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2013年全国高中数学联赛河南预赛高一试题


2013 年全国高中数学联赛河南预赛高一试题
一、填空题(共 10 小题,每题 6 分,满分 60 分)

? ,512? ? M ? ?1, 2,3,? ? 2013? , ?, 1、 已知集合 M 满足条件:?1, 2,3,? ? 则符合条件的集合 M
共有 2、已知 x, y ? R , 个。

1 1 ? ? 1

,则 x ? y ? x 1 ? 2 1 ? 2 y?1
个。

? 1, x ? 0 ? 3、已知符号函数 sgn( x) ? ? 0, x ? 0 ,则函数 f ( x) ? sgn(ln x) ? ln x 的零点有 ? ?1, x ? 0 ?
?

4、已知直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 各棱长均为 3,?BAD ? 60 。长为 2 的线段 MN 的一 个端点 M 在 DD1 上运动,另一个端点 N 在底面 ABCD 上运动,则 MN 的中点的轨迹(曲 面)与共一顶点的三个面围成的几何体的体积为 5、 连接球面上两点的线段称为球的弦。 半径为 5 的球的两条弦 AB 、 CD 的长度分别等于 6 、

8 , M 、 N 分别为弦 AB 、 CD 的中点,则 MN 的取值范围是



6、已知平面直角坐标系中: A(?2, 0) 、 B(2,0) 、 C (0, 2) 、 E (?1, 0) 、 F (1,0) ,一束光线 从 F 点出发射到直线 BC 上的 D 点经直线 BC 反射后,再经直线 AC 反射,两次反射后落 到线段 AE 上(不含端点) ,则直线 FD 斜率的范围是 。 7、函数 f ( x) ?

1 ? x2 的值域是 2? x


2

8、已知函数 y ? f ( x) 是定义在实数集 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x ,若对任 意的 x ? [t , t ? 2] , 不等式 f ( x ? 2t ) ? 4 f ( x) 恒成立, 则实数 t 的取值范围是 9、 (请同学们任选一题作答,若两题都做,则按上面一题正误判分) (必修 3)若 x1 , x2 , ? ?, xn 的方差是 s ( s ? 0) , a 、 b 是常数,则 bx1 ? a , bx2 ? a , ?
2



? ?, bxn ? a 的标准差是 ?
(必修 4)如图所示,在直角梯形 ABCD 中, AB ? AD , AD ? DC ? 1 , AB ? 3 ,动点 P 在 ? BCD 内 运 动 ( 含 边 界 ) , 设


D C P

??? ? ??? ? ???? AP ? ? AB ? ? AD( ? 、? ? R ) ? ? ? 的 ,则
取值范围是 。
A 图1 B

1

10、已知集合 A ? m m ? x ? y , x、y ? Z 。将 A 中的自然数元素从小到大排列为: a1 ,
2 2

?

?

a2 , ? ?。若 an ? 2013 ,则正整数 n ? ?



二、(本题满分 20 分)如图 2 所示,圆 O1 为 ? ABC 的外接圆,且 AB ? AC ,延长 AC 到

D ,使 A ?A ,E 为 ?CAB 的平分线与 BC 的交点,圆 O2 为 ?CDE 的外接圆,F D B
为两圆的另外一个交点。 证明: (1) A 、 E 、 F 三点共线 (2) O2 F ? AD

B

O1 E

F

O2 A 图2 C D

三、(本题满分 20 分)已知 a 、 b ? R ,且 a ? b ? 1 。考察在平面直角坐标系 xoy 的直
2 2

线系 M : ax ? by ? 2b ? 1 ? 0 (1) 若点 P( x0 , y0 ) 到 M 中的任一条直线的距离都是定值 d ,求点 M 的坐标及 d 的值 (2) 若直线系 M 中至多有一条直线经过点 Q( x, y ) ,求点 Q 的轨迹方程。 四、(本题满分 20 分) (请同学们任选一题作答,若两题都做,则按上面一题正误判分) (必修 3)已知对任意的实数 x ? 0 ,都有 e ? x ? 1
x

(1) 长度为 1 的木棍任意的折成两段,较长的一段再随机折成两段,求所得的三段小木 棍能组成三角形的概率 P ; (2) 证明: ln(3n ? 1) ? (1 ?
2

1 1 P ? ?? ?? ) ,其中 P 为(1)中所求的概率。 ? 2 3 n
2

(必修 4)已知函数 f ( x) ? x ? 2a sin(cos x) ? a (a ? R) (1) 判断 f ( x) 的奇偶性
2

(2) 若 f ( x) ? 0 仅有一个实数解,求 a 的值 五、(本题满分 20 分)已知两条直线 l1 : y ? m ? 1 和 l 2 : y ?

4 (m ? 1) , l1 与函数 m ?1

y ? ln x 的图像从左至右相交于点 A 、 B , l 2 与函数 y ? ln x 的图像从左至右相交于
点 C 、 D 。记线段 AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度分别为 a 、 b 。记 A 、 B 、 C 、 D 四点的横坐标分别为 x1 、 x3 、 x4 。 、 (1) 证明: x1 x2 ? x3 x4 ? 1 ; (2) 求

b 的最小值 a

2013 年全国高中数学联赛河南预赛高一试题答案
一、填空题 1、 2
1501



2、 ?1 ;

3、 3 ;

4、

2? ; 9

5、 [1, 7] ;

6、 (4, ??)

7、 [0,

3 4 ] ; 8、 [2, ??) ; 9、 (必修 3) b s ; (必修 4) [1, ] ; 3 3

10、 1511 由
B

二、证明: 延长 AE 交圆 O1 与 F1 , (1) 连接 CF1 。 平分 ?BAC ? ?BAE ? ?DAE,结 合 AB ? AD ,故 ? BAE ?? DAE , ??B ? ?D , 而 ?CF1 A ? ?B ?

AE

?CF1 E ? ?CF1 A ? ?D

O1 E

F

? C , E , F1 , D 四点共圆
O2

因此 F1 也是两圆的交点,从而 F1 和 F 重合,

A

C

D

即 A , E , F 共线。 图2 (2)由 A , E , F 共线, AE 平分 ?BAC ? BF ? CF , 由对称性得出 BF ? DF ,故 CF ? BF ? DF ,因此 ?CFD 为等腰三角形, 由于 O2 为其外心,故 O2 F ? CD 即 O2 F ? AD 三、(1)由点到直线的距离公式得: d ?

ax0 ? by0 ? 2b ? 1 a 2 ? b2

? ax0 ? b( y0 ? 2) ? 1

因 d 是常数,故 ?

? x0 ? 0 ? x0 ? 0 ,即 P(0, 2) ,从而 d ? 1 ?? ? y0 ? 2 ? 0 ? y0 ? 2
3

(2)由(1)知, P(0, 2) 到直线系 M 中任一条直线的距离都是 1 ,因此直线系 M 中每一 条直线都是以 P 为圆心,以 1 为半径的圆(圆 x ? ( y ? 2) ? 1 )的切线
2 2

由平面几何知识,圆内的每一点都不被其切线经过,圆上的每一点只能作出一条切线,而圆 外的每一点均能作出该圆的两条切线,故 Q 点的轨迹是圆及其内部,即 x ? ( y ? 2) ? 1
2 2

四、(必修 3)解:设较长的一段长度为 a ,将 a 分成的两段长为 x , y ,

1 a ? ( x ? y ) ? ( ,1) , 2
1 ? ? x? 2 ? 1 ? 若长度为 x , y , 1 ? a 的三段能构成三角形,则 ? y ? , 2 ? ?1 ?2 ? a ?1 ?
画出图形计算出 P ?

1 3 1 1 P 1 1 1 ? ?? ?? ) ? ln(3n ? 1) ? (1 ? ? ?? ?? ) ? ? 2 3 n 2 3 3n

(2) ln(3n ? 1) ? (1 ?
x

由 e ? x ? 1 ? x ? ln( x ? 1)

1 ? ln(1 ? 1) ? ln 2 ? ? 1 1 ? ? ln(1 ? ) ? ln 3 ? ln 2 2 2 ? ? 1 1 ? ?? ? ln(1 ? ) ? ln 4 ? ln 3 3 3 ? ? ??? ? ? 1 ? ln(1 ? 1 ) ? ln(3n ? 1) ? ln(3n) ? 3n 3n ?
以上各式相加得: ln(3n ? 1) ? (1 ?

1 1 1 1 1 P ? ?? ?? ) ,即 ln(3n ? 1) ? (1 ? ? ?? ?? ) ? ? 2 3 3n 2 3 n

(必修 4) (1)注意到函数 f ( x) 的定义域是 R , ?x ? R ,

f (? x) ? (? x)2 ? 2a sin(cos(? x)) ? a 2 ? f ( x) ,故 f ( x) 为偶函数
(2)由于 f ( x) ? 0 仅有一个实数解,且 f (? x) ? f ( x) ,故其有唯一解 x ? 0

? f (0) ? 0 ? a 2 ? 2a sin1 ? a ? 0 或 a ? sin1
(i)当 a ? 0 时,原方程化为 x ? 0 ,仅有一个解 x ? 0 ,符合题意
2

4

(ii)当 a ? sin1 时,原方程化为 x ? 4sin1? sin(cos x) ? 4sin 1 ? 0 ,
2 2

而 cos x ?[?1,1] ,故 sin(cos x) ? sin1 ? 4sin 1 ? 4sin1? sin(cos x)
2

sin(cos x) ,等号仅在 x ? 0 时成立,符合题意。 ? x 2 ? 4sin 2 1 ? 4sin1?
综上, a ? 0 或 a ? sin1 五、证明: (1)由题知 ln x1 ? ln x2 ? ln x1 ? ? ln x2 ? x1 x2 ? 1 , 同理 x3 x4 ? 1 (2) a ? x3 ? x1 ?

x ?x 1 1 b ? ? 4 2 , b ? x4 ? x2 ,则 ? x2 x4 x4 x2 x4 x2 a

而 x1 ? x2 , x3 ? x4 ? 1 ? x2 , 1 ? x4 ,故 ln x2 ? m ? 1 , ln x4 ?

4 m ?1

? x2 ? e
而 m ?1?

m ?1

, x4 ? e

4 m ?1

? x2 x4 ? e

m?1?

4 m ?1

4 4 4 ? m ?1? ? 2 ? 2 (m ? 1) ? ? 2 ? 6(m ? 1) m ?1 m ?1 m ?1

等号在 m ? 1 ?

4 b 6 即 m ? 3 时取到,故 的最小值为 e m ?1 a

5


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