (1)圆锥的底面是一个圆面,平行于底面的截面也是一个圆面; (2)圆锥的轴截面有无数个,并且都是全等的等腰三角形; (3)过顶点的圆锥的截面都是等腰三角形,它的腰就是圆锥的两条母线; (4)连结顶点与底面圆周上任意一点的线段,都是圆锥的母线。 例 2 点 O1 为圆锥的高中靠近顶点的一个三等分点, O1 与底面平行的截面面积是底面面积 过 的( )

1 3 三.圆台
A.

B.

2 3

C.

1 4

D.

1 9

1.圆台的有关概念: (1)圆台:以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,其余各边旋转形成的曲面 所围成的几何体叫做圆台。 O1 (2)圆台的轴:旋转轴叫做圆台的轴。直线 OO1 . A1 (3)圆台的高:在轴上的这条边(或它的长度)叫做圆台的高。 (4)圆台的底面:垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆台的底面。 (5)圆台的侧面:不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆台的侧面。 O (6)圆台的母线:不论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆台的母线。 A (7)圆台的轴截面:经过圆台的轴所作的截面叫做圆台的轴截面。 2. 圆台的表示法:圆台 OO1 . 3.圆台的性质: (1) 圆台的两个底面是两个半径不等且互相平行的圆面, 平行于底面的截面也是一个圆面; (2)圆台的轴截面都是全等的等腰梯形; (3)把各条母线延长后都相交于一点。
2

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例 3 用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得圆台上下底面半径的比是 1 : 4 ,截去 的圆锥的母线长是 3cm ,求圆台的母线长。

四.球 1.球的概念: (1)球面:一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面。球面也可 以看作空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合。 (2)球:球面围成的几何体叫做球。 (3)球心:形成球的半圆的圆心叫球心。 (4)球半径:连接球面上一点和球心的线段叫球的半径。 (5)球直径:连接球面上两点且通过球心的线段叫球的直径。 (6)球大圆:球面被经过球心的平面截得的圆叫球的大圆。 (7)球小圆:球面被不经过球心的平面截得的圆叫球的小圆。 (8)球面距离:在球面上两点之间的最短距离,就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣 弧的长度。我们把这个弧长叫做两点的球面距离。 (9)地球的经度与纬度: A P R C B O B O A O Q A O B

O 2.球的表示法:球 O . 3.球的截面性质: (1)球心和截面圆心的连线垂直于截面; B R r d C

3

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(2)球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r 满足:

r ? R2 ? d 2 .
例 4 我国首都北京靠近北纬 40 .求北纬 40 纬线的长度(单位: km ,地球半径约为 6370km ) .
o o

例 5 在半径是 13cm 的球面上有 A 、 B 、C 三点, AB ? 6cm , BC ? 8cm ,CA ? 10cm , 求球心到平面 ABC 的距离。

课堂练习
教材 P13、P16 练习。

课堂作业:见作业(37)(38) 、

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