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数学归纳法典型例题分析


数学归纳法证题步骤与技巧 1.数学归纳法的范围 因此, 数学归纳法的适用范围仅限于与自然数有关的命题。 它能帮助我们判断种种与自 然数 n 有关的猜想的正确性。 2.数学归纳法两个步骤的关系 第一步是递推的基础,第二步是递推的根据,两个步骤缺一不可。 3.第一、二数学归纳法 第一数学归纳法可以概括为以下三步:(1)归纳奠基:证明 n=1时命题成立;(2)归纳假设: 假设 n=k

时命题成立;(3)归纳递推:由归纳假设推出 n=k+1时命题也成立。从而就可断定 命题对于从所有正整数都成立 第二数学归纳法的证明步骤是: 1、证明当 n=1 时命题是正确的; 2、k 为任意自然数,假设 n<k 时命题都是正确的,如果我们能推出 n=时命题也正确,就可 以肯定该命题对一切自然数都正确。 数学归纳法和第二归纳法是两个等价的归纳法, 我们把 数学归纳法也叫做第一归纳法。 有些命题用第一归纳法证明不大方便, 可以用第二归纳法证 明。
4 2 2 2.(2012· 济南高二检测)用数学归纳法证明 1+2+3+?+n = n ? n , 则当 n=k+1 时左端应在 n=k 2

的基础上加上(

? k ? 1? ? ? k ? 1? )(A)k +1(B)(k+1) (C)
4
2 2

2

2

(D)(k +1)+(k +2)+?+(k+1)

2

2

2

4.若数列{an}的通项公式 an=

1

? n ? 1?

2

(n∈N ),记 f(n)=(1-a1)(1-a2)?(1-an), )

*

试通过计算 f(1),f(2),f(3)的值,推测出 f(n)为( (A)

n?2 n?2 n?2 (B) (C) n?3 2n ? 2 2n ? 1

(D)

n 2n ? 1
n n

5.(2012·徐州高二检测)用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时,x +y 能被 x+y 整除”,当 * 第二步假设 n=2k-1(k∈N )命题为真时,进而需证 n=__________时,命题亦真. 2 2 2 2 6.(易错题)若 f(n)=1 +2 +3 +?+(2n) ,则 f(k+1)与 f(k)的递推关系式是______ _____________________________. 7.用数学归纳法证明:

1 1 1 1 ? ? ??? 2 >1(n∈N*,n>1). n n ?1 n ? 2 n

n ? n ? 1? 12 22 n2 * 8.求证: ,(n∈N ) ? ??? ? 1? 3 3 ? 5 ? 2n ?1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ? 1?
9.用数学归纳法证明 an+1+(a+1)2n-1 能被 a2+a+1 整除(n∈ N * ) 答案解析 2 2.【解析】选 D.当 n=k 时,左端=1+2+3+?+k , 2 2 2 2 当 n=k+1 时,左端=1+2+3+?+k +(k +1)+(k +2)+?+(k+1) , 2 2 2 故当 n=k+1 时,左端应在 n=k 的基础上加上(k +1)+(k +2)+?+(k+1) ,故应选 D.

4.【解析】选 B.∵f(n)=(1-a1)(1-a2)?(1-an), f(1)=1-a1=1-

1 3 ? , 4 4

1 3 8 2 4 )= ? ? ? , 9 4 9 3 6 1 2 15 5 ? . f(3)=(1-a1)(1-a2)(1-a3)= f ? 2 ? ? (1 ? ) ? ? 16 3 16 8
f(2)=(1-a1)(1-a2)=f(1)×(1根据其结构特点可得:f(n)=

n?2 . 故选 B. 2 ? n ? 1?

5.【解析】因为 n 为正奇数,且与 2k-1 相邻的下一个奇数是 2k+1,故进而需证 n=2k+1 时, 命题亦真. 答案:2k+1 6.【解题指南】写出 f(k)和 f(k+1),采用作差法. 2 2 2 【解析】∵f(k)=1 +2 +?+(2k) , 2 2 2 2 2 f(k+1)=1 +2 +?+(2k) +(2k+1) +(2k+2) , 2 2 ∴f(k+1)-f(k)=(2k+1) +(2k+2) , 2 2 即 f(k+1)=f(k)+(2k+1) +(2k+2) . 2 2 答案:f(k+1)=f(k)+(2k+1) +(2k+2) 7.【证明】(1)当 n=2 时,左边=

1 1 1 13 ? ? ? . 2 3 4 12

右边=1,不等式成立. * (2)假设当 n=k(k≥2,k∈N )时,不等式成立,即

1 1 1 1 ? ? ??? 2 >1. k k ?1 k ? 2 k
那么当 n=k+1 时,

1 1 1 1 1 1 ? ??? 2 ? 2 ? 2 ??? 2 k ?1 k ? 2 k k ?1 k ? 2 ? k ? 1? 1 1 1 1 1 1 1 1 ?( ? ? ??? 2 ) ? 2 ? 2 ??? 2 ? k k ?1 k ? 2 k k ?1 k ? 2 k ? ? 2k ? 1? k >1 ? ? 2k ? 1? 1 1 ? k ? ? 2k ? 1? k
2 2

? 2k ? 1? k ? ? k ? 1? ? 1? 2 k ? k ? 1?
∵k≥2,∴k -k-1>0,1+
2

? 1?

k2 ? k ?1 k ? k ? 1?
2

2

.

k2 ? k ?1 k ? k ? 1?

>1.

这就是说,当 n=k+1 时,不等式也成立. 由(1)和(2)可知,原不等式对任意大于 1 的正整数 n 都成立. 【变式训练】用数学归纳法证明: 1 ?

1 1 1 3n * ? 2 ??? 2 ? (n∈N ). 2 2 3 n 2n ? 1

【证明】①当 n=1 时,左边=1,右边=1,左边≥右边,结论成立;

②假设 n=k 时,不等式成立, 即1 ?

1 1 1 3k ? 2 ??? 2 ? . 2 2 3 k 2k ? 1

当 n=k+1 时, 1 ?

1 1 1 1 3k 1 ? 2 ??? 2 ? ? ? , 2 2 2 3 k ? k ? 1? 2k ? 1 ? k ? 1?2

下面证:

3 ? k ? 1? 3k 1 ? ? , 2 2k ? 1 ? k ? 1? 2 ? k ? 1? ? 1

作差得

3 ? k ? 1? k ? k ? 2? 3k 1 ? ? ? >0, 2 2 2k ? 1 ? k ? 1? 2 ? k ? 1? ? 1 ? k ? 1? ? 2k ? 1?? 2k ? 3?

得结论成立, 即当 n=k+1 时,不等式也成立. * 由①和②知,不等式对一切 n∈N 都成立. 8.(2012·开封高二检测)在数列{an},{bn}中,a1=2,b1=4,且 an,bn,an+1 成等差数列,bn,an+1,bn+1 * 成等比数列(n∈N ),求 a2,a3,a4 与 b2,b3,b4 的值,由此猜测{an},{bn}的通项公式,并证明你 的结论. 8.【解题指南】采用“归纳——猜想——证明”的思想方法. 【解析】由条件得 2bn=an+an+1, a 2 n ?1 =bnbn+1. 又 a1=2,b1=4,由此可得 a2=6,b2=9, a3=12,b3=16,a4=20,b4=25, 2 猜测 an=n(n+1),bn=(n+1) . 用数学归纳法证明. ①当 n=1 时,a1=2,b1=4,结论成立. ②假设 n=k 时结论成立, 2 即 ak=k(k+1),bk=(k+1) .那么 n=k+1 时, 2 ak+1=2bk-ak=2(k+1) -k(k+1) =(k+1)[(k+1)+1], bk+1=

a 2 k ?1 2 2 =(k+2) =[(k+1)+1] , bk

∴n=k+1 时,结论也成立. 2 由①和②知,an=n(n+1),bn=(n+1) 对一切正整数都成立. 【挑战能力】 【解题指南】此题是式子的整除问题,与正整数 n 有关,用数学归纳法解决是较好的选择. 2 1 2 2 【解析】(1)当 n=1 时,左边=a +(a+1) =a +a+1,可被 a +a+1 整除; * k+1 2k-1 2 (2)假设 n=k(k≥1,k∈N )时,a +(a+1) 能被 a +a+1 整除,则当 n=k+1 时, k+1+1 2(k+1)-1 k+2 2k+1 a +(a+1) =a +(a+1) k+1 2 2k-1 =aa +(a+1) (a+1) k+1 2k-1 2 2k-1 =aa +a(a+1) +(a +a+1)(a+1) k+1 2k-1 2 2k-1 =a[a +(a+1) ]+(a +a+1)(a+1) ,

由假设可知 a[a +(a+1) ]能被 a +a+1 整除. 2 2k-1 2 k+2 2k+1 2 又(a +a+1)(a+1) 也能被 a +a+1 整除,所以 a +(a+1) 能被 a +a+1 整除,即 n=k+1 时,命题成立. * 由(1)和(2)知,对一切 n∈N 命题都成立. 【方法技巧】用数学归纳法证明整除问题技巧 应用数学归纳法证明整除性问题时,关键是“凑项”,采用增项、减项、拆项和因式分解等 方法.也可以说将式子“硬提公因式”,即将 n=k 时的项从 n=k+1 时的项中“硬提出来”, 构成 n=k 时的项,后面的式子相对变形,使之与 n=k+1 时的项相同,从而达到利用假设的目 的. 一、选择题(每题 4 分,共 16 分) 1.(2011· 马鞍山高二检测)用数学归纳法证明等式 1+2+3+?+(n+3)= 时,第一步验证 n=1 时,左边应取的项是( (D)1+2+3+4 2.设 Sk= )(A)1 (B)1+2

k+1

2k-1

2

? n ? 3?? n ? 4 ?
2
(C)1+2+3

(n∈N )

*

1 1 1 1 ? ? ??? ,则 Sk+1 为( ) k ?1 k ? 2 k ? 3 2k 1 1 1 1 1 (A)Sk+ (B)Sk+ + (C)Sk+ 2k ? 2 2k ? 1 2k ? 2 2k ? 1 2k ? 2
*

(D)Sk+

1 1 2k ? 2 2k ? 1

3.某个命题与正整数 n 有关, 如果当 n=k(k∈N )时, 命题成立, 那么 n=k+1 时, 命题也成立, 即已知当 n=4 时该命题不成立,那么可推得( ) (A)当 n=5 时命题不成立(B)当 n=5 时命题成立(C)当 n=3 时命题不成立(D)当 n=3 时命题成立 4.某同学回答“用数学归纳法证明 n 2 ? n<n ? 1(n ? N* ) ”的过程如下: 证明:(1)当 n=1 时,显然命题是正确的;(2)假设 n=k 时, k ? k ? 1?<k ?1 ,则当 n=k+1 时,

? k ? 1? ? ? k ? 1? ?
2

k 2 ? 3k ? 2 < k 2 ? 4k ? 4 ? ? k ? 1? ? 1 所以当 n=k+1 时命题是
*

正确的,由(1)(2)可知对于(n∈N )命题都是正确的.以上证法是错误的,错误在于( ) (A)从 k 到 k+1 的推理过程没有使用归纳假设(B)归纳假设的写法不正确 (C)从 k 到 k+1 的推理不严密(D)当 n=1 时,验证过程不具体 二、填空题(每题 4 分,共 8 分) 3 3 5.用数学归纳法证明“n +5n”能被 6 整除的过程中,当 n=k+1 时,式子(k+1) +5(k+1)应变 形为__________________________. 6.在数列{an}中,a1=2,an+1 ?

an * (n∈N ),依次计算出 a2,a3,a4 后,归纳猜想得出 an 的表 3a n ? 1

达式为_______________________. 三、解答题(每题 8 分,共 16 分) 7.求证:

n ? n ? 1? 12 22 n2 * ,(n∈N ) ? ??? ? 1? 3 3 ? 5 ? 2n ?1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ? 1?

8.平面上有 n(n≥2)条直线,其中无两条直线平行,也无三线共点,求证:这 n 条直线互相 2 分割成 n 条线段或射线.

【挑战能力】 (10 分)在 1 与 2 之间插入 n 个正数 a1,a2,a3,?,an,使这 n+2 个数成等比数列;又在 1 与 2 之间插入 n 个正数 b1,b2,b3,?,bn,使这 n+2 个数成等差数列.记 An= * a1a2a3?an,Bn=b1+b2+b3+?+bn.试比较 An 与 Bn 的大小(n∈N ),并证明你的结论. 答案解析 1.【解析】选 D.由所给等式可知,当 n=1 时,左边应有四项,即 1+2+3+4. 2.【解析】选 C.∵ Sk ?1 ?

1 1 1 1 1 ? ??? ? ? k ?1?1 k ?1? 2 2k 2k ? 1 2k ? 2

? Sk ?1 ? Sk ?

1 1 1 ? ? 2k ? 1 2k ? 2 k ? 1 1 1 ? Sk ? ? . 2k ? 1 2k ? 2

独具【易错提醒】在由 n=k 到 n=k+1 的转化过程中,必须搞清式子的结构,即弄清楚增加和 减少的项,本题易误选 B. 3.【解析】选 C.判断其逆否命题,若 n=3 时,该命题成立,则 n=3+1=4 时,命题也一定成立. 4.【解析】选 A.由推理过程可知,在第二步证明 n=k+1 的结论时,没有使用归纳假设. 3 3 2 3 2 3 5.【解析】(k+1) +5(k+1)=k +1+3k +3k+5k+5=(k +5k)+3k +3k+6=(k +5k)+3k(k+1) +6 ∵k(k+1)为偶数,∴3k(k+1)+6 能被 6 整除. 3 答案:(k +5k)+3k(k+1)+6 6. 【解析】 ∵a1=2, a n ?1 ?

a3 an a1 a2 2 2 2 , ?a 2 ? ? ,a 3 ? ? ,a 4 ? ? 3a n ? 1 3a1 ? 1 7 3a 2 ? 1 13 3a 3 ? 1 19

2 . 6n ? 5 2 * 答案:an= (n∈N ) 6n ? 5
于是猜想 an= 7.【证明】(1)当 n=1 时,左边=

1 1 1? 2 1 ? ,右边= ? , 1? 3 3 2?3 3

∴左边=右边. ∴当 n=1 时,等式成立. * (2)假设当 n=k(k≥1,k∈N )时,等式成立,即

k ? k ? 1? 12 22 k2 成立, ? ??? ? 1? 3 3 ? 5 ? 2k ?1?? 2k ? 1? 2 ? 2k ? 1?
当 n=k+1 时,

k ? k ? 1? ? k ? 1? ? k ? 1? 12 22 k2 ? ??? ? ? ? 1? 3 3 ? 5 ? 2k ? 1?? 2k ? 1? ? 2k ? 1?? 2k ? 3? 2 ? 2k ? 1? ? 2k ? 1?? 2k ? 3?
2 2

k(2k ? 3) ? 2(k ? 1) ? (k ? 1)? 2 ? 2k ? 1?? 2k ? 3?

?

? k ? 1?? k ? 2? (2k ? 1) ? ? k ? 1? (k ? 2) 2 ? 2k ? 1?? 2k ? 3? 2 ? 2k ? 3? ? k ? 1?[? k ? 1? ? 1] . 2[2 ? k ? 1? ? 1]

?

∴当 n=k+1 时,等式也成立. * 由(1)(2)可知,等式对任意 n∈N 都成立. 2 8.【证明】(1)当 n=2 时,两条相交直线互相分割成 4=2 条射线,命题成立. * 2 (2)假设当 n=k(k∈N 且 k≥2)时,命题成立,即 k 条直线互相分割成 k 条线段或射线. 则当 n=k+1 时,第 k+1 条直线与前 k 条直线有 k 个交点,这 k 个交点把第 k+1 条直线分成 k-1 条线段和 2 条射线,这 k 个交点又把它原来所在的线段或射线分成 2 段,所以线段或射 线又增加了 k 段.加进第 k+1 条直线后,共增加了 k-1+2+k 条线段或射线,这时有 2 2 k +k-1+2+k=(k+1) 条线段或射线,所以 n=k+1 时命题也成立,由(1)(2)可知,结论成立. 【挑战能力】 独具【解题提示】先由等差、等比数列的性质,求出 An 与 Bn,再由特殊到一般猜想 An 与 Bn 的大小,用数学归纳法证明. 【解析】∵1,a1,a2,a3,?,an,2 成等比数列, ∴a1an=a2an-1=a3an-2=?=akan-k+1=?=1×2=2, ∴ A2 n =(a1an)(a2an-1)(a3an-2)?(an-1a2)(ana1)=2 ,
n

∴An=2 . 又 1,b1,b2,b3,?,bn,2 成等差数列, ∴b1+bn=1+2=3, ∴Bn=

n 2

n ? b1 ? b n ? 3 ? n. 2 2
n

2 要比较 An 与 Bn 的大小,只需比较 A 2 n 与 Bn 的大小,即比较 2 与

9 2 n 的大小. 4

当 n=1,2,3,?6 时,容易计算出 2 <

n

9 2 n, 4

9 2 441 ×7 = , 4 4 441 9 2 n ∵128> ,∴2 > n . 4 4 9 8 2 当 n=8 时,2 =256, ×8 =144, 4 9 2 n ∵256>144,∴2 > n . 4 9 2 n 猜想:当 n≥7 时,有 2 > n . 4
当 n=7 时,2 =128,
7

以下用数学归纳法加以证明: ①当 n=7 时,已验证猜想正确.

②假设 n=k(k≥7)时猜想正确,即 2 > 那么 n=k+1 时,2 =2·2 >2·
2 2 2 k+1 k

k

9 2 k. 4

9 2 9 2 k = ·2k , 4 4
2

又当 k≥7 时,2k -(k+1) =k -2k-1=(k-1) -2>0, ∴2 >
k+1

9 2 (k+1) . 4
* n

即当 n=k+1 时,猜想也正确. 由①②知,对一切 n≥7(n∈N ),都有 2 >
2 即 A2 n > Bn ,也即 An>Bn.

9 2 n, 4

综上,当 1≤n≤6(n∈N )时,An<Bn; 当 n≥7(n∈N*)时,An>Bn.

*

高考题型归纳: 题型 1.证明代数恒等式
例 1.归纳法证明下述等式问题:

1 2 n (n ? 1)( n ? 1) . 4 1 练习:用数学归纳法证明 1? 4 ? 2 ? 5 ? ? ? n ? n ? 3? ? n ? n ? 1?? n ? 5 ? 3 题型 2.证明不等式 1 ? (n 2 ? 12 ) ? 2 ? (n 2 ? 2 2 ) ? ? ? n(n 2 ? n 2 ) ?
例 2. 用数学归纳法证明下述不等式;

1 1 1 1 9 ? ? ??? ? (n ? N ? , 且n ? 2). n ?1 n ? 2 n ? 3 3n 10
1 1 1 n?2 , ? n ? N , n ? 2? 练习:用数学归纳法证明 1 ? ? ? ? ? n ? 2 3 2 2 题型 3.证明整除
练习:用数学归纳法证明 6
2 n ?1

? 6 能被 7 整除

题型 4.解决几何问题
例 4.有 n 个圆,任意两个圆都相交于两点,任意三个圆都不相交于同一点,求证:这 n 个圆 将平面分成 f ? n ? ? n ? n ? 2 个部分
2

用数学归纳法证明几何问题, 关键在于分析由 n=k 到 n=k+1的变化情况, 即分点(或顶点) 增加了多少,直线的条数(或划分区域)增加了几部分等,或先用 f(k+1)-f(k)得出结果, 再结合图形给予严谨的说明,几何问题的证明:一要注意数形结合;二要注意要有必要的文 字说明.


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