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高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》课件2


2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

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【课标要求】 1. 理解平面向量数量积的坐标表示, 会用向量的坐标形式求数 量积、向量的模及两个向量的夹角. 2.会用两个向量的坐标判断它们的垂直关系. 3.增强运用向量法与坐标法处理向量问题的意识.

【核心扫描】 1.平面向量数量积的坐标表示及运算.(重点) 2.用两个向量的坐标判断垂直关系.(难点)

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自学导引 1.平面向量数量积的坐标表示 若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a· b= x1x2+y1y2 .

即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 2.两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥b?x1x2+y1y2=0 .

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3.三个重要公式 (1)向量模公式:设 a=(x1,y1),则|a|= x2+y2 . 1 1

→ (2) 两 点 间 距 离 公 式 : 若 A(x1 , y1) , B(x2 , y2) , 则 | AB | = ?x2-x1?2+?y2-y1?2 . (3)向量的夹角公式:设两非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),a 与 b 的夹角为 θ,则 cos θ= x1x2+y1y2 2 2 2 2 . x1+y1· x2+y2

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→ 想 一 想 : 你 能 用 向 量 法 推 导 两 点 间 距 离 公 式 | AB | = ?x2-x1?2+?y2-y1?2吗? → 提示 AB=(x2-x1,y2-y1), → → → → ∴AB· =AB2=|AB|2=(x2-x1)2+(y2-y1)2, AB → 即|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2.

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名师点睛 1.平面向量数量积的坐标表示主要解决的问题 向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完全代数 化,并将数与形紧密结合起来.本节主要应用有: (1)求两点间的距离(求向量的模). (2)求两向量的夹角. (3)证明两向量垂直.

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提醒

已知非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),

若 a∥b?x1y2=x2y1; 若 a⊥b?x1x2=-y1y2. 两个命题不能混淆,可以对比学习,分别简记为:纵横交错积 相等,横横纵纵积相反.

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2.利用数量积求两向量夹角的步骤 (1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数 量积. (2)利用|a|= x2+y2计算出这两个向量的模. x1x2+y1y2 (3)由公式 cos θ= 2 2 2 2直接求出 cos θ 的值. x1+y1· x2+y2 (4)在 0≤θ≤π 内,由 cos θ 的值求角 θ.

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题型一

向量数量积的坐标表示及运算

【例 1】 已知向量 a 与 b 同向,b=(1,2),a· b=10,求: (1)向量 a 的坐标;(2)若 c=(2,-1),求(a· b. c)· [思路探索] 可根据 a 与 b 共线设出 a 的坐标,再利用数量坐标 运算公式构建方程求得 a 的坐标,进而求(a· b. c)·

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解 (1)∵a 与 b 同向,且 b=(1,2), ∴a=λb=(λ,2λ)(λ>0). 又∵a· b=10,∴λ+4λ=10,∴λ=2,∴a=(2,4). (2)∵a· c=2×2+(-1)×4=0,∴(a· b=0· c)· b=0. 规律方法 (1)通过向量的坐标表示实现向量问题代数化,应注 意与方程、函数等知识的联系. (2)向量问题的处理有两种思路:一种是纯向量式,另一种是坐 标式,两者互相补充.

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【变式 1】 已知 a=(4,-3),|b|=1,且 a· b=5,求向量 b 的 坐标. 解 设
?x2+y2=1, ? b=(x,y),则? ?4x-3y=5, ?

? 4 ?x=5, 解得? ?y=-3, 5 ?

?4 3? ∴b=?5,-5?. ? ?

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题型二 两向量的夹角 【例 2】 已知 a=(1,2),b=(1,λ),分别确定实数 λ 的取值范 围,使得:(1)a 与 b 的夹角为直角;(2)a 与 b 的夹角为钝角; (3)a 与 b 的夹角为锐角. a· b [思路探索] 运用 cos θ= 进行求解. |a||b|

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解 设 a 与 b 的夹角为 θ,|a|= 12+22= 5, |b|= 1+λ2,a· b=(1,2)· (1,λ)=1+2λ.

(1)因为 a 与 b 的夹角为直角, 1 所以 a· b=0,所以 1+2λ=0,所以 λ=- . 2 (2)因为 a 与 b 的夹角为钝角,所以 cos θ<0 且 cos θ≠-1, 即 a· b<0 且 a 与 b 不反向. 1 由 a· b<0 得 1+2λ<0,故 λ<- , 2 由 a 与 b 共线得 λ=2,故 a 与 b 不可能反向. 1 所以 λ 的取值范围为(-∞,- ). 2

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(3)因为 a 与 b 的夹角为锐角,所以 cos θ>0,且 cos θ≠1, 即 a· b>0 且 a,b 不同向. 1 由 a· b>0,得 λ>-2,由 a 与 b 同向得 λ=2. 1 所以 λ 的取值范围为(-2,2)∪(2,+∞).

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规律方法

1.已知两向量的坐标,根据平面向量的数量积的定

义和性质,可以求其数量积、两向量的长度和它们的夹角,此 外,求解数量积的有关综合问题,应该注意函数思想与方程思 想的运用. 2.由于两个非零向量 a,b 的夹角 θ 满足 0° ≤θ≤180° ,所以用 a· b cos θ=|a||b|来判断,可将 θ 分五种情况:cos θ=1,θ=0° ;cos θ=0,θ=90° ;cos θ=-1,θ=180° ;cos θ<0 且 cos θ≠-1,θ 为钝角;cos θ>0 且 cos θ≠1,θ 为锐角.

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【变式 2】 已知 a=(-2,-1),b=(λ,1),若 a 与 b 的夹角 α 为钝角,求 λ 的取值范围. -2λ-1 a· b 解 由题意 cos α=|a||b|= , 2 5· λ +1 ∵90° <α<180° ,∴-1<cos α<0, -2λ-1 ∴-1< <0, 2 5· λ +1
?-2λ-1<0, ? ∴? ?-2λ-1>- ?

5λ2+5,

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1 ? ?λ>- , 2 即? ??2λ+1?2<5λ2+5, ? 1 ? ?λ>- , 2 即? ?λ≠2, ? 1 ∴λ 的取值范围是(-2,2)∪(2,+∞).

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题型三 向量垂直的坐标运算 【例 3】 已知
? 1 a=?- , ? 2 ?

3? → ? , =a-b,→ =a+b, OA OB 若△AOB 2? ?

是以 O 为直角顶点的等腰直角三角形,求向量 b. → → 审题指导 设出b=?x,y? → OA⊥OB → 列出方程组 → 求出b

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→ [规范解答] 法一 设向量 b=(x,y),则OA=a-b
? 1 =?- -x, ? 2 ? ? 1 3 ? → 3 ? ? ? ? -y?,OB=a+b=?-2+x, 2 +y?, 2 ? ? ?

→ → → → 由题意可知,OA· =0,|OA|=|OB|, OB 从而有: ?? 1 ?? 1 ? ? 3 ?? 3 ? ??- -x??- +x?+? -y?? +y?=0 ?? 2 ? ?? 2 ?? 2 ? ? 2 ? ?? ? ? ?? 1 ?2 ? 3 ?2 ? 1 ?2 ? 3 ?2 ? ? ? ?- -x? +? -y? =?-2+x? +? 2 +y? ?? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ?x= 2 , 解得? ?y=1 ? 2 ? 3 ?x=- 2 , 或? ?y=-1. 2 ?
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(4 分)

(8 分)

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? 所以 b=? ? ?

? 3 1? 3 1? ? ? 或 b=?- ,- ?. 2 ,2? 2 2? ? ? ?

(12 分)

法二

→ OB → 设向量 b=(x,y),依题意,OA· =0,

→ → |OA|=|OB|,则(a-b)· (a+b)=0, |a-b|=|a+b|, 所以|a|=|b|=1,a· b=0. 所以向量 b 是与向量 a 相互垂直的单位向量, 3 ? 1 ?- x+ y=0, 2 即有? 2 ?x2+y2=1, ?
? 解得 b=? ? ? ? 3 1? 3 1? ? ? ? ,2?或 b=?- 2 ,-2?. 2 ? ? ?
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(6 分)

(12 分)
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【题后反思】 对于判断三角形形状的问题, 若已知三点 A(x1, 1), y B(x2,y2),C(x3,y3),则: → → (1)AB· >0,即(x2-x1)(x3-x1)+(y2-y1)(y3-y1)>0 时,∠A 为锐 AC 角. → → (2)AB· =0, AC 即(x2-x1)(x3-x1)+(y2-y1)(y3-y1)=0 时, ∠A 为直 角. → → (3)AB· <0,即(x2-x1)(x3-x1)+(y2-y1)(y3-y1)<0 时,∠A 为钝 AC 角.

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三角形三内角均满足(1)时,三角形为锐角三角形;三内角有且 只有一个满足(2)时,三角形为直角三角形;三内角有且只有一 个满足(3)时,三角形为钝角三角形.此外,对比两种方法,我 们看到,采用先几何运算后坐标运算会大大减少运算量.

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【变式 3】 已知 a=(m+1,-3),b=(1,m-1),若(a+b)⊥ (a-b),求 m 的值. 解 ∵a+b=(m+2,m-4),a-b=(m,-m-2), 又(a+b)⊥(a-b), ∴(a+b)· (a-b)=0, 即(m+2,m-4)· (m,-m-2)=0. ∴m2+2m-m2+2m+8=0,∴m=-2.

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误区警示

运算出错

【示例】 已知 a=(3,-4),b 是与 a 共线的单位向量,求 b 的坐标. [错解] 因为 b 与 a 共线,所以可设 b=λa,因为 b 是单位向量, 所以|b|=1,即|λa|=1,|(3λ,-4λ)|=1,就是 9λ2+16λ2=1,
?3 4? 1 1 解得 λ=5.故 b 的坐标为5(3,-4),即?5,-5?. ? ?

1 1 由 9λ +16λ =1,应解得|λ|= ,λ=± . 5 5
2 2

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[正解] 因为 b 与 a 共线,所以可设 b=λa,因为 b 是单位向量, 所以|b|=1,即|λa|=1,|(3λ-4λ)|=1,就是 9λ2+16λ2=1,得 1 1 1 1 到|λ|=5,λ=± ,故 b 的坐标为5(3,-4)或-5(3,-4),即 b 5
?3 4? ? 3 4? 的坐标为?5,-5?或?-5,5?. ? ? ? ?

为了避免运算上的错误, 请同学们解题时, 务必细心.

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