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3.1.2空间向量基本定理

时间:2013-12-14


3.1.2空间向量基本定理

回顾复习
一、共线向量: 1.共线向量:

如果表示向量的有向线段所在的直线互相平行或重合, ? ? ? ? 则这些向量叫做共线向量或平行向量. a 平行于 b 记作 a // b . ? ? 规定: o 与任一向量 a 是共线向量.
? ? ? ? ? ? 2、共线向量定理 对平面任意两个向量a,b(a≠ 0), ? ? ? ? ? ? b与a共线的充要条件是存在实数λ, 使b = λa.

3.A、B、P三点共线的充要条件
A、B、P三点共线

??? ? ??? ? AP ? t AB
??? ???? ??? ? ? OP ? xOA ? yOB( x ? y ? 1)

中点公式:

??? 1 ??? ??? ? ? ? 若P为AB中点, 则 OP ? OA ? OB 2

?

?

B
P A O

平面向量基本定理:

?? ?? ? 如果是 e1?,2 同一平面内两个不共线的 ?e 向量,那么对于这一平面内的任一向 ? 量 a ,有且只有一对实数?1,?2 ,使 ? ?? ?? ? ? a ? ?1 e1 ? ?2 e2 a
思考1:空间任意向 ?? 量 p 与两个不共线 ? ? 的向量 a?, 共面时, ?b 它们之间存在怎样 的关系呢?
? b ?C b A ? a B

P

二.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
注意:空间任意两个 向量是共面的,但空 a 间任意三个向量就不 ? 一定共面的了 ? ? 2.共面向量定理:如果两个向量 a 、 不共线,则向 b ? ? ? ? b 量 p 与向量 a 、 共面的充要条件是存在唯一的有
O A

a

? ? ? ? 序实数对 ( x , y ) 使 p ? xa ? yb .

请证明

?C b A ? B a

?? p

P

思考2:有平面ABC, 若P点在此面内,须 满足什么条件?
O

?C b? A a B

?? p

P

结论:空间四点P、A、B、C共面

???? ???? ???? 1.存在唯一有序实数对x,y使 AP ? x AB ? y AC ??? ??? ? ? ???? ???? 2.对空间任一点O,有 OP ? OA ? x AB ? y AC

3.能转化为都以O为起点的向量吗? ??? ? ??? ? ??? ? ???? OP ? 1 ? x ? y )OA ? xOB ? yOC (

??? ? ??? ? ??? ? ???? OP ? xOA ? yOB ? zOC (其中,x ? y ? z ? 1)

可证明或判断四点共面

练 习:

B 1.下列命题中正确的有: ? ? ? ? ? ? ? ? (1) p ? xa ? yb  p 与 a 、 共面 ; ? b ? ? ? ? ? ? ? ? (2) p 与 a 、 共面 ? p ? xa ? yb  b ;

???? ? ???? ? ???? ? (3) MP ? xMA ? yMB ? P、M、A、B共面;

???? ? ???? ? ???? ? (4) P、M、A、B共面 ? MP ? xMA ? yMB ; A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
??? ? ?? ?? ??? ? ? ?? ?? ??? ? ? ?? ?? ? 若 AB ? e1 ? e2 , AC ? 2e1 ? 8e 2 , AD ? 3e1 ? 3e 2 ,

?? ?? 2. 已知 e1 , e2 是平面内两个不共线的向量,

求证:A,B,C,D 四点共面.

3.已知点M在平面ABC内,并且对空间任意一点
???? ? ??? ? 1 ??? ? 1 ???? O, OM ? xOA + OB + OC 3 3

,则x的值为: D

A. 1

B. 0

C. 3

1 D. 3

4.已知A、B、C三点不共线,对平面外一点 O,在下列条件下,点P是否与A、B、C共面?

??? ? ??? ? ??? ???? ? (2) OP ? 2OA ? 2OB ? OC ;

??? 2 ??? 1 ??? 2 ???? ? ? ? (1) OP ? OA ? OB ? OC ; 5 5 5

??? ? ???? ? ? 例1.如图三棱柱, 设 AB ? a, AC ? b, A1 ???? ? ???? ? ???? ???? ? ??? ? AA1 ? c, AM ? k AC1 , BN ? k BC , ???? ? ? ? ? 求证 : MN与向量a和c共面. c
追问:求证 : MN ? 平面. AA1 B1 B
A

C1 B1 M

? b

? a
B

C N

在空间向量中,我们还可以作怎样的推广呢? 平面向量基本定理
如 果e1,2是 同 一 平 面 内 的 两 个 不 线 向 量 , e 共 那么对于这一平面内的 一向量 ,有且只有 任 a 一 对 实 数 λ1, λ 2, 使a= λ 1 e1+ λ 2 e 2。

问题 情境

(e1、2叫 做 表 示 这 一 平 面 内 所 向 量 的 一 组 基 底 ) e 有

这表明:平面内任一向量可以用该平面内的两个 不共线向量来线性表示. 能否通过平面向量基本定理来类似地推出空间向量基 本定理呢? 即空间任一向量能用三个不共面的向量来线性表示吗?

猜想:
如果三个向量 1、2、3不共面,那么空间任一 e e e ? 向量p,存在一个唯一的有序 实数组x,y,z, ? 使p ? xe1 ? ye2 ? ze3。

三、空间向量基本定理(又称空间向量分解定理): ? ? ? 如果三个向量 a 、 、c 不共面,那么对于空间任一向 b ? ? 量 p , 存 在 唯 一 的 有 序 实 数 组 ? x , y , z? 使 ? ? ? ? ? p ? xa ? yb ? zc .

? b E

p
O C

A

D
B

? c

? ? 对向量 p 进行分解,

? a

注:空间任意三个不共面向量都可以构成空
? ? ? 间的一个基底.如: a , b, c

?

?

看书P84

空间向量基本定理:(又称空间向量分解定理) ? ?? ?? ? ? 如果三个向量 e1 , e2 , e3 不共面,那么对空间任一向 ? ? ? 量 p,存在唯一有序实数组(x,y,z),使得 p ? xe1 ? ye2 ? z e3

证明:(1)先证存在性
设e1,, 是三个不共面的向量, e2 e3 过空间一点 作OA ? e1, O OB ? e2, ? e3, ? p OC OP , P 过点P作直线PP’∥OC,交平面 C OAB于点P’; O B B’ 在平面OAB内,过点P’作直线 A P’A’∥OB,P’B’∥OA,分别 A’ P’ 交直线OA,OB于点A’,B’. ???? ??? ? ?? ???? ? ??? ? ?? ? , , 存在实数则(x,y,z),使 OA ? xOA ? xe1 OB ? yOB ? ye 2 ???? ? ? ???? ?? ? ?? ?? ?? p ? xe1 ? ye2 ? ze3 OC , ? zOC ? ze3



(2)再证惟一性 用反证法
2.假设存在实数组 ( x2 , y2 , z2 ) ,

? ? ?? ?? ? ?? 使 p = x2 e1 + y2 e2 + z2 e3 , ?? ?? ? ?? ?? ?? ? ?? 所以 xe1 + ye2 + ze3 = x e + y e + z e 2 1 2 2 2 3 ?? ?? ? ?? ? 即 ( x - x ) e + ( y - y ) e + ( z - z )e = 0 2 1 2 2 2 3 因 x ? x2 ?? ? y - y2 ?? z - z2 ?? e1 = e2 e3 x - x2 x - x2

x ? x2

? ?? ?? ? ? ? ?? ?? ? ? 从而 e1 , e2 , e3 共面, 这与 e , e , e 不共面矛盾, 1 2 3 所以有序实数组(x,y,z)惟一.

建构数学
空间向量基本定理:

? 如 果 三 个 向 量 1 , e2 , e3 不 共 面 , 那 么 对 空 间 任 一 向 量,存 在 唯 一 e p ? 的 有 序 实 数 组 x, y, z ), 使 p ? xe1 ? y e2 ? z e3 (

?? ?? ?? ? 强调:对于基底 {e1 , e2 , e3}
?? ?? ?? ? (1)e1 , e2 , e3不共面

?? ?? ?? ? {e1 , e2 , e3 }—-基底

?? ?? ?? ? e1 , e2 , e3 --基向量

(3)e1 , e2 , e3中能否有0 ?

(2)空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一 个基底. ?? ?? ?? ? ?

(4) 基底指一个向量组,基向量是指基底中的某一个向 量,二者是相关联的不同概念。

如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直, 那么这个基底叫正交基底.
特别地,当一个正交基底的三个基向量都是单 ? ? ? 位向量时,称为单位正交基底,通常用 i , j , k } {

空间向量基本定理的推论:
空间向量基本定理:如果三个向量a、b、c不共 面,那么对于空间任一向量p,存在一个唯一的 有序实数组x、y、z,使 p=xa+yb+zc.
推论:设点O、A、B、C是不共面的四点,则对空间 任一点P,都存在唯一的有序实数对 x、y、z使

O

??? ? ??? ? ??? ??? ? ? OP ? xOA ? yOB ? zOC

C

A P
B

数学运用

例1、已知向量a, b, c 是空间的一个基底,从, b, c a 中选哪个向量,一定可 以与向量p ? a ? b, q ? a ? b 构成空间的另一个基底 ?

?

?

练习

? ? 1、如果a , b 与任何向量都不能构成空间的一个基底, ? ? 则a与b 有什么关系? 共线

2、 判 断 : , A, B, C为 空 间 四 点 , 且 向 量 , OB , OC不 O OA 构 成 空 间 的 一 个 基 底 么 点O, A, B, C有 什 么 关 系 ? ,那

共面

3.已知平行六面体OABC-O’A’B’C’,且
? ? ? ? ??? ? ???? ? ???? ? ? OO OC OA ? a , ? b, ? ? c,用a , b , c 表示如下 ???? ???? ???? ? ? 向量:(1) OB? , BA? , CA? ; ???? (2)OG (点G是侧面BB’C’C的中心)

O/

A/

? a
O A

? c?
b
B

? C/ ????'

B/ G

???? ? ? ' BA ? c ? b ???? ? ? ? ' CA ? a ? b ? c

? ? ? OB ? a ? b ? c

??? ? ? 1 ? ? C OG ? a ? b ? 1 c 2 2

4:已知空间四边形OABC,对角线OB、AC,M 和N分别是OA、BC的中点,点G在MN上,且使 MG=2GN,试用基底 OA, OB, OC 表示向量 OG

?

?

O
M
G

??? ???? ???? ? ? ? OG ? OM ? MG ? ? 1 ??? 2 ???? ? OA ? MN 2 3 ? ? 1 ??? 2 ???? ???? ? OA ? (ON ? OM ) C 2 3

解:在△OMG中,

A B

N

? ? ? 1 ??? 1 ??? 1 ??? ? OA ? OB ? OC 6 3 3

小结:
1. 共线向量定理. 2.共面向量定理. 3.空间向量基本定理及推论. (1)注意空间向量基本定理就是空间向量分解定理,即 空间任一向量可分解为三个方向上的向量之和; (2)介绍了空间向量基本定理的应用。选定空间不共面

的三个向量作为基向量,并用它们表示出指定的向量, 是用向量法解立体几何问题的一项基本功。

4.共线向量定理是在一维空间中利用向量 平移得到的,而平面向量基本定理是在 二维空间中借助与向量加法的平行四边 形法则推导的,空间向量基本定理是在 三维空间中研究的。


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