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2.1.1指数与指数幂的运算(二)


实例引入

根据国务院发展研究中心2000年发表 的《未来20年我国发展前景分析》判断, 未来20年,我国GDP(国内生产总值) 年平均增长率可望达到7.3%.那么,在 2001~2020年,各年的GDP可望为2000 年的多少倍?

如果把我市2000年GDP看成1个单 位,2001年为第1年,那么: 1年后(即2001年),我国的G

DP可望为 2000年的 (1 ? 7.3%) 倍 2年后(即2002年),我国的GDP可望为 2 2002年的(1 ? 7.3%)倍 3年后(即2003年),我国的GDP可望为 3 2000年的(1 ? 7.3%)倍 4年后(即2004年),我国的GDP可望为 4 2000年的 (1 ? 7.3%) 倍

根据国务院发展研究中心2000年发表的《未来 20年我国发展前景分析》判断,未来20年,我国 GDP(国内生产总值)年平均增长率可望达到7.3 %.那么,在2001~2020年,各年的GDP可望为 2000年的多少倍?

设 x 年后我国的GDP值为2000年的y倍,那 么: x x

y ? (1 ? 7.3%) ? 1.073 ? x ? N , x ? 20?
*

即从2000年起, x 年后我国的GDP为2000年的 1.073 倍.
x

当生物死亡后,它机体内 原有的碳14会按确定的规 律衰减,大约每经过5370 年衰减为原来的一半,这 个时间称为”半衰期”。 根据此规律,人们获得了 生物体内碳14含量P与死 亡年数t之间的关系

1 P?( ) 2

t 5370

一、根式

定义1:如果xn=a(n>1,且n?N*),则称x是a的n次方根. 定义2:式子n a 叫做根式,n叫做根指数, 叫做 被开方数

a

填空: ?5 (1)25的平方根等于_________________ 3 (2)27的立方根等于_________________ -2 (3)-32的五次方根等于_______________ ?2 (4)16的四次方根等于_______________ 2 6 a (5)a 的三次方根等于_______________ 0 (6)0的七次方根等于_______________

结论1:当 n 为奇数时,正数的 n 次方根是一个正 数,负数的 n 次方根是一个负数,这时,a 的n 次方根 只有一个,记为 x ? n a .

结论2:当n为偶数时,正数的n次方根有两个, 它们互为相反数.正数a的正n次方根用符号 n a n次方根用符号 表示;负的 表示,它们可 ?n a n 以合并写成 的形式. ? a
负数没有偶次方根.

注意问题
特别注意:0的 n 次方根等于0. 1) n 思考:

a 一定表示一个正数吗?

n

为奇数时,它可为正、可为负、可为零. n ? a? ? n为偶数时,它表示非负数.

a 中的 a 一定是正数或非负数吗? 当 n为偶数时,它有意义的条件是 a ? 0; 当 n为奇数时,它有意义的条件是 a ? R .
2)n

两个等式:

▲等式一:

( a) ?
n n

a
n 为奇数

n ▲等式二:

a ? ? ? | a | n 为偶数
n

a ?

复习知识

指数

4 ? 16
2



定义: a

m n

二、分数指数幂
? n a m (a > 0, m, n ? N * , 且n > 1)

注意:(1)分数指数幂是根式的另一种表示; (2)根式与分数指数幂可以互化.
a 规定:(1)
?
m n

?

1 a
m n

(a > 0, m, n ? N * , 且n > 1)

(2)0的正分数指数幂等于0;0的负分数指 数幂没意义.

复习:整数指数幂的运算性质
(1)am· an=am+n (3)(am)n=amn (4)(ab)n=anbn
n

(m, n∈Z); (m, n∈Z); (n∈Z).

(2)am÷an=am-n (a?0, m, n∈Z,m>n);

(5)

an ?a? ? ? ? n (b ? 0, n ? Z ) b ?b?

探究:
? 规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从 整数指数推广到了有理数指数

?问:整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂 是否适用呢?

性质:(整数指数幂的运算性质对于有理指 数幂也同样适用)

(a > 0, r , s ? Q) a a ?a r s rs (a > 0, r , s ? Q) (a ) ? a r r r (ab) ? a b (a > 0, b > 0, r ? Q)
r s

r ?s

a ?a ? a
r s r

r ?s

? a > 0, r, s ? Q ?

a r a ( ) ? r (a > 0, b > 0, r ? Q) b b

例2、求值
8
2 3

;

25

1 ? 2

;

?1? ? ? ? 2?

?5

? 16? ; ? ? ? 8 1?

?

3 4

例3、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0):

(1) a ?

3

a ( 2) a ?

2

3

a

2

(3) a a

3

例4、计算下列各式(式中字母都是正数)
2
3 1 2 1

1

1

6 6 2 3 ? ? ? (1)(2a b )( 6a b ) ( 3a b

5

)

1
4

(2)(m n )

?

3 8 8

例5、计算下列各式

(1)( 25- 125) ? 25
3 4

(2)

a

2 2

a a

3

(a > 0)

一般地,无理数指数幂 a ( a >0, ? 是 无理数)是一个确定的实数. 有理数指数幂的 运算性质同样适用于无理数指数幂.

?

小结
1、根式和分数指数幂的意义.

2、根式与分数指数幂之间的相互转化 3、有理指数幂的含义及其运算性质

练习:
1、化简

(

3 6

a ) ?(
9 4
8

6 3

a )
4

9

4 的结果是(C )

A.a

16

B. a

C. a

D. a

2

? 2.下面四个式子中正确的是(

D


2

A.a =1 C.当a∈R时 a =( a )
n n n n

0

B. ( ?3) =3 ? 3
6

D. | a| =|a|
n

n

? 3.a∈R,下列各式中正确的是(

D


n 2 ( ) m

A. a =a
n n

5

2

5 2

B. (a

n ? m

) =a

2

C. ( a ) =a

D. (a ) = (a )

4 3

3 4

? 4.计算 (?2) ? (?2) 结果是( D )
101

100

所得的

A.2100 B.-1 C.(-2)100 D.-2100

5、2-(2k+1)-2-(2k-1)+2-2k等于( A.2-2k B. 2-(2k-1) C. -2-(2k+1) D.2

C

)

6、已知 x

?3

? 1 ? a ,求 a ? 2ax ? x
2

?3

?6

的值

原式=1

7、若10x=2,10y=3,则10

3 x? y 2

2 6 ? 3 。

8、化简 (1 ? 2

?

1 32

)(1 ? 2

?

1 16

)(1 ? 2 )(1 ? 2 )(1 ? 2 )的结果 ( A)
? 1 32

?

1 8

?

1 4

?

1 2

1 A. (1 ? 2 2

?

1 32

)

?1

B.(1 ? 2

)
?

?1

C.1 ? 2

?

1 32

1 D. (1 ? 2 2

1 32

)


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