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2015-2016学年甘肃省永昌县第一中学高二下学期期末考试数学(文)试题


永昌县第一高级中学 2015—2016—2 期末考试卷
高二数学 (文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)和第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) ,考试时间 120 分钟,满分 为 15 0 分。请将第Ⅰ卷正确答案涂在机读卡上,第Ⅱ卷在答题卡上做答。 一、选择(每小题 5 分,共 60 分) 1.已知全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3

},B={2,4},则(?UA)∪B 为 A.{1,2,4} B.{2,3,4} C.{0,2,4} D.{0,2,3,4} ( D.4 ( C.-2 4 D. 3 ( ) ) ) ( )

2.已知向量 a=(1, 3),b=(-1,0),则|a+2b|等于 A.2 B. 2 C.1

sin α+cos α 1 3.若 = ,则 tan α 等于 sin α-cos α 2 3 A.- 4 B.-3

4.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为

A.2

B.4

C .8

D.16 ( )

5.体积为 8 的正方体的顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为 A. 12? B.

32 ? 3

C. 8?

D. 4? )

6.圆x 2 ? y 2 ? 2x ? 8 y ? 13 ? 0的圆心到直线 ax ? y ?1 ? 0的距离为 1 ,则a ? (
3 A.- 4 3 B. 4 4 C.- 3 4 D. 3 ( D.100 ( ) )

1 1 7.设 2a=5b=m,且 + =1,则 m 等于 a b A. 10 B.10 C.20

8.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是个半圆,则该几何体的体积为 第 1 页 共 8 页

A.

3? 2

B.π

3 C. π 2

D.

3? 6
) D.a>b>c ( )

9.已知 a=log23+log2 3,b=l og29-log2 3,c=log32,则 a,b,c 的大小关系是( A.a=b<c B.a=b>c C.a<b<c

?? 10.为了得到函数 y ? sin ? ? 2 x ? ? 的图象,可以将函数 y=cos 2x 的图象 6? ?
π A.向右平移 个单位长度 6 π C.向右平移 个单位长度 3 π B.向左平移 个单位长度 6 π D.向左平移 个单位长度 3

11.已知{an}是首项为 1 的等比数列,若 Sn 是{an}的前 n 项和,且 28S3=S6,则数列 ? 和为 15 A. 或 4 8 40 B. 或 4 27 40 C. 27 15 D. 8 (

?1? ? 的前 4 项 ? an ?
)

12.已知函数 f ( x ) ? log 2 x ? ( ) ,若实数 x0 是方程 f(x)=0 的解,且 0<x1<x0,则 f(x1)的值为(
x

1 3



A.恒为负

B.等于零

C.恒为正

D.不小于零

二.填空题(每小题 5 分,共 20 分)

? x ? y ? 1 ? 0, ? 13、 若x, y满足约束条件? x ? y ? 3 ? 0,则z ? x ? 2 y的最小值为 ? x ? 3 ? 0, ?

.

14、已知等差数列{an}中,a3+a8=22,a6=7,则 a5=________.
2 1 15、已知 x>0,y>0,且 + =1,若 x+2y>m2+2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是_______. x y

16、函数 f(x)=ax (a>0,a≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大2,则 a 的值为__________.
三、解答题(17 题 10 分,19、20、21、22 每题 12 分) cos A-2cos C 2c-a 17.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 = . cos B b 第 2 页 共 8 页

a

sin C 1 (1)求 的值;(2)若 cos B= ,△ABC 的周长为 5,求 b 的长. sin A 4 18. 某制造商 3 月生产了一批乒乓球,随机抽取 100 个进行检查,测得每个球的直径(单位:mm), 将数据进行分组,得到如下频率分布表: 分组 [39.95,39.97) [39.97,39.99) [39.99,40.01) [40.01,40.03] 合计 频数 10 20 50 20 100 频率

(1)补充完成频率分布表(结果保留两位小数),并在上图中画出频率分布直方图; (2)若以上述频率作为概率,已知标准乒乓球的直径为 40.00 mm,试求这批乒乓球的直径误差不超 过 0.03 mm 的概率; (3)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[39.99,40.01)的中点值是 40.00)作 为代表.据此估计这批乒乓球直径的平均值(结果保留两位小数). 19. 如图所示,在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,DB=BC,DB⊥AC,点 M 是棱 BB1 上一点.

(1)求证:B1D1∥平面 A1BD;

(2)求证:MD⊥AC;

(3)试确定点 M 的位置,使得平面 DMC1⊥平面 CC1D1D.

?bn ? 为等比数列, 20. 等差数列 ?an ? 的各项均为正数, 前 n 项和为 s n , 且 b2 s2 ? 64 , a1 ? 3 , b1 ? 1 ,
b3 s3 ? 960.
1 1 1 (1)求 an 与 bn ;(2)求 + +…+ .

S1 S2
2

Sn

21. 已知圆 C 的方程为 x +y =4. 第 3 页 共 8 页

2

(1)求过点 P(1,2)且与圆 C 相切的直线 l 的方程; (2)直线 l 过点 P(1,2),且与圆 C 交于 A、B 两点,若|AB|=2 3,求直线 l 的方程; → → → → (3)圆 C 上有一动点 M(x0,y0),ON=(0,y0),若向量OQ=OM+ON,求动 点 Q 的轨迹方程,并说明此 轨迹是什么曲线. -2x+b 22. 已知定义在 R 上的函数 f(x)= x 是奇函数. 2 +a (1)求 a,b 的值;(2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取值范围.

第 4 页 共 8 页

一、选择题:1、C 11、C 12、A

2.A 3、B 4.C

5、 A 6.C

7、B 8、D 9、B

10、C

二、填空题:13、-5; 三、解答题: 17. (1)由正弦定理,设 则 2c-a =

14.15;

15、 (-4,2) ;

1 3 16、2或2

a
sin A



b
sin B



c
sin C

=k,

b

2ksin C-ksin A 2sin C-sin A = , ksin B sin B

所以

cos A-2cos C 2sin C-sin A = . cos B sin B

即(cos A-2cos C)sin B=(2sin C-sin A)cos B, 化简可得 sin(A+B)=2sin(B+C). 又 A+B+C=π , 所以 sin C=2sin A,因此 sin C (2)由 =2 得 c=2a. sin A 1 由余弦定理及 cos B= 得 4 sin C =2. sin A

b2=a2+c2-2accos B=a2+4a2-4a2× =4a2.
所以 b=2a.又 a+b+c=5.从而 a=1,因此 b=2. 18. 解析 (1)频率分布表如下: 分组 [39.95,39.97) [39.97,39.99) [39.99,40.01) [40.01,40.03] 合计 频率颁布直方图如图: 频数 10 20 50 20 100 频率 0.10 0.20 0.50 0.20 1

1 4

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(2)误差不超过 0.03 mm,即直径落在[39.97,40.03]内, 其概率为 0.2+0.5+0.2=0.9. (3)整体数据的平均值为 39.96 ×0.10 + 39.98 ×0.20 +40.00 ×0.50 + 40.02 ×0.20 = 40.00(mm). 19. 解析 (1)证明 由直四棱柱,得 BB1∥DD1,又∵BB1=DD1,

∴BB1D1D 是平行四边形, ∴B1D1∥BD. 而 BD?平面 A1BD,B1D1?平面 A1BD, ∴B1D1∥平面 A1BD. (2)证明 ∵BB1⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD, ∴BB1⊥AC. 又∵BD⊥AC,且 BD∩BB1=B,∴AC⊥平面 BB1D. 而 MD?平面 BB1D,∴MD⊥AC. (3)当点 M 为棱 BB1 的中点时, 平面 DMC1⊥平面 CC1D1D.取 DC 的中点 N,D1C1 的中点

N1,连接 NN1 交 DC1 于 O,连接 OM,如图所示.
∵N 是 DC 的中点,BD=BC, ∴BN⊥DC.又∵DC 是平面 ABCD 与平面 DCC1D1 的交线, 而平面 ABCD⊥平面 DCC1D1, ∴BN⊥平面 DCC1D1. 又可证得 O 是 NN1 的中点, ∴B M∥ON 且 BM=ON,即 BMON 是平行四边形. ∴BN∥OM.∴OM⊥平面 CC1D1D. ∵OM?平面 DMC1, ∴平面 DMC1⊥平面 CC1D1D.
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20. 解析 (1)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,则 d 为正数,an=3+(n-1)d,bn =qn-1. 6 ? d =- , ? 5 或? 40 q= . ? ? 3

?S2b2=?6+d?q=64, 依题意有? 2 ?S3b3=?9+3d?q =960,

?d=2, 解得? ?q=8

(舍去),故

an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n-1.
(2)Sn=3+5+…+(2n+1)=n(n+2), 1 1 1 1 1 1 1 所以 + +…+ = + + +…+ S1 S2 Sn 1×3 2×4 3×5 n?n+2? 1 1 1 1 1 1 1 ? 1? ? = ?1- + - + - +…+ - 3 2 4 3 5 n n+2? 2? 1 1 1 ? 3 1? 2n ? 3 - ?= ? = ?1+ - 2 n+1 n+2? 4 2(n ? 1)(n ? 2) 2? 21. 解析 (1)显然直线 l 的斜率存在,设切线方程为 y-2=k(x-1), 则由 |2-k| 4 =2,得 k1=0,k2=- ,从而所求的切线方程为 y=2 和 4x+3y-10=0. 2 3 k +1

(2)当直线 l 垂直于 x 轴时,此时直线方程为 x=1,l 与圆的两个交点坐标为(1, 3) 和(1,- 3),这两点的距离为 2 3,满足题意;当直线 l 不垂直于 x 轴时,设其方程 为 y-2=k(x-1), 即 kx-y-k+2=0,设圆心到此直线的距离为 d(d>0),则 2 3=2 4-d2, 得 d=1,从而 1= |-k+2| 3 ,得 k= ,此时直线方程为 3x-4y+5=0, 2 4 k +1

综上所述,所求直线方程为 3x-4y+5=0 或 x= 1. (3)设 Q 点的坐标为(x,y),M 点坐标是(x0,y0),→ ON=(0,y0), ∵→ OQ=→ OM+→ ON,∴(x,y)=(x0,2y0)?x=x0,y=2y0.

x y ?y?2 2 2 ∵x2 + =1. 0+y0=4,∴x +? ? =4,即 4 16 ?2?
2 2

∴Q 点的轨迹方程是 + =1,轨迹是一个焦点在 y 轴上的椭圆. 4 16

x2

y2

第 7 页 共 8 页

22. ( 1 ) 因 为

f ( x)

定 义 在

R

上 的 奇 函 数 , 所 以 由

1 b ?1 2 ? ? ? 2 ? b 即a ? 1 f (0) ? 0得 ? 0即b ? 1, f (?1) ? ? f (1)得 1 1? a 2?a ?a 2 b?
1? 2x 验证如下:当 a ? 1, b ? 1 时, f ( x) ? x 。 2 ?1

2x ?1 x 1 ? 2? x 2 x ? 2 ? 1 ? ? f ( x) 所以 f ( x) 定义在 R 上的奇函数。 f ( ? x) ? ? x ? x 2 ?1 2 ?1 2x ?1 2x
所以 a ? 1, b ? 1 . (2)因为 f ( x) ?
1? 2x 2 ? x ? 1 所以 f ( x) 定义在 R 上的减函数。 x 2 ?1 2 ?1

因为 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0恒成立, 等价于 f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k )恒成立, 因为 f ( x) 定 义在 R 上的奇函数,所以等价于 f (t 2 ? 2t ) ? f (k ? 2t 2 )恒成立, 因为 f ( x) 定义在 R 上的减 函数,所以等价于 t 2 ? 2t ? k ? 2t 2恒成立, 即 3t 2 ? 2t - k ? 0恒成立,
1 即 ? ? 0 所以 4 ? 12 k ? 0, 所以 k ? ? 3

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