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2014届高考数学一轮复习 第70讲《变量的相关性、回归分析和独立性检验》热点针对课件 理


第70讲 变量的相关性、回归分析

和独立性检验

1.变量 X 与 Y 相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2), (11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量 U 与 V 相对应的一组数据 为(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1),r1 表示变量 Y 与 X 之间的线性相关

系数, 2 表示变量 V 与 U 之间的线 r 性相关系数,则( C ) A.r2<r1<0 C.r2<0<r1 B.0<r2<r1 D.r2=r1

解析:对于变量 Y 与 X 而言,Y 随 X 的增大而增大,故 Y 与 X 正相关,即 r1>0;而对于变量 V 与 U 而言,V 随 U 的 增大而减少,故 V 与 U 负相关,即 r2<0,所以有 r2<0<r1, 故选 C.

2. (2013· 南昌模拟)某商品销售量 y(件)与销售价格 x(元 /件)负相关,则其回归方程可能是( A ) A.y =-10x+200 B.y =10x+200 C.y =-10x-200 D.y =10x-200

解析:因为销售量与价格负相关,由函数关系考虑为减 函数,又因为 x,y 不能为负数,排除 C,故选 A.

3.设(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)是变量 x 和 y 的 n 个样本点, 直线 l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的 线性回归直线(如图),以下结论正确的是( )

3.设(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)是变量 x 和 y 的 n 个样本点, 直线 l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的 线性回归直线(如图),以下结论正确的是( D ) A.x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率 B.x 和 y 的相关系数在 0 到 1 之间 C.当 n 为偶数时,分布在 l 两侧的样本点的个数一定 相同 D.直线 l 过点(-,-) x y

解析:由于回归直线方程过样本中心(-,-),故选 D. x y

4.(2012· 枣庄模拟)下面是 2×2 列联表:

则表中 a,b 的值分别为( C ) A.94,72 C.52,74 B.52,50 D.74,52

解析:因为 a+21=73,所以 a=52,又 a+22=b,所 以 b=74,故选 C.



变量的相关性
【例 1】(1)对变量 x,y 有观测数据(xi,yi)(i=1,2,?,

10), 得散点图(a); 对变量 u, 有观测数据(ui, i)(i=1,2, v v ?, 10),得散点图(b).由这两个散点图可以判断( )



变量的相关性
【例 1】(1)对变量 x,y 有观测数据(xi,yi)(i=1,2,?,

10), 得散点图(a); 对变量 u, 有观测数据(ui, i)(i=1,2, v v ?, 10),得散点图(b).由这两个散点图可以判断( A. 变量 x 与 y 正相关,u 与 v 正相关 B. 变量 x 与 y 正相关,u 与 v 负相关 C. 变量 x 与 y 负相关,u 与 v 正相关 D. 变量 x 与 y 负相关,u 与 v 负相关 )

(2)某市居民 2009~2013 年家庭平均收入 x(单位: 万元) 与年平均支出 y(单位:万元)的统计资料如下表所示:

根据统计资料, 居民家庭年平均收入的中位数是____, 家庭年平均收入与支出有______线性相关关系.

解析:(1)由图(a)中的数据随着 x 的增大而 y 减小,因 此变量 x 与 y 负相关;由图(b)中的数据随着 u 的增大而 v 增大,因此变量 u 与 v 正相关,故选 C. (2)由表中所给的数据知所求的中位数为 13,画出 x 与 y 的散点图知它们有较强的线性相关关系, 故应填 13、 较强 的.

【拓展演练 1】 汽车的重量和汽车消耗一升汽油所行驶的路程成负相 关,这说明( )

A.汽车越重,每消耗 1 升汽油所行驶的路程越短 B.汽车越轻,每消耗 1 升汽油所行驶的路程越短 C.汽车越重,消耗汽油越多 D.汽车越轻,消耗汽油越多

解析:由负相关意义,选 A.



回归分析
【例 2】 (2012· 湖北省八市高三 3 月联考)某研究性学习小

组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进 行研究,他们分别记录了 3 月 1 日至 3 月 5 日的每天昼夜温 差与实验室每天每 100 颗种子浸泡后的发芽数,得到如下资 料:

(1)请根据 3 月 2 日至 3 月 4 日的数据,求出 y 关于 x 的 线性回归方程 y =b x+a ; (2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数 据的误差均不超过 2 颗,则认为得到的线性回归方程是可靠 的,试问(2)所得的线性回归方程是否可靠? (参考公式:回归直线方程 y =b x+a ,其中 b = x y ?xiyi-n- - i=1 x2-n-2 x ?i i=1
n n

,a =--b -) y x

解析:(1)因为-=12,-=27, x y 11×25+13×30+12×26-3×12×27 5 所以 b= = , 2 112+132+122-3×122 5 于是,a=27- ×12=-3. 2 5 故所求线性回归方程为 y = x-3. 2

5 (2)由(1)知 y = x-3, 2 当 x=10 时,y=22;当 x=8 时,y=17,与检验数据 的误差均为 1,满足题意, 故认为得到的线性回归方程是可靠的.

【拓展演练 2】 某车间为了规定工时定额, 需要确定加工零件所花费的 时间, 为此做了四次试验, 根据试验数据得到如下图所示的 散点图,其中 x 表示零件的个数,y 表示加工时间.

【拓展演练 2】 某车间为了规定工时定额, 需要确定加工零件所花费的 时间, 为此做了四次试验, 根据试验数据得到如下图所示的 散点图,其中 x 表示零件的个数,y 表示加工时间. (1)求出 y 关于 x 的线性回归方程 y =b x+a ; (2)试预测加工 10 个零件需多长时间?

2+3+4+5 -= 解析:(1) x =3.5, 4 2.5+3+4+4.5 -= y =3.5, 4 x y ?xiyi-4- -
i=1 4

所以 b = x2-4-2 x ? i
i=1 4

2×2.5+3×3+4×4+5×4.5-4×3.52 = 22+32+42+52-4×3.52 =0.7,

a =--b -=3.5-0.7×3.5=1.05, y x 所以线性回归方程为 y =0.7x+1.05.

(2)当 x=10 时,y =0.7×10+1.05=8.05, 故加工 10 个零件大约需 8.05 小时.



独立性检验
【例 3】(2012· 广东省茂名市 4 月第二次模拟)对人们的

休闲方式的一次调查中,共调查了 100 人,其中女性 60 人, 男性 40 人.女性中有 38 人主要的休闲方式是看电视,另外 22 人主要的休闲方式是运动;男性中有 15 人主要的休闲方 式是看电视,另外 25 人主要的休闲方式是运动. (1)根据以上数据建立一个 2×2 列联表; (2)判断性别与休闲方式是否有关.

n?ad-bc?2 参考公式:K2= ,n=a+b+c ?a+b??a+c??b+d??c+d? +d

参 考 数 据 : 60×40×53×47 = 5978400,620×620 = 384400,384400÷ 59784≈6.4298.

解析:(1)2×2 列联表如下:

(2)假设“休闲方式与性别无关”. 由表中数据计算得, 100?38×25-22×15?2 K2= ≈6.430, 60×40×53×47 因为 K2≥5.024,所以有理由认为假设“休闲方式与性 别无关”是不合理的,即有 97.5%的把握认为“休闲方式与 性别有关”.

【拓展演练 3】 (2012· 东北四校第一次高考模拟考试)哈尔滨冰雪大世 界每年冬天都会吸引大批游客, 现准备在景区内开设经营热 饮等食品的店铺若干.根据以往对 500 名 40 岁(含 40 岁)以 下人员和 500 名 40 岁以上人员的统计调查,有如下一系列 数据:40 岁(含 40 岁)以下人员购买热饮等食品的有 260 人, 不购买热饮食品的有 240 人;40 岁以上人员购买热饮等食 品的有 220 人,不购买热饮等食品的有 280 人,请根据以上 数据作出 2×2 列联表,并运用独立性检验思想,

判断购买热饮等食品与年龄(按上述统计中的年龄分类方式) 是否有关系?(注:要求达到 99.9%的把握才能认定为有关 系) n?ad-bc?2 附:K2= ?a+b??c+d??a+c??b+d?

解析:由题得 2×2 列联表:

1000?260×280-220×240?2 K2= ≈6.410<10.825. 500×500×480×520 所以没有 99.9%的把握认定为有关系.

1.(2011· 湖南卷)通过随机询问 110 名性别不同的大学生 是否爱好某项运动,得到如下的列联表:

n?ad-bc?2 由 K2= ?a+b??c+d??a+c??b+d? 110×?40×30-20×20?2 算得 K2= ≈7.8. 60×50×60×50 附表:

参照附表,得到的正确结论是( C ) A.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好 该项运动与性别有关” B.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好 该项运动与性别无关” C. 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” 有 D. 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 有

解析: 由附表可得知当 K2≥6.635, -=1-P=0.99, 有P 当 K2≥10.828 时,有-=1-P=0.999,而此时的 K2≈7.8, P 显然有 0.99<-<0.999, P 故可以得到有 99%以上的把握认为 “爱好该项运动与性别有关”,故选 C.

2.(2013· 湖北卷)四名同学根据各自的样本数据研究变量 x,y 之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下 四个结论: ①y 与 x 负相关且 y =2.347x-6.423; ②y 与 x 负相关且 y =-3.476x-5.648; ③y 与 x 正相关且 y =5.437x+8.493; ④y 与 x 正相关且 y =-4.326x-4.578; 其中一定不正确的结论的序号是( D ) A.①② C.③④ B.②③ D.①④

解析:当 y 与 x 正相关时,应满足斜率大于 0;当 y 与 x 负相关时,应满足斜率小于 0,故①④一定不正确.

3.(2012· 湖南卷)设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身 高 x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi, yi)(i=1,2, n), ?, 用最小二乘法建立的回归方程为 y =0.85x -85.71,则下列结论中不正确的是( D ) A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心(-,-) x y C.若该大学某女生身高增加 1 cm,则其体重约增加 0.85 kg D.若该大学某女生身高为 170 cm,则可断定其体重 为 58.79 kg

解析: 由回归方程为 y =0.85x-85.71 知 y 随 x 的增大 而增大,所以 y 与 x 具有正的线性相关关系,由最小二乘 法建立的回归直线方程的过程知 y =bx+a=bx+--b- y x (a=--b-),所以回归直线过样本点的中心(-,-),利 y x x y 用回归直线方程可以预测估计总体,所以 D 不正确,故选 D.


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