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2006年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(理工农医类)

时间:2012-12-31


中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉 2006 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 数学(理工农医类)
数学试卷(理工农医类) 注意事项: 1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题纸上,并将准考证号条形码粘贴在答 题卡上的指定位置。 2. 每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再 选

涂其他答案标号,答在试题卷上无效。 3. 考试结束后,监考人员将本试题卷和答题卡一并收回。

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每个小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。

1. 函数 y ?

log2 x ? 2 的定义域是
B. [3,??) C. (4,??) D. [4,??)

A. (3,??) 2. 若数列 {an } 满足: a1 ?
n ? ??

1 , 且对任意正整数 m, n 都有 am? n ? am ? an , 则 3

lim ( a1 ? a 2 ? ? ? a n ) ?

A.

1 2

B.

2 3

C.

3 2

D. 2

3. 过平行六面体 ABCD? A1 B1C1 D1 任意两条棱的中点作直线, 其中与平面 DBB1 D1 平行的直线共有 A.4 条 B.6 条 C.8 条 D.12 条

4. “ a ? 1 ”是“函数 f ( x) ?| x ? a | 在区间 [1,??) 上为增函数”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 已知 | a |? 2 | b |? 0, 且关于 x 的方程 x 2 ? | a | x ? a ? b ? 0 有实根, 则 a 与 b 的夹角的取值范围是 A. [0,

?
6

]

B. [

?
3

,? ]

C. [

? 2?
3 , 3

]

D. [

?
6

,? ]

6. 某外商计划在 4 个候选城市投资 3 个不同的项目, 且在同一个城市投资的项目不超过 2 个, 则该外 商不同的投资方案有 A. 16 种 B.36 种 C.42 种 D.60 种

7. 过双曲线 M : x ?
2

y2 ? 1 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l , 若 l 与双曲线 M 的两条渐近线分别相交 b2

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于点 B, C , 且 | AB |?| BC | , 则双曲线 M 的离心率是

A.

10

B. 5

C.

10 3

D.

5 2

8. 设函数 f ( x) ?

x?a , 集合 M ? {x | f ( x) ? 0}, P ? {x | f ?( x) ? 0} , 若 M ? P , x ?1
B. (0,1) C. (1,??) D. [1,??)

则实数 a 的取值范围是 A. (??,?1)

9. 棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上, 若过该球球心的一个截面如图 1,

则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 A.

图1

2 2
2 2

B.

3 2

C. 2

D. 3

10. 若圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上至少有三个不同的点到直线 l : ax ? by ? 0 的 距离为 2 2 ,则直线 l 的倾斜角的取值范围是 A. [

,] 12 4

? ?

B. [

, ] 12 12

? 5?

C. [ , ]

? ?

6 3

D. [0, ]

?

2

注意事项: 请用 0.5 毫米黑色的签字笔直接答在答题卡上。答在试题卷上无效。

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分(第 15 小题每空 2 分),共 20 分. 填在答题卡中对应题号后的横线上。
11. 若 ax ? 1) 的展开式中 x 的系数是 ? 80 , 则实数 a 的值是__________. (
5
3

把答案

?x ? 1 ? 12. 已知 ? x ? y ? 1 ? 0 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
13. 曲线 y ?

则 x ? y 的最小值是_____________.
2 2

1 2 和 y ? x 在它们的交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形的面积是 x

___________. 14. 若 f ( x) ? a sin( x ?

?
4

) ? b sin( x ?

?
4

)( ab ? 0) 是偶函数, 则有序实数对 ( a, b) 可以

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是__________.(注: 写出你认为正确的一组数字即可) 15. 如图 2, OM // AB , 点 P 在由射线 OM , 线段 OB 及 AB 的延长线围成的区域内 (不含边界)运动, 且 OP ? xOA ? yOB ,则 x 的取值范围是__________; 当 x ? ? 范围是__________.

1 时, y 的取值 2

P M

B

O

图2

A

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
16. (本小题满分 12 分) 如图 3, D 是直角 ?ABC 斜边 BC 上一点, AB ? AD,记?CAD ? ? , ?ABC ? ? . (Ⅰ)证明: sin ? ? cos 2? ? 0 ; (Ⅱ)若 AC ? 3DC ,求 ? 的值.
A

B 图3

D

C

17. (本小题满分 12 分) 某安全生产监督部门对 5 家小型煤矿进行安全检查(简称安检), 若安检不合格, 则必须整改. 若整改后经 复查仍不合格, 则强制关闭. 设每家煤矿安检是否合格是相互独立的, 且每家煤矿整改前合格的概率是 0.5 , 整改后安检合格的概率是 0.8 , 计算(结果精确到 0.01 ); (Ⅰ) 恰好有两家煤矿必须整改的概率; (Ⅱ) 平均有多少家煤矿必须整改; (Ⅲ) 至少关闭一家煤矿的概率 .

18. (本小题满分 14 分) 如图 4, 已知两个正四棱锥 P ? ABCD与Q ? ABCD的高分别为 1 和 2, AB ? 4 (Ⅰ) 证明: PQ ? 平面ABCD ; (Ⅲ) 求点 P 到平面 QAD 的距离. (Ⅱ) 求异面直线 AQ与PQ 所成的角;

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P D C A B

Q 图4

19.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? sin x , 数列 {an } 满足: 0 ? a1 ? 1 , n ? 1,2,3,? 证明 (Ⅰ) 0 ? an?1 ? an ? 1 ; 20.(本小题满分 14 分) 对 1 个单位质量的含污物体进行清洗, 清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为: (Ⅱ) a n ?1 ?

1 3 an . 6

1?

污物质量 ) 0.8 , 要求清洗完后的清洁度为 0.99 . 有两种方案可供选择, 方案甲: 一 为 物体质量(含污物)
方案乙: 分两次清洗. 该物体初次清洗后受残留水等因素影响, 其质量变为 a(1 ? a ? 3) . 设

次清洗;

用 x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是 度是

x ? 0.8 ( x ? a ? 1) , 用 y 单位质量的水第二次清洗后的清洁 x ?1

y ? ac , y?a

其中 c (0.8 ? c ? 0.99) 是该物体初次清洗后的清洁度. (Ⅰ)分别求出方案甲以及 c ? 0.95 时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少; (Ⅱ)若采用方案乙, 当 a 为某固定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量, 使总用水量最小? 并讨 论 a 取不同数值时对最少总用水量多少的影响.

21.(本小题满分 14 分)

已知椭圆 C1 :

x2 y2 ? ? 1 , 抛物线 C2 : ( y ? m) 2 ? 2 px( p ? 0) , 且 C1 ,C2 的公共弦 4 3

AB 过椭圆 C1 的右焦点 .

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(Ⅰ) 当 AB ? x轴时, 求 m, p 的值, 并判断抛物线 C 2 的焦点是否在直线 AB 上; (Ⅱ) 是否存在 m, p 的值, 使抛物线 C 2 的焦点恰在直线 AB 上? 若存在, 求出符合条件的 m, p 的值; 若不存在, 请说明理由 .

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