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2014届高考数学一轮复习 第21讲《简单的三角恒等变换》热点针对训练 理

时间:2013-12-08


第21讲

简单的三角恒等变换

tan? 2α +3β ? +tan? α -3β ? 1.(改编) =( C ) 1-tan? 2α +3β ? tan? α -3β ? A.tan α B.tan 2α C.tan 3α D.tan 6β 解析:原式=tan [(2α +3β )+(α -3β )]= tan 3α ,故选 C. 1

1 2.已知 sin α sin β = ,cos α cos β =- ,则 cos(α +β )的值为( A ) 3 6 1 2 A.- B. 2 2 3 1 D. 2 2 解析:cos(α +β )=cos α cos β -sin α sin β 1 1 1 =- - =- . 6 3 2 3.(2012·哈尔滨市部分重点校联考)已知△ABC 的三个内角满足: A=sin Ccos B, sin 则△ABC 的形状为( B ) A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 解析:由 sin A=sin Ccos B,得 sin(B+C)=sin Ccos B, 于是 sin Bcos C+cos Bsin C=sin Ccos B, 即 sin Bcos C=0, 因为 sin B≠0,所以 cos C=0,故 C=90°, 所以△ABC 为直角三角形,故选 B. 3-sin 70° 4.(2012·湖南省娄底市第二次模拟) =( C ) 2 2-cos 10° C.- A. 1 2 B. 2 2

C.2 D.

3 2 3-sin 70° 3-sin 70° 2? 3-sin 70°? 解析:因为 = = =2,故选 C. 2 2-cos 10° 1+cos 20° 3-sin 70° 2- 2 π π 1 2 5.(2013·宁波市期末)若 α ∈(0, ),且 co s α +sin( +2α )= ,则 tan α = 2 2 2
2

1 . 解析:因为 cos α +s in( π 1 +2α ) = , 2 2

1 2 所以 cos α +cos 2α = , 2 2 2 cos α +cos 2α 1 2-tan α 即 = = ,解得 tan α =1. 2 2 2 cos α +sin α 2 1+tan α 5 6.(2012·桂林市、崇左市、百色市、防城港市联合调研)已知 sin 2α = ,α ∈(0, 13 π 1 ),则 tan α = . 4 5 2sin α cos α 5 解析:由 sin 2α = = , 2 2 sin α +cos α 13

1

2tan α 5 1 = ,解得 tan α = 或 5. 2 tan α +1 13 5 π 1 因为 α ∈(0, ),所以 tan α <1,故 tan α = . 4 5 得 7.(2013·湖南省岳阳县第一次)已知 x +y = 2sin(α + π ),x -y= 2sin(α - 4

π 2 2 ),则 x +y 的值是 1 . 4 解析:联立条件中的两个等式得 π π 2x= 2sin(α + )+ 2sin(α - )=(sin α +cos α )+(sin α -cos α )=2sin 4 4 α , 所以 x=sin α ,y=cos α , 2 2 2 2 所以 x +y =sin α +cos α =1. cos 40°+sin 50°? 1+ 3tan 10°? 8.求值: . sin 70° 1+cos 40° cos 10°+ 3sin 10° cos 40°+sin 50°· cos 10° 解析:原式= 2 sin 70°· 2cos 20° cos 40°·2sin? 10°+30°? cos 40°+ cos 10° = 2sin 70°·cos 20° sin 80° cos 40°+ cos 10° 1+cos 40° = = 2 2 2cos 20° 2cos 20° 2 2cos 20° = = 2. 2 2cos 20° 1 13 π 9 .(2013·甘肃省天水段考)已知 cos α = ,cos(α -β )= ,0<β <α < . 7 14 2 (1)求 tan 2α 的值; (2)求 β . 1 π 解析:(1)由 cos α = ,0<α < , 7 2 得 sin α = 1-? 1 ? 7
2



4 3 , 7

sin α 4 3 所以 tan α = = ×7=4 3, cos α 7 2tan α 2×4 3 于是 tan 2α = = 2 1-tan α 1-? 4 3? π π (2)由 0<β <α < ,得 0<α -β < , 2 2 13 又因为 cos(α -β )= , 14
2 2

8 3 =- . 47

所以 sin(α -β )= 1-cos ? α -β ? = 由 β =α -(α -β ),得 cos β =cos[α -(α -β )] =cos α cos(α -β )+sin α sin(α -β )

1-?

13 ? 14

2



3 3 . 14

2

1 13 4 3 3 3 = × + × 7 14 7 14 1 = , 2 π 所以 β = . 3

3


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