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黑龙江省大庆铁人中学2013-2014学年高一上学期期末数学试题 Word版含答案


高一学年上学期期末教学检测 数学试题
满分:150 分 考试时间:120 分钟

第Ⅰ卷(选择题
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)

满分 60 分)

1.非空集合 X ? x a ? 1 ? x ? 3a ? 5 , Y ? x 1 ? x ? 16 , 使得 X ? ( X ? Y )

成立的所有

?

?

?

?

a 的集合是(
A.

) B.
x

?a 3 ? a ? 7?
y

?a 0 ? a ? 7?
y

C. a 3 ? a ? 7 )

?

?
y

D. a a ? 7

?

?

2. 函数 f ( x) ? log 2 | 2 ? 1 | 的图象大致是( y

O

1

x

O

1

x

O

1

x

O

1

x

?? ? ? 已 3.将函数 g( x) ? 3sin ? 2 x ? ? 图像上所有点向左平移 个单位,再将各点横坐标缩短为 6? ? 6 知
1 倍,得到函数 f ( x) ,则( 2 ? ?? A. f ? x ? 在 ? 0, ? 单调递减 ? 4? ? ?? C. f ? x ? 在 ? 0, ? 单调递增 ? 4?
原来的

A.

B.

C.

D.

向 量 ? ? ? 3?a?? (2,1) B. f ? x ? 在 ? , ? 单调递减 ? 4 4, ? ? ? ? ? 3? ? ?b ? 10 D. f ? x ? 在 ? , a? 单调递增 ? 4 4, ? ? ? 1 ? ? ? | a ? b |? 5 2 4.已知偶函数 f ( x ? ) ,当 x ? (? , ) 时, f ( x) ? x 3 ? sin x ,设 a ? f (1), b ? f (2), 2 2 2 , 则 c ? f (3) ,则( ) ? | b ?? b A. a ? b ? c B. b ? c ? a C. c ? b ? a D. c ? |a ( ? 5.下列函数中最小正周期为 的是( ) 2
)

) ) 4 2 C C. y ? sin(cos x) D. y ? sin x ? cos x ??? ? ??? ? ???? A 6.已知 P 是边长为 2 的正 ?ABC 的边 BC 上的动点,则 AP ? AB ? AC . ( ) 5 3 A.最大值为 8 B.是定值 6 C.最小值为 6 D.是定值
A.

y ? sin 4 x

B. y ? sin x cos( x ?

?

6

?

?

7.在平行四边形 ABCD 中, AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点, AE 的延长线与 CD 交 于点 F ,若 AC ? a , BD ? b ,则 AF ? (
???? ? ??? ? ?
????

)

B . 10 C . 5

1? 1? A. a ? b 4 2

B. a ? b

1? 3

2? 3

1? 1? C. a ? b 2 4

D. a ? b

2? 1? 3 3

8.下列说法中:⑴若向量 a / / b ,则存在实数 ? ,使得 a ? ? b ;

?

?

?

?

c )b ? (a ? b )c ,则 a ? d Ks5u ⑵非零向量 a , b , c , d ,若满足 d ? (a ?

? ? ? ?

?

? ? ?

? ? ?

?

?

⑶与向量 a ? (1, 2) , b ? (2,1) 夹角相等的单位向量 c ? (

?

?

?

2 2 , ) 2 2

⑷已知 ?ABC ,若对任意 t ? R , BA ? t BC ? AC , 则 ?ABC 一定为锐角三角形。 其中正确说法的序号是( ) A.(1)(2) B.(1)(3) C. (2)(4) D. (2) 9. 已 知 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 不 恒 为 零 的 函 数 , 且 对 任 意 的 x, y? R都 满 足

??? ?

??? ?

????

f ( x? y) ? x? f ( y )? y ? ( f ,则 )x f ( x) 是
A.奇函数 偶函数 B.偶函数 C.不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是 )

10.已知 ? , ? ? ? 0, ? ? 且 tan(? ? ? ) ? A.

1 1 , tan ? ? ? ,则 2? ? ? =( 2 7
C. ? ?

? 4

B. ?

5 4

3 4

D. ? ?

7 4

? x ? 1 (0 ? x ? 1) ? 11.函数 f ( x) ? ? x 1 ,设 a ? b ? 0 ,若 f ( a) ? f (b) , b ? f (a) 的取值范围 2 ? ( x ? 1) ? ? 2
是( )

A. (0, ]

1 4

B. ? , 2 ?

?3 ?4

? ?

C. ? 0, 2 ?

D. ? , ? ?4 2 ?

?3 3 ?
??? ?

12.在平面上, AB1 ? AB2 , OB1 ? OB2 ? 1 , AP ? AB1 ? AB2 ,若 OP ? 值范围是( A. (0, ) B. ?

????

???? ? ????

???? ?

???? ???? ?

??? ?

??? ? 1 ,则 OA 的取 2

5 ] 2

? 5 7? , ? 2 2 ? ?

C. ?

? 5 ? , 2? ? 2 ?

D. ?

? 7 ? , 2? ? 2 ?

第Ⅱ卷

(非选择题

满分 90 分)
.

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 已知一个扇形的周长是 40,则扇形面积的最大值为 14. 函数 f ( x) ? sin x ? cos(x ? 实数根 之和为

?
6

), 若 ? 3 ? a ? 0 ,则方程 f ( x) ? a 在 [0, 4? ] 内的所有

.

2 15. 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? b (a, b ? R) , 不等式 | f ( x) |?| 2 x ? 4 x ? 30 | 对任意实数
2

x恒
成立,则 f ( x) 的最小值是 .

16. 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (? x) ? ? f ( x) , f ( x ? 1) ? f (1 ? x ) ,且 x ? (-1,0) 时,

f ( x) = 2x +

6 则 f (log 2 20) ? 5

.

三、解答题 (第 17 题 10 分,其余每题 12 分,共 70 分) 17.(10 分) 集合 A ?

?? x, y ? y ? ? x

2

? mx ? 1 , B ? ?? x , y ? y ? 3 ? x , 0 ? x ? 3? .

?

(1)当 m ? 4 时,求 A? B ; (2)若 A? B 是只有一个元素的集合,求实数 m 的取值范围. 18.(12 分) a, b 是两个不共线的非零向量,且 | a |?| b |? 1且a与b夹角为120? .

? ?

?

?

? ?

1 ? ? a ? b , 当实数 t 为何值时, ?ACB 为钝角? 3 ? ? (2)令 f ( x ) ?| a ? b sin x |, x ? ?0, 2? ? ,求 f ( x ) 的值域及单调递减区间.
(1)记 OA ? a, OB ? tb, OC ?

??? ?

? ??? ?

? ??? ?

?

?

19.(12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin ? x ? 3? ? sin ? x ?

? ?

??

5? 2? ? ? 2sin ? x ? 2? 2 ?

? ? ? 1,x ? R ?

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期及在区间 0, ?

? ?? 上的最大值和最小值; ? 2? ?

(2)若 f ( x0 ) ?

6 ?? ? ? , x0 ? ? , ? ,求 cos 2 x0 的值. 5 ?4 2?

Ks5u

20.已知 A、B、C 是 ?ABC 的三内角,向量 m ? (?1, 3 ) ,n ? (cos A, sin A) ,且 m ? n ? 1 . (1)求角 A; (2)若

?

?

? ?

1 ? sin 2 B ? ?3 ,求 tan C . cos2 B ? sin 2 B
1 ,记 1? x

21.(12 分 ) 已 知 a ? 0 且 a ? 1 , 函 数 f ( x) ? log a ( x ? 1) , g ( x) ? log a

F ( x) ? 2 f ( x) ? g ( x)
(1)求函数 F ( x) 的定义域及其零点; (2)若关于 x 的方程 F ( x) ? 2m 2 ? 3m ? 5 ? 0 在区间 [0, 1) 内仅有一解,求实数 m 的取值 范围.

22. (12 分) 已知函数 f1 ? x ? ? 3

x ?t1

, f2 ? x ? ? 2 ? 3
? f1 ? x ? ? f2 ? x ?

x ?t2

( x ? R, t1 , t2 为常数) , 函数 f ? x ? 定

义为:对每一个给定的实数 x , f ( x ) ? ?

f1 ? x ? ? f 2 ? x ? f1 ? x ? ? f 2 ? x ?

,

(1) 求证:当 t1 , t2 满足条件 t1 ? t2 ? log 2 3 时,对于 x ? R , f ( x)=f1 ( x) ; (2) 设 a, b 是两个实数,满足 a ? b ,且 t1 , t2 ? ? a , b ? ,若 f ?a ? ? f ?b ? ,求函数 f ? x ? 在区间 ? a , b ? 上的单调递增区间的长度之和.(闭区间 ? m, n ? 的长度定义为 n ? m ) Ks5u

高一学年上学期期末教学检测(数学)答案
一、选择题
题号 答案

1 A

2 C

3 A

4 D

5 D

6 B

7 D

8 D

9 A

10 C

11 B

12 D

二、填空题Ks5u 13.100 14.

28? 3

15. ?16

16. ?2 Ks5u

三、解答题 17.(I) ?1, 2 ? (4 分) (Ⅱ)m=3 或 m≥

?

?

10 3 (6 分)

??? 2 ? 1 ? ? 1? 1 ? ??? ??? 1 18.解:(1)? CA ? a ? b, ? ? a ? (t ? )b,由CA ? CB ? 0得t>3 3 3 3 12 ??? ??? ? 1 ? 1 1? ?1 ? 又CA / /CB时,t ? ,? t的取值范围是 ? ? , ? ? ? , ?? ? ; 2 ? 12 2 ? ? 2 ?
1? 3 ? (2) f ( x ) ? sin x ? sin x ? 1 ? ? sin x ? ? ? ,? x ? ?0, 2? ? ,? sin x ? ? ?1,1? , 2? 4 ?
2 2

? 3 ? 1 3 当 sin x ? ? 时,f(x)min ? , 当 sin x ? 1时,f(x)max ? 3, f ( x ) ? ? , 3 ? ; 2 2 ? 2 ? ? ? 7? ? ? 3? 11? ? f ( x )的单调递增是 ? , ? , , . ?2 6 ? ? ? 2 6 ? ?
19. 解: f ( x) ? 3(2sin x cos x) ? (2cos x ? 1) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ?
2

?
6

)

(1)最小正周期为 ? ;最大值为 2, 最小值为-1 (Ⅱ) 解: 由 (1) 可知 f ( x0 ) ? 2sin ? 2 x0 ?

? ?

??
? 6?

又因为 f ( x0 ) ?

?? 3 ? ? 2? 7? ? 6 ? ?? ? ? ,所以 sin ? 2 x0 ? ? ? 由 x0 ? ? , ? ,得 2 x0 ? ? ? , 6? 5 6 ? 3 6 ? 5 ? ?4 2? ?

?? ?? 4 ? ? cos ? 2 x0 ? ? ? ? 1 ? sin 2 ? 2 x0 ? ? ? ? 6? 6? 5 ? ?
?? ?? ?? ?? ? ? ? ? 3? 4 3 ? ? cos 2 x0 ? cos ?? 2 x0 ? ? ? ? ? cos ? 2 x0 ? ? cos ? sin ? 2 x0 ? ? sin ? 6 ? 6? 6? 6 6? 6 10 ? ? ??
20.(1)∵ m ? n ? 1 ∴ (?1, 3 ) ? (cos A, sin A) ? 1 ,即 3 sin A ? cos A ? 1

?

…3 分

即A?

?
3

? ? 1 2 sin(A ? ) ? 1 , ? sin(A ? ) ? 6 6 2 ? ? 5? ? ? ∵ 0 ? A ? ? ,? ? ? A ? ? ,∴ A ? ? , 6 6 6 6 6
. 6分 Ks5u

(2)由题知:

1 ? sin 2 B ? ?3 ,即: sin 2 B ? sin B cos B ? 2 cos2 B ? 0 , 2 2 cos B ? sin B
2

∵ cos B ? 0 ,∴ tan B ? tan B ? 2 ? 0 ,∴ tan B ? 2 或 tan B ? ?1 ; 10 分

而 tan B ? ?1使 cos B ? sin B ? 0 ,故 tan B ? ?1应舍去,∴ tan B ? 2 ,
2 2

∴ tan C ? tan[? ? ( A ? B)] ? ? tan(A ? B) =?

tan A ? tan B 2? 3 8?5 3 ?? ? . 1 ? tan A tan B 11 1? 2 3

12 分

21.(1)解: (1) F ( x) ? 2 f ( x) ? g ( x) ? 2 log a ( x ? 1) ? log a

1 ( a ? 0 且a ? 1) 1? x

?x ? 1 ? 0 ,解得 ? 1 ? x ? 1 ,Ks5u ? ?1 ? x ? 0
所以函数 F ( x) 的定义域为 (?1, 1) ……2 分 令 F ( x) ? 0 ,则 2 log a ( x ? 1) ? log a …Ks5u

1 ? 0 ……(*)方程变为 1? x log a ( x ? 1) 2 ? log a (1 ? x) , ( x ? 1) 2 ? 1 ? x ,即 x 2 ? 3 x ? 0
…………………3 分

解得 x1 ? 0 , x2 ? ?3

经检验 x ? ?3 是(*)的增根,所以方程(*)的解为 x ? 0 , 所以函数 F ( x) 的零点为 0 , …………………4 分

1 在定义域 D 上是增函数 1? x ∴①当 a ? 1 时, F ( x) ? 2 f ( x) ? g ( x) 在定义域 D 上是增函数 ②当 0 ? a ? 1时,函数 F ( x) ? 2 f ( x) ? g ( x) 在定义域 D 上是减函数 6分 2 问题等价于关于 x 的方程 2m ? 3m ? 5 ? F ( x) 在区间 [0, 1) 内仅有一解, ∴①当 a ? 1 时,由(2)知,函数 F(x)在 [0, 1) 上是增函数 5 2 ∴ F ( x) ? ? 0, ?? ? ∴只需 2m ? 3m ? 5 ? 0 解得: m ? ?1, 或 m ? 2 ∴②当 0 ? a ? 1时,由(2)知,函数 F(x)在 [0, 1) 上是减函数 5 2 ∴ F ( x) ? ? ??, 0? ∴只需 2m ? 3m ? 5 ? 0 解得: ?1 ? m ? 10 分 2 5 5 综上所述,当 0 ? a ? 1时: ?1 ? m ? ;当 a ? 1 时, m ? ?1, 或 m ? (12 分) 2 2
(2)∵函数 y ? x ? 1, y ? 22. 解: (1)由 f ( x) 的定义可知, f ( x) ? f1 ( x) (对所有实数 x )等价于
x ?t f1 ? x ? ? f 2 ? x ? (对所有实数 x )这又等价于 3 x ?t1 ? 2? 3 2 ,即

3

x ?t1 ? x ?t2

? 3log3 2 ? 2 对所有实数 x 均成立.

(*)Ks5u

由于 x ? t1 ? x ? t2 ? ( x ? t1 ) ? ( x ? t2 ) ? t1 ? t2 ( x ? R) 的最大值为 p1 ? p2 , 故(*)等价于 3
t1 ?t2

? 2 ,即 t1 ? t 2 ? log3 2, 所 以 当 t1 ? t2 ? log3 2 时 ,

f ( x) ? f1 ( x)
(2)分两种情形讨论 (i)当 t1 ? t2 ? log 3 2 时,由(1)知 f ( x) ? f1 ( x) (对所有实数 x ? [a, b] ) 则由 f ? a ? ? f

? b ? 及 a ? t 1 ? b 易知 t1 ?

a?b , 2

y (a,f(a)) (b,f(b))

t ?x ? ?3 1 , x ? t1 f ( x ) ? 再由 1 的单调性可知, ? x ?t1 ? ?3 , x ? t1 函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上的单调增区间的长度 a?b b?a 为b ? (参见示意图 1) ? 2 2

O

图1

x

(ii) t1 ? t2 ? log3 2 时,不妨设 t1 ? t 2, ,则 t2 ? t 1 ? log 3 2 ,于是 当 x ? t1 时,有 f1 ( x) ? 3 1 当 x ? t2 时,有 f1 ( x) ? 3 从而 f ( x) ? f 2 ( x) ; 当 t1 ? x ? t2 时, f1 ( x) ? 3
x ?t1 t ?x

? 3t2 ? x ? f 2 ( x) ,从而 f ( x) ? f1 ( x) ; ? 3t2 ?t1 ? x ?t2 ? 3t2 ?t1 ? 3x ?t2 ? 3log3 2 ? 3 x ? t 2 ? f 2 ( x)

x ?t1

,及 f 2 ( x) ? 2 ? 3 2

t ?x

,由方程 3 y

x ?t1

? 2 ? 3t2 ? x

解得 f1 ( x)与f 2 ( x) 图象交点的横坐标为

x0 ?

t1 ? t2 1 ? log3 2 2 2
1 2



(a,f(a))

(b,f(b)) (x0,y0) (t2,2) (t1,1)

显然 t1 ? x0 ? t2 ? [(t2 ? t1 ) ? log3 2] ? t2 , 这表明 x0 在 t1 与 t 2 之间。由⑴易知

? f ( x ) , t1 ? x ? x0 f ( x) ? ? 1 ? f 2 ( x) , x0 ? x ? t2
综上可知,在区间 [a, b] 上, f ( x ) ? ?

O 图2

x

? f1 ( x) , a ? x ? x0 ? f 2 ( x) , x0 ? x ? b

(参见示意图 2)

故由函数 f1 ( x ) 及 f 2 ( x) 的单调性可知, f ( x) 在区间 [a, b] 上的单调增区间的长度之和为

( x0 ? t1 ) ? (b ? t2 ) ,由于 f (a) ? f (b) ,即 3t1 ?a ? 2 ? 3b?t2 ,得 t1 ? t2 ? a ? b ? log3 2
故由⑴、⑵得 ⑵

( x0 ? t 1 )? b ( ?t 2 ? ) b?

1 t[ ? 1t ? 2 2

b?a log 3? 2 ] 2

综合(i) (ii)可知, f ( x) 在区间 [a, b] 上的单调增区间的长度和为

b?a 。Ks5u 2


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