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【创新设计】2015高考数学(北师大版)一轮训练:第8篇 第7讲 双曲线]

时间:2015-03-26


第7讲

双曲线

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 y2 1.(2014· 汉中模拟)设 F1,F2 是双曲线 x2-24=1 的两个焦点,P 是双曲线上的 一点,且 3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2 的面积等于 A.4 2 C.24 解析 ?|PF1|-|PF2|=2, 由? ?3|PF1|=4|PF2|,

B.8 3 D.48 ( ).

?|PF1|=8, 可解得? ?|PF2|=6. 又由|F1F2|=10 可得△PF1F2 是直角三角形, 1 则 S△PF1F2=2|PF1|×|PF2|=24. 答案 C

π x2 y2 y2 x2 2. (2013· 湖北卷)已知 0<θ<4, 则双曲线 C1: 2 - 2 =1 与 C2: 2 - sin θ cos θ cos θ sin2θ =1 的 A.实轴长相等 C.离心率相等 解析 B.虚轴长相等 D.焦距相等 ( ).

π x2 y2 ∵0<θ< ,∴sin θ<cos θ.由双曲线 C1: 2 - 2 =1 知实轴长为 4 sin θ cos θ

1 y2 x2 2sin θ,虚轴长为 2cos θ,焦距为 2,离心率为sin θ.由双曲线 C2:cos2θ-sin2θ 1 =1 知实轴长为 2cos θ,虚轴长为 2sin θ,焦距为 2,离心率为cos θ. 答案 D

x2 y2 3. (2014· 日照二模)已知双曲线a2-b2=1(a>0, b>0)的一个焦点与圆 x2+y2-10x =0 的圆心重合, 且双曲线的离心率等于 5, 则该双曲线的标准方程为( x2 y2 A. 5 -20=1 x2 y2 C.20- 5 =1 解析 x2 y2 B.25-20=1 x2 y2 D.20-25=1 ).

c 由题意知圆心坐标为(5,0),即 c=5,又 e=a= 5,∴a2=5,b2=20,

x2 y2 ∴双曲线的标准方程为 5 -20=1. 答案 A
2

y2 4.(2013· 北京卷)双曲线 x - m=1 的离心率大于 2的充分必要条件是( 1 A.m>2 C.m>1 解析
2

).

B.m≥1 D.m>2

y2 c 在双曲线 x -m =1 中,a=1,b= m,则 c= 1+m,离心率 e=a=

1+m 1 > 2,解得 m>1. 答案 C

x2 y2 5.(2014· 成都模拟)已知双曲线的方程为a2-b2=1(a>0,b>0),双曲线的一个 5 焦点到一条渐近线的距离为 3 c(其中 c 为双曲线的半焦距长),则该双曲线的 离心率为 3 A.2 3 5 C. 2 解析 5 B. 2 5 D.2 ( ).

b 不妨取双曲线的右焦点(c,0),双曲线的渐近线为 y=ax,即 bx-ay= |bc| 5 5 5 即 b= 3 c, 从而 b2=9c2=c2-a2, 2 2= 3 c, b +a

0.则焦点到渐近线的距离为

4 9 3 所以9c2=a2,即 e2=4,所以离心率 e=2. 答案 A

二、填空题 6.(2014· 宝鸡模拟)已知双曲线 x2-ky2=1 的一个焦点是( 5,0),则其离心率为 ________. 解析 答案 c 由已知,得 a=1,c= 5.∴e=a= 5. 5

x2 y2 7.(2014· 广州一模)已知双曲线 9 - a =1 的右焦点为( 13,0),则该双曲线的渐 近线方程为________. 解析 x2 由题意得 c= 13, 所以 9+a=c2=13, 所以 a=4.即双曲线方程为 9 -

y2 3y=0. 4 =1,所以双曲线的渐近线为 2x± 答案 2x± 3y=0

x2 y2 y2 x2 8.(2014· 武汉诊断)已知双曲线m -3m=1 的一个焦点是(0,2),椭圆 n - m=1 的 焦距等于 4,则 n=________. 解析 因为双曲线的焦点(0,2), 所以焦点在 y 轴, 所以双曲线的方程为 y2 - -3m

x2 =1,即 a2=-3m,b2=-m,所以 c2=-3m-m=-4m=4,解得 m= -m y2 -1,所以椭圆方程为 n +x2=1,且 n>0,椭圆的焦距为 4,所以 c2=n-1 =4 或 1-n=4,解得 n=5 或-3(舍去). 答案 5

三、解答题 x2 y2 9.已知椭圆 D:50+25=1 与圆 M:x2+(y-5)2=9,双曲线 G 与椭圆 D 有相同 焦点,它的两条渐近线恰好与圆 M 相切,求双曲线 G 的方程. 解 椭圆 D 的两个焦点为 F1(-5,0),F2(5,0),

因而双曲线中心在原点,焦点在 x 轴上,且 c=5.

x2 y2 设双曲线 G 的方程为a2-b2=1(a>0,b>0), ∴渐近线方程为 bx± ay=0 且 a2+b2=25, 又圆心 M(0,5)到两条渐近线的距离为 r=3. ∴ |5a| =3,得 a=3,b=4, b2+a2

x2 y2 ∴双曲线 G 的方程为 9 -16=1. 10. 中心在原点, 焦点在 x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点 F1, F2, 且|F1F2| =2 13,椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为 4,离心率之比为 3∶7. (1)求这两曲线方程; (2)若 P 为这两曲线的一个交点,求 cos∠F1PF2 的值. 解 (1)由已知:c= 13,设椭圆长、短半轴长分别为 a,b,双曲线半实、虚

轴长分别为 m,n,

?a-m=4, 则? 13 13 ?7· a =3·m .

解得 a=7,m=3.∴b=6,n=2.

x2 y2 x2 y2 ∴椭圆方程为49+36=1,双曲线方程为 9 - 4 =1. (2)不妨设 F1, F2 分别为左、 右焦点, P 是第一象限的一个交点, 则|PF1|+|PF2| =14,|PF1|-|PF2|=6, 所以|PF1|=10,|PF2|=4.又|F1F2|=2 13, |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 ∴cos∠F1PF2= 2|PF |· |PF |
1 2

102+42-?2 13?2 4 = =5. 2×10×4 能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 一、选择题 x2 y2 1.(2014· 西工大附中模拟)直线 y= 3x 与双曲线 C:a2-b2=1(a>0,b>0)左右 两支分别交于 M、N 两点,F 是双曲线 C 的右焦点,O 是坐标原点,若|FO|

=|MO|,则双曲线的离心率等于 A. 3+ 2 C. 2+1 解析 B. 3+1 D.2 2

(

).

由题意知|MO|=|NO|=|FO|, ∴△MFN 为直角三角形, 且∠MFN=90° ,

取左焦点为 F0,连接 NF0,MF0,由双曲线的对称性知,四边形 NFMF0 为平 行四边形. 又∵∠MFN=90° ,∴四边形 NFMF0 为矩形, ∴|MN|=|F0F|=2c,又∵直线 MN 的倾斜角为 60° ,即∠NOF=60° , ∴∠NMF=30° ,∴|NF|=|MF0|=c,|MF|= 3c, 由双曲线定义知|MF|-|MF0|= 3c-c=2a, c ∴e=a= 3+1. 答案 B

x2 y2 2.(2014· 赣州模拟)已知点 F 是双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左焦点,点 E 是该 双曲线的右顶点,过点 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点,若 △ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取值范围是 A.(1,2) C.( 3,2) 解析 B.( 2,2) D.(2,3) ( ).

由题意知,△ABE 为等腰三角形.若△ABE 是锐角三角形,则只需要

π ∠AEB 为锐角.根据对称性,只要∠AEF<4即可.直线 AB 的方程为 x=-c, b2? b4 b2 ? 代入双曲线方程得 y =a2,取点 A?-c, a ?,则|AF|= a ,|EF|=a+c,只要 ? ?
2

π b2 |AF|<|EF|就能使∠AEF< ,即 <a+c,即 b2<a2+ac,即 c2-ac-2a2<0,即 4 a e2-e-2<0,即-1<e<2.又 e>1,故 1<e<2. 答案 A

二、填空题 x2 y2 3.如图,双曲线a2-b2=1(a,b>0)的两顶点为 A1,A2,虚轴两端点为 B1,B2, 两焦点为 F1,F2.若以 A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2,切点分别为 A,

B,C,D.则

(1)双曲线的离心率 e=________; S1 (2)菱形 F1B1F2B2 的面积 S1 与矩形 ABCD 的面积 S2 的比值S =________.
2

解析

(1)由△B2OF2 的面积可得 a

b2+c2=bc,∴a4-3a2c2+c4=0,∴e4

-3e2+1=0,∴e2=

3+ 5 1+ 5 2 ,∴e= 2 .

(2)设∠B2F1O=θ,则 sin θ=

b c S1 2bc 2,cos θ= 2 2, S =4a2sin θcos θ= 2 b +c b +c
2

b2+c2 2 1 2+ 5 2bc = 2a2 =e -2= 2 . 2 bc 4a 2 2 b +c 答案 (1) 1+ 5 2 2+ 5 (2) 2

三、解答题 x2 y2 4.(2014· 湛江二模)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F(c,0). (1)若双曲线的一条渐近线方程为 y=x 且 c=2,求双曲线的方程; (2)以原点 O 为圆心,c 为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为 A, 过 A 作圆的切线,斜率为- 3,求双曲线的离心率. 解 b 2 2 2 2 2 (1)∵双曲线的渐近线为 y=± ax,∴a=b,∴c =a +b =2a =4,∴a

x2 y2 =b2=2,∴双曲线方程为 2 - 2 =1.

y0 (2)设点 A 的坐标为(x0,y0),∴直线 AO 的斜率满足x · (- 3)=-1,
0

∴x0= 3y0,① 依题意,圆的方程为 x2+y2=c2, 1 2 2 将①代入圆的方程,得 3y2 0+y0=c ,即 y0= c, 2 3 2 1 2 4c 4c 3 ? 3 c? ∴x0= 2 c,∴点 A 的坐标为? c, ?,代入双曲线方程,得 a2 - b2 =1,即 2? ?2 3 2 2 1 2 2 2 2 b c - a c =a b ,② 4 4 又∵a2+b2=c2,∴将 b2=c2-a2 代入②式,整理得 3 4 2 2 4 4c -2a c +a =0, ? c? ? c? ∴3?a?4-8?a?2+4=0, ? ? ? ? ∴(3e2-2)(e2-2)=0, ∵e>1,∴e= 2.∴双曲线的离心率为 2.


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