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2015届浙江省高考数学(理)必考题型过关练:专题6 第23练


第 23 练 题型一 空间中的平行问题 完美破解立体几何证明题 例 1 在如图所示多面体 ABCDE 中,AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD, 且 AC=AD=CD=DE=2,AB=1. (1)请在线段 CE 上找到点 F 的位置,使得恰有直线 BF∥平面 ACD,并证 明. (2)求多面体 ABCDE 的体积. 破题切入点 (1)可先猜后证,可以利用线面平行的判定定理进

行证明. (2)找到合适的底面. 解 如图, (1)由已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD, 所以 AB∥ED, 设 F 为线段 CE 的中点,H 是线段 CD 的中点, 1 连接 FH,AH,则 FH 綊 ED, 2 所以 FH 綊 AB, 所以四边形 ABFH 是平行四边形, 所以 BF∥AH, 又因为 BF?平面 ACD,AH?平面 ACD, 所以 BF∥平面 ACD. (2)取 AD 中点 G,连接 CG. 因为 AB⊥平面 ACD, 所以 CG⊥AB, 又 CG⊥AD,AB∩AD=A, 所以 CG⊥平面 ABED, 即 CG 为四棱锥 C-ABED 的高,求得 CG= 3, 1 ?1+2? 所以 VC-ABED= × ×2× 3= 3. 3 2 题型二 空间中的垂直问题 例 2 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面 AA1B1B 为正方形,侧面 BB1C1C 为菱形,∠CBB1=60° ,AB⊥B1C. (1)求证:平面 AA1B1B⊥平面 BB1C1C. (2)若 AB=2,求三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积. 破题切入点 (1)考查面面垂直的判定定理. (2)注意利用棱柱体积和锥体体积公式间的关系. (1)证明 由侧面 AA1B1B 为正方形,知 AB⊥BB1. 又 AB⊥B1C,BB1∩B1C=B1, 所以 AB⊥平面 BB1C1C, 又 AB?平面 AA1B1B, 所以平面 AA1B1B⊥平面 BB1C1C. (2)解 由题意,CB=CB1,设 O 是 BB1 的中点, 连接 CO,则 CO⊥BB1. 由(1)知,CO⊥平面 AA1B1B, 且 CO= 3 3 BC= AB= 3. 2 2 1 连接 AB1,则 VC- ABB1 = S ?ABB1 · CO 3 1 2 3 = AB2· CO= . 6 3 2 3 1 因为 VB ? ABC = VC- ABB1 = VABC ? A B C = , 3 1 1 1 1 3 所以 VABC-A1B1C1=2 3. 故三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积为 2 3. 题型三 空间中的平行、垂直综合问题 例 3 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是正方形,MA⊥平面 ABCD,PD∥MA,E、G、F 分别为 MB、PB、PC 的中点,且 AD=PD=2MA. (1)求证:平面 EFG∥平面 PMA; (2)求证:平面 EFG⊥平面 PDC; (3)求三棱锥 P-MAB 与四棱锥 P-ABCD 的体积之比. 破题切入点 (1)证明 EG、FG 都平行于平面 PMA. (2)证明 GF⊥平面 PDC. (3)设 MA 为 1,从而其他边的长度都可表示,问题可求解. (1)证明 ∵E、G、F 分别为 MB、PB、PC 的中点, ∴EG∥PM,GF∥BC. 又∵四边形 ABCD 是正方形,∴BC∥AD,∴GF∥AD. ∵EG、GF 在平面 PMA 外,PM、AD 在平面 PMA 内, ∴EG∥平面 PMA,GF∥平面 PMA. 又∵EG、GF 都在平面 EFG 内且相交,

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