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江苏省扬州中学2013届高三最后一次模拟考试


江苏省扬州中学高三模拟考试

数 学 试 题
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.) 1.复数 2 + i 在复平面上对应的点在第
i

2013.5.17

象限. . 开始 A 1, S 1 N

2.已知集合 A ? ? x ? 1 ≤ x ≤ 2

? , B ? ? x x ? 1? ,则 A ? (C R B ) = 3.已知直线 l1 : a x ? y ? 2 a ? 1 ? 0 和 l 2 : 2 x ? ( a ? 1) y ? 2 ? 0
(a ? R )

,则 l1 ? l 2 的充要条件是 a ?



4.如图是一个算法的流程图,若输出的结果是 31,则判断框中的整 数 M 的值是 .
2

5.若命题“ ? x ? R ,使得 x ? ( a ? 1) x ? 1 ? 0 ”为假命题,则实数 a 的范围 . 6.已知圆锥的母线长为 5 cm , 侧面积为 15 ? cm , 则此圆锥的体积
2

A≤M Y S A S+ 2 A A+ 1

输出 S 结束

为___________ cm . 7.已知 S n 是等差数列 ? a n ? 的前 n 项和,若 S 7 ? 7 , S 1 5 ? 7 5 ,则数 列?
? Sn ? ? ? n ?

2

(第 4 题)

的前 20 项和为



8.已知奇函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? ? 2 对称,当 x ? ? 0, 2 ? 时, f ( x ) ? 2 x ,则 f ( ? 9 ) = . . .

9.若点 P 是曲线 y=x2-lnx 上的任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的最小距离为 10.已知 O 为 △ A B C 的外心,若 3 O A ? 4 O B ? 5 O C ? 0 ,则 ? C 等于 11.已知 A,B,P 是双曲线 PB 的斜率乘积 k P A
? k PB ? 1 2

??? ?

??? ?

????

x a

2 2

?

y b

2 2

?1

上不同的三点,且 A,B 连线经过坐标原点,若直线 PA, .

,则该双曲线的离心率为

12.已知 a , b , c 成等差数列,点 M ( ? 1, 0 ) 在直线 a x ? b y ? c ? 0 上的射影点为 N ,点 P (1,1) , 则 P N 的最大值为_____________ . 13.对于实数 x ,将满足“ 0 ? y ? 1 且 x ? y 为整数”的实数 y 称为实数 x 的小数部分,用符号
? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? an ? 0

已知无穷数列 { a n } 满足如下条件: a 1 ① ? x ? 表示.

? ? a ? ; a n ?1 ②

(an ? 0) (an ? 0)

. 当

a ?

1 3

时,对任意 n ? N 都有 a n ? a ,则 a 的值为
*
2



14.已知函数 f ( x ) ? a x ? 使得 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?
1 4

1 2

x?

3 4

( a ? 0 ) ,若在任意长度为 2 的闭区间上总存在两点 x1 , x 2 ,

成立,则 a 的最小值为_____________.

二、解答题: (15、16 为 14 分,17、18 为 15 分 19、20 为 16 分) 15.己知在锐角 ΔABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,且 ta n C ? (1)求角 C 大小; (2)当 c ? 1 时,求 a 2 ? b 2 的取值范围.
ab a ?b ?c
2 2 2

.

[来源:Z&xx&k.Com][来源:学+科+网][来源:学科网 ZXXK] 16.如图,在四棱锥 P ? A B C D 中,四边形 A B C D 是菱形, P A ? P C , E 为 P B 的中点. (1)求证: P D∥ 面 A E C ; (2)求证:平面 A E C ? 平面 P D B . E D C P

A
第 16 题

B

17. 在综合实践活动中,因制作一个工艺品的需要,某小组设计了如图所示的一个门(该图为轴对 称图形),其中矩形 A B C D 的三边 A B 、 B C 、 C D 由长 6 分米的材料 y 3 弯折而成, B C 边的长为 2 t 分米( 1 ? t ? ); 曲线 A O D 拟从以下两种 2 O 曲线中选择一种:曲线 C 1 是一段余弦曲线(在如图所示的平面直角坐 标系中,其解析式为 y ? co s x ? 1 ),此时记门的最高点 O 到 B C 边的距 离为 h1 ( t ) ;曲线 C 2 是一段抛物线,其焦点到准线的距离为 门的最高点 O 到 B C 边的距离为 h 2 ( t ) . (1)试分别求出函数 h1 ( t ) 、 h 2 ( t ) 的表达式;
9 8

A

D

x

,此时记

B
第 17 题

C

(2)要使得点 O 到 B C 边的距离最大,应选用哪一种曲线?此时,最大值是多少?

18.已知椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的左右焦点分别为 F1 , F 2 ,短轴两个端点为 A , B ,且四

边形 F1 AF 2 B 是边长为 2 的正方形. (1)求椭圆的方程; (2)若 C , D 分别是椭圆长轴的左右端点,动点 M 满足 MD ? CD ,连接 CM ,交椭圆于点
???? ??? ? ? P .证明: O M ? O P 为定值;

(3)在(2)的条件下,试问 x 轴上是否存在异于点 C 的定点 Q ,使得以 MP 为直径的圆恒 过直线 DP , MQ 的交点,若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

y
A P M

C

F1

O

F2

D

x

B

19. 已 知 函 数 f ( x ) ?
f ? ? ? 1? ? 0

1 3

x ? ax ? bx , 且
3 2

(1) 试用含 a 的代数式表示 b ,并求 f ( x ) 的单调区间; (2) a ? ? 1 ,设函数 f ( x ) 在 x1 , x 2 ( x1 ? x 2 ) 处取得极值, 令 记点 M ( x1 , f ( x1 ) ), x 2 , f ( x 2 ) ), N( P( m , f ( m ) ), 范围。
x1 ? m ? x 2 ,若线段 MP 与曲线 f(x)有异于 M,P 的公共点,试确定 m 的取值

20.已知直角 ?ABC 的三边长 a, b, c ,满足 a ? b ? c (1)在 a, b 之间插入 2011 个数,使这 2013 个数构成以 a 为首项的等差数列 ?an ? ,且它们的 和为 2013 ,求 c 的最小值; (2)已知 a , b , c 均为正整数,且 a , b , c 成等差数列,将满足条件的三角形的面积从小到大排 成一列 S1 , S 2 , S3 ,?, S n ,且 Tn ? ? S1 ? S 2 ? S3 ? ? ? (?1) n S n ,求满足不等式 T2 n ? 6 ? 2 n ?1 的 所有 n 的值;
c a (3)已知 a , b , c 成等比数列,若数列 ? X n ? 满足 5 X n ? ? ? ? ? ? ? (n ? N ? ) ,证明:数列 ? ? ? ? ?a? ? c?
n n

?

X n 中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形,且 X n 是正整数.

?

附加题部分
21.[选做题] 在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题 纸的指定区域内. A.(选修 4—1:几何证明选讲) 如图, ? O 的半径 O B 垂直于直径 A C , D 为 A O 上一点, B D 的延长 线交 ? O 于点 E ,过 E 点的圆的切线交 C A 的延长线于 P . 求证: P D ? P A ? P C .
2

B

C

·
O

D E

A

P

B. (选修 4—2:矩阵与变换)
1? ? 1 ?1 0 ? ? 已知矩阵 A ? ? 若矩阵 A B 对应的变换把直线 l :x ? y ? 2 ? 0 变为直线 2? , ?, B ? ? ? 0 2? ? ?0 1 ?
l ' ,求直线 l ' 的方程.

C. (选修 4—4:坐标系与参数方程) 在极坐标系中,圆 C 的方程为 ? ? 4 2 c o s (? ?
?
4 ) ,以极点为坐标原点,极轴为 x 轴的正半

轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 ? 弦 A B 的长度.

?x ? t ?1 ?y ? t ?1

( t 为参数) ,求直线 l 被 ? C 截得的

D.(选修 4—5:不等式选讲) 已知 x、 y、 z 均为正数,求证:
3 1 1 1 ( ? ? )? 3 x y z 1 x
2

?

1 y
2

?

1 z
2

.

[必做题] 第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22.由数字1,2,3,4组成五位数 a1 a 2 a 3 a 4 a 5 ,从中任取一个. (1)求取出的数满足条件:“对任意的正整数 j ? 1 ? 且k
? j)
j ? 5?

,至少存在另一个正整数 k (1 ?

k ?5



,使得 a j

? ak

”的概率;

(2)记 ? 为组成该数的相同数字的个数的最大值,求 ? 的概率分布列和数学期望.

23.记 (1 ? (1)求 a n

x 2

)( 1 ?

x 2
2

) ? ? ? (1 ?

x 2
n

) 的展开式中, x 的系数为 a n , x 的系数为 b n ,其中 n ? N
2

*

(2)是否存在常数 p,q(p<q),使 b n ? 的结论.

1 3

(1 ?

p 2
n

)( 1 ?

q 2
n

) ,对 n ? N , n ? 2 恒成立?证明你
*

5 月 20 日高三数学试卷答案 一、填空题 1. 四 2. { x | 1 ? x ? 2}
3π 4
1 3

3.

4. 4
6 2

5. ( ? 1, 3)

6. 12 ?
5 ?1 2

7.55
1 4

8. ? 2

9.

2

10.

11.

12.

5 ?

2

13.

2 ?1或

14.

二、解答题 15.(1)由已知及余弦定理,得
s in C ? ab 2 ab cos C , ? s in C ? 1 2 . ……………4 分 cos C 因为 C 为锐角, 所以 C ? 3 0 ? .

…………………………………6 分

16.(1) 证明:设 A C ? B D ? O ,连接 EO,因为 O,E 分别是 BD,PB 的中点,所以 P D∥ E O ………

4分 而 P D ? 面 A E C , E O ? 面 A E C ,所以 P D∥ 面
A E C …………………………………………………7 分

(2)连接 PO,因为 P A ? P C ,所以 A C ? P O ,又四边形 A B C D 是菱形,所以
A C ? B D …………10 分

而 P O ? 面 P B D , B D ? 面 P B D , P O ? B D ? O ,所以 A C ? 面
P B D …………………………13 分

又 A C ? 面 A E C ,所以面 A E C ? 面
P B D ………………………………………………………14 分

17. 解 :(1) 对 于 曲 线 C 1 , 因 为 曲 线 A O D 的 解 析 式 为 y ? co s x ? 1 , 所 以 点 D 的 坐 标 为
( t , co s t ? 1) …2 分

所以点 O 到 A D 的距离为 1 ? co s t ,而 A B ? D C ? 3 ? t ,则
h1 ( t ) ? (3 ? t ) ? (1 ? c o s t ) ? ? t ? c o s t ? 4 (1 ? t ? 3 2 y ,即 y ? ? 4 9 x ,所以点 D 的坐标为
2

) ……………4 分

对于曲线 C 2 ,因为抛物线的方程为 x ? ?
2

9 4

(t , ?

4 9

t ) ……6 分
O

2

所 以 点
h2 (t ) ? 4 9
2



AD

的 距 离 为

4 9

t

2

, 而

AB ? DC ? 3 ? t

, 所 以

t ? t ? 3(1 ? t ?

3 2

) …………8 分 3 2

(2)因为 h1? ( t ) ? ? 1 ? sin t ? 0 ,所以 h1 ( t ) 在 [1, ] 上单调递减,所以当 t ? 1 时, h1 ( t ) 取得最 大值为 3 ? co s 1 ……………………………………………10 分 又 h2 (t ) ?
5 2 4 9 (t ? 9 8 ) ?
2

39 16

,而 1? t ?

3 2

,所以当 t?

3 2

时 , h2 (t ) 取 得 最 大 值 为

…………………12 分
?
3 ? 1 2 5 2

因为 c o s 1 ? c o s

,所以 3 ? c o s 1 ? 3 ?

1 2

?

5 2

,

故选用曲线 C 2 ,当 t ?

3 2

时,点 E 到

B C 边的距离最大,最大值为

分米……………………………15 分
2

18. 解: (1) a ? 2 , b ? c , a

2

? b

? c ,? b
2

2

? 2 ,? 椭圆方程为
?

x

2

?

y

2

? 1 .…4 分

4
?

2

(2) C ( ? 2 , 0 ), D ( 2 , 0 ) ,设 M ( 2 , y 0 ), P ( x 1 , y 1 ) ,则 OP ? ( x 1 , y 1 ), OM ? ( 2 , y 0 ) .

直线 CM :

x?2 4

?

y ? y0 y0

,即 y ?
y0 8
2 2

y0 4

x?
1 2

1 2
2

y 0 ,……………………………5 分
1 2 y0 ? 4 ? 0 . …………………………6
2

代入椭圆 x ? 2 y
2

2

? 4 得 (1 ?

)x

?

y0 x ?


? x1 ( ? 2 ) ?
?

4( y 0 ? 8)
2

y0 ? 8
2

,? x 1 ? ? 8 y0 y0 ? 8
2

2( y 0 ? 8)
2

y0 ? 8
2

,? y 1 ?

8 y0 y0 ? 8
2



? OP ? ( ?
? ?

2( y 0 ? 8)
2

y0 ? 8
2 2 2

,

) ,………………………………………………8 分 8 y0
2 2

? OP ? OM ? ?

4( y 0 ? 8) y0 ? 8
?

?

y0 ? 8

?

4 y 0 ? 32
2

y0 ? 8
2

? 4 (定值) .………………………10 分

(3)设存在 Q ( m , 0 ) 满足条件,则 MQ ? DP .
?

MQ ? ( m ? 2 , ? y 0 ) , DP ? ( ?
? ?

4 y0
2

2

y0 ? 8

,

8 y0 y0 ? 8
2 2

) ,…………………………13 分
2

则由 MQ ? DP ? 0 得

?

4 y0
2

2

y0 ? 8

(m ? 2) ?

8 y0

y0 ? 8

? 0 ,从而得 m ? 0 .

? 存在 Q ( 0 , 0 ) 满足条件.…………………………………………………………15 分

19. 解:(Ⅰ)依题意,得 从而 令
f (x) ? 1 3
3 2

f '( x ) ? x ? 2 a x ? b
2

,由

f '( ? 1) ? 1 ? 2 a ? b ? 0 得 b ? 2 a ? 1 .

x ? a x ? ( 2 a ? 1) x , 故 f '( x ) ? ( x ? 1)( x ? 2 a ? 1).

f '( x ) ? 0, 得 x ? ? 1或 x ? 1 ? 2 a .

①当 a>1 时,

1 ? 2a ? ?1

当 x 变化时, f '( x ) 与 f ( x ) 的变化情况如下表:
( ? ? ,1 ? 2 a ) (1 ? 2 a , ? 1)

x

( ? 1, ? ? )

f '( x ) f ( x)

+ 单调递增

- 单调递减

+ 单调递增

由此得,函数 f ( x ) 的单调增区间为 ( ? ? ,1 ? 2 a ) 和 ( ? 1, ? ? ) ,单调减区间为 (1 ? 2 a , ? 1) 。 ②当 a ? 1 时, 1 ? 2 a ? ? 1 此时有 f '( x ) ? 0 恒成立,且仅在 x ? ? 1 处 f '( x ) ? 0 ,故函数
f ( x ) 的单调增区间为 R

③当 a ? 1 时, 1 ? 2 a ? ? 1 同理可得,函数 f ( x ) 的单调增区间为 ( ? ? , ? 1) 和 (1 ? 2 a , ? ? ) , 单调减区间为 ( ? 1,1 ? 2 a )

综上:当 a ? 1 时,函数 f ( x ) 的单调增区间为 ( ? ? , 1 ? 2a ) 和 ( ? 1, ? ? ) ,单调减区间为
(1 ? 2 a , ? 1) ;

当 a ? 1 时,函数 f ( x ) 的单调增区间为 R; 当 a ? 1 时, 函数 f ( x ) 的单调增区间为 ( ? ? , ? 1) 和 (1 ? 2 a , ? ? ) , 单调减区间为 ( ? 1,1 ? 2 a ) . (2)由 a ? ? 1 得 f ( x ) ?
1 3 x ? x ? 3 x , f '( x ) ? x ? 2 x ? 3 ? 0 ,得 x1 ? ? 1, x 2 ? 3
3 2
2

由 ( 1 ) 得 的 f ( x ) 单 调 增 区 间 为 ( ? ? , ? 1) 和 (3, ? ? ) , 单 调 减 区 间 为 ( ? 1, 3) , 故 M( ? 1,
5 3
? m ? 4m ? 5 m x? ?y ? ? 3 由? ? y ? 1 x3 ? x2 ? 3x ? 3 ?
2 2

).N( 3, ? 9 )。直线 MP 的方程为 y
? 4m 3

?

m ? 4m ? 5
2

x?

m ? 4m
2

.

3

3

得 x3

? 3 x ? (m ? 4m ? 4) x ? m ? 4m ? 0
2 2 2

线段 MP 与曲线
3 2

f (x)
2

有异于 M,P 的公共点等价于上述方程在(-1,m)上有根,即函数
2

g ( x ) ? x ? 3 x ? ( m ? 4 m ? 4 ) x ? m ? 4 m 在 ( - 1 , m ) 上有零点.

因为函数 g ( x ) 为三次函数,所以 g ( x ) 至多有三个零点,两个极值点. 又 g ( ? 1) ? g ( m ) ? 0 .因此, g ( x ) 在 ( ? 1, m ) 上有零点等价于 g ( x ) 在 ( ? 1, m ) 内恰有一个极大值点 和一个极小值点,即 g '( x ) ?
2

3 x ? 6 x ? ( m ? 4 m ? 4 ) ? 0 在 (1, m )
2 2

内有两不相等的实数根.

? ? = 3 6 ? 1 ( m ? 4 m ? 4) > 0 2 ? 2 2 ? 3( ? 1) ? 6 ? ( m ? 4 m ? 4 ) ? 0 等价于 ? 2 2 ?3m ? 6 m ? (m ? 4 m ? 4) ? 0 ?m ? 1 ?

??1 ? m ? 5 ? 即 ? m ? 2 或 m ? ? 1, 解 得 2 ? m ? 5 ?m ? 1 ?

又因为 ? 1 ?

m ? 3 ,所以

m 的取值范围为 ? 2 , 3 ?
2013 ? ( a ? b) 2 ? 2013 ,即 a ? b ? 2 .………2 分

20. 解: (1) ?an ? 是等差数列,∴
2 2 2

所以 c ? a ? b ? ? ? 2 , c 的最小值为 2 ;……………………………4 分 (2)设 a, b, c 的公差为 d (d ? Z ) ,则 a 2 ? (a ? d ) 2 ? (a ? 2d ) 2 ? a ? 3d ……5 分 设 三 角 形 的 三 边 长 为 3d , 4d , 5d , 面 积 S d ?
2 2 2

1 2
2

? 3d ? 4 d ? 6 d ( d ? Z )
2

, S n ? 6n ,
2

T2 n ? ? S1 ? S 2 ? S3 ? ? ? S 2 n ? 6[?1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? (2n) ]
2

? 6(1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ?2n) ? 12n ? 6n .………………………………7 分
2

由 T2 n ? 6 ? 2 n ?1 得 n ?
2

1 2

n ? 2 , 当 n ? 5 时,
n

2 ?1? n ?
n

n( n ? 1) 2

? ? ? 2 ? 2n ? ( n ? n) ? n ?
2 2

1 2

n , 经 检 验 当 n ? 2,3,4 时 ,

n ?
2

1 2

n ? 2 ,当 n ? 1 时, n ?
n 2

1 2

n ? 2 .………9 分
n

综上所述,满足不等式 T2 n ? 6 ? 2 n ?1 的所有 n 的值为 2、3、4.……………10 分 (3)证明:因为 a, b, c 成等比数列, b ? ac .
2

由于 a, b, c 为直角三角形的三边长,知 a ? ac ? c ,
2 2

c a

?
n

1? 2

5

,………11 分
n



?c? ? a? ? 5 X n ? ? ? ? ? ? ? ( n ? N ) ,得 ?a? ? c?
n

n

n

?1? 5 ? ?1? 5 ? ? ?? ? , 5X n ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? ?
n n ?1

于是 5 X n ? 5 X n ?1
?1? 5 ? ? ?? ? 2 ? ? ?
n?2

?1? 5 ? ?1? 5 ? ?1? 5 ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? 2 ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? ?
n?2

?1? 5 ? ? ?? ? 2 ? ? ?

n ?1

?1? 5 ? ? ?? ? 2 ? ? ?

?

5 X n ? 2 .…………12 分

? X n +X n ?1 ? X n ? 2 ,则有?

?

Xn

? +?
2

X n ?1

? ??
2

X n?2

?

2

.

故数列 ? X n ? 中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形.……………14 分 因为
? 5 ?? X1 ? ?? 5 ?? ?? ? ?? 5 ?1 ? ? 1? 5 ? ? , X ? 5 ?? ? ?? ? ? =1 ? 2 2 ? ? 2 ? ? 5 ?? ? ? ? ? ??
1 1

?1? 5 ? ? 5 ?1 ? ? =1 ? ?? ? ? 2 ? ? ? 2 ? ? ? ? ?
2 2

? X 3 ? X 1 ? X 2 ? 2 ? N ,……………………………………………………15 分
? ? ? 由 X n ? X n ?1 ? X n ? 2 ,同理可得 X n ? N , X n ?1 ? N ? X n ? 2 ? N ,

?

故对于任意的 n ? N 都有 X n 是正整数.………………………………………16 分

?

数学附加题部分
21.A. 证明:连结 OE,因为 PE 切⊙O 于点 E,所以∠OEP=90 ,所以∠OEB+∠BEP=90 ,因为 OB=OE,所以∠OBE=∠OEB,因为 OB⊥AC 于点 O,所以∠OBE+∠BDO=90 ……………5 分 故∠BEP=∠BDO=∠PDE,PD=PE,又因为 PE 切⊙O 于点 E,所以 PE =PA·PC,
2 0 0 0

故 PD =PA·PC……………………………………………………………………………………… 10 分
?1 B. 易得 A B ? ? ?0 ? 0? 1 ? ? 2? ? ?0 1? ? 1 2? ? ? ? ? 1 ? ?0 1? 2 ? ……3 分, ? 2? 1? 2? ? 2?
2

在直线 l 上任取一点 P ( x ?, y ? ) , 经矩阵

? ? x ? ?1 AB 变 换 为 点 Q ( x, y ) , 则 ? ? ? ? y ? ?0 ?

1 ? 1 ? ? ? y? x ? x? ? x?? ? x? ? ? ,∴ ? 2 2 ? ? ? ? ? ? ? y ?? ? y ? 2 y? ? 2 y? ? ?

?y

,即

1 ? x ? ? x? ? ? 4 ? ? y? ? y ? ? 2

y

……………8 分

代 入
4x ? y ?

x? ? y? ? 2 ? 0 ? 8

中 得

x?

1 4

y?

y 2

?2 ? 0

, ∴ 直 线

l?

的 方 程 为

0 …………………10 分

2 C. 解: ? C 的方程化为 ? ? 4 co s ? ? 4 sin ? ,两边同乘以 ? ,得 ? ? 4 ? co s ? ? 4 ? sin ?

由 ? ? x ? y , x ? ? co s ? , y ? ? sin ? ,得 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 0 ……………5 分
2 2 2 2 2

其圆心 C 坐标为 ( 2 , 2 ) ,半径 r ? 2 2 ,又直线 l 的普通方程为 x ? y ? 2 ? 0 , ∴圆心 C 到直线 l 的距离 d ?
2 2
1 x
2

?

2 ,∴弦长 A B ? 2 8 ? 2 ? 2 6 …………10 分

D. 证明:由柯西不等式得 (1 ? 1 ? 1 )(
2 2 2

?

1 y
2

?

1 z
2

)? (

1 x

?

1 y

?

1 z

) …………………5 分

2

则 3?

1 x
2

?

1 y
2

?

1 z
2

?

1 x

?

1 y

?

1 z

,即

3 1 1 1 ( ? ? )? 3 x y z

1 x
2

?

1 y
2

?

1 z
2

……10 分

22.解: (1)由数字 1,2,3,4 组成的五位数 a1 a 2 a 3 a 4 a 5 共有 4 5 个数,满足条件的数分为 两类:①只有一个数组成共 有 4 个;②由两个数字组成,共有 C 42 ∴所求的概率为 p ( 2 )
? 124 4
5

? C5 ? 2 ? 120
2

个,

?

31 256

.
1

……………4 分 2,3,4,5 , 则
P (? ? 2 ) ? C 4 ? A 5? C ? 4 ? C ? C C 3
3 3 2 1 5

? 的 可 能 取 值 为

4

5

?

150 4 256

2



P ( ? ? 3) ?

C5 ? C4 ? 3
3 1

2

?
P

2
150 256

3
90 256

4
15 256

5
1
[来

4
4

5 1 1

? ?

90 256 15 256

, ,

P (? ? 4 ) ?
P (? ? 5 ) ?

C5 ? C4 ? C3 4
4 4
5

5

256
源:Zxxk.Com]

?

1 256

.

………6 分

∴ ? 的分布为:
E ? ? 2 ? P ( ? ? 2 ) ? 3 ? P ( ? ? 3) ? 4 ? P ( ? ? 4 ) ? 5 ? P ( ? ? 5 ) ? 635 256

.

……9 分

答: ? 的数学期望为

635 256



…………10 分

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