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2015 .1西城期末文科数学试题


北京市西城区 2014 — 2015 学期末高三数学(文科)试卷
第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1.设集合 A ? {?1, 0,1, 2} , B ? {x | x2 ? x} ,则集合 A

B?(

/>
(A) {?1, 0,1} (B) {?1, 2} (C) {0,1, 2} (D) {?1,1, 2} 2.设命题 p : ?x ? 0, 2x ? log2 x ,则 ? p 为( (A) ?x ? 0, 2x ? log2 x (B) ?x ? 0, 2x ≤log2 x (C) ?x ? 0, 2x ? log2 x (D) ?x ? 0, 2x≥log2 x )

3.在 ? ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 若 A 为锐角,a ? 2b ,sin B ? 则( )

3 , 4

(A) A ?

? ? 2 3 (B) A ? (C) sin A ? (D) sin A ? 3 3 6 3


5.设函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ,则“ f (0) ? 0 ”是“函数 f ( x) 为奇函数”的( (A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件

6. 某天,甲要去银行办理储蓄业务,已知银行的营业时间为 9:00 至 17:00,设甲在当天 13:00 至 18:00 之间任何时间去银行的可能性相同,那么甲去银行恰好能办理业务的概率 是( )

(A)

1 3

(B)

3 4

(C )

5 8

(D)

4 5
1

7. 设抛物线 W : y 2 = 4 x 的焦点为 F,过 F 的直线与 W 相交于 A,B 两点,记点 F 到直线 l:
x = - 1的距离为 d ,则有(



(A) | AB | ≥2d (B) | AB |= 2d (C) | AB | ≤2d (D) | AB |< 2d 8. 如图,在空间四边形 ABCD 中,两条对角线 AC , BD 互相垂直,且长度分别为 4 和 6,平行 于这两条对角线的平面与边 AB, BC, CD, DA 分别相交于点 E , F , G, H , 记四边形 EFGH 的面积 为 y,设

BE = x ,则( AB

) A H E B D F G

(A)函数 y = f ( x) 的值域为 (0, 4] (B)函数 y = f ( x) 的最大值为 8

2 (C)函数 y = f ( x) 在 (0, ) 上单调递减 3
(D)函数 y = f ( x) 满足 f ( x) = f (1- x)

C

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 复数 z ?

i ,则 | z |? ______. 1? i

10.设平面向量 a , b 满足 | a |? 3 , | b |? 2 , a ? b ? ?3 ,那么 a , b 的夹角 ? ? ____.

11.一个四棱锥的三视图如图所示,那么这个四棱锥最 2 长棱的棱长为_____. 1 1 正(主)视图 1 1 俯视图
2

2 1 侧(左)视图

12.设 F1 , F2 为双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,且直线 y ? 2 x 为双曲线 a 2 b2

C 的一条渐近线,点 P 为 C 上一点,如果 | PF1 | ? | PF2 |? 4 ,那么双曲线 C 的方程为____;
离心率为_____. 13. 某小学教师准备购买一些签字笔和铅笔盒作为奖品,已知签字笔每支 5 元,铅笔盒每个 6 元,花费总额不能超过 50 元. 为了便于学生选择,购买签字笔和铅笔盒的个数均不能少于 3 个,那么该教师有_______种不同的购买奖品方案.

?| x ? a |, x≤1, 14. 设函数 f ( x) ? ? ?log 3 x, x ? 1.
(1)如果 f (1) ? 3 ,那么实数 a ? ___; (2)如果函数 y ? f ( x) ? 2 有且仅有两个零点,那么实数 a 的取值范围是___. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 15. (本小题满分 13 分)
2 已知函数 f ( x) ? 1 ? 2sin ( x ? ) ,x∈R .

π 4

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)判断函数 f ( x ) 在区间 [ ? 16. (本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 满足 a2 ? 5 ,且其前 n 项和 Sn ? pn2 ? n . (Ⅰ)求 p 的值和数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 设数列 {bn } 为等比数列, 公比为 p , 且其前 n 项和 Tn 满足 T5 ? S5 , 求 b1 的取值范围. 17. (本小题满分 14 分)

π π , ] 上是否为增函数?并说明理由. 6 6

3

如图,在四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, A1 A ? 底面 ABCD , ?BAD ? 90 , AD // BC , 且 A1 A ? AD ? 2BC ? 2 , AB ? 1 . 点 E 在棱 AB 上,平面 A 与棱 C1D1 相交于点 F. 1EC (Ⅰ)求证: A1F ∥平面 B1CE ; A1 (Ⅱ)求证: AC ? 平面 CDD1C1 ; (Ⅲ) 写出三棱锥 B1 ? A1EF 体积的取值范围. (结论不要 求证明) B A E C D B1 C1 F D1

18. (本小题满分 13 分) 最近,张师傅和李师傅要将家中闲置资金进行投资理财. 现有两种投资方案,且一年后 投资盈亏的情况如下: (1) 投资股市: 投资结果 获利 不赔不赚 亏损
4

概 率 (2) 购买基金: 投资结果 概 率 (Ⅰ)当 p =

1 2

1 8

3 8

获利

不赔不赚

亏损

p

1 3

q

1 时,求 q 的值; 2

(Ⅱ)已知“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小,求 p 的取值范围; (Ⅲ)已知张师傅和李师傅两人都选择了“购买基金”来进行投资,假设三种投资结果出现 的可能性相同,求一年后他们两人中至少有一人获利的概率.

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 F,右顶点为 A,离心率为 e,点 P(m,0)( m ? 4) 满 16 12

足条件

| FA | ?e. | AP |

(Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)设过点 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M,N 两点,记 ?PMF 和 ?PNF 的面积分别为

S1 , S2 ,若 S1 ? 2S2 ,求直线 l 的方程.
20. (本小题满分 13 分) 对于函数 f ( x), g ( x) ,如果它们的图象有公共点 P,且在点 P 处的切线相同,则称函数

f ( x) 和 g ( x) 在点 P 处相切,称点 P 为这两个函数的切点.
设函数 f ( x) ? ax ? bx(a ? 0) , g ( x) ? ln x .
2

(Ⅰ)当 a ? ?1 , b ? 0 时, 判断函数 f ( x) 和 g ( x) 是否相切?并说明理由; (Ⅱ)已知 a ? b , a ? 0 ,且函数 f ( x) 和 g ( x) 相切,求切点 P 的坐标;
5

(Ⅲ)设 a ? 0 ,点 P 的坐标为 ( , ?1) ,问是否存在符合条件的函数 f ( x) 和 g ( x) ,使 得它们在点 P 处相切?若点 P 的坐标为 (e2 , 2) 呢?(结论不要求证明)

1 e

参考答案及评分标准

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.B 5.B 2 .B 6 .D 3 .A 7.A 4.C 8 .D

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.

2 2

10. 12.

2π 3

11. 2 2 13. 9 注:第 12,14 题第一问 2 分,第二问 3 分.

x2 y 2 ? ?1 4 16

5
(?1,3]

14. ?2 或 4

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 15. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:因为 f ( x) ? 1 ? 2sin 2 ( x ? )

π 4

π ? cos 2( x ? ) 4
? sin 2 x ,
2π ? π. 2 π π (Ⅱ)解:结论:函数 f ( x ) 在区间 [ ? , ] 上是增函数. 6 6
所以函数 f ( x) 的最小正周期 T ? 理由如下: 由 2kπ ?

……………… 3 分 ……… 5 分 ……… 7 分 ……… 9 分

π π ≤ 2 x ≤ 2kπ ? , 2 2

6

解得 kπ ?

π π ≤ x ≤ kπ ? , 4 4

所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 [ kπ ? 当 k ? 0 时,知 f ( x) 在区间 [ ? 所以函数 f ( x ) 在区间 [ ?

π π , kπ ? ] , (k ? Z) . 4 4

……… 12 分

π π , ] 上单调递增, 4 4
…… 13 分

π π , ] 上是增函数. 6 6

16. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:由题意,得 S1 ? p ? 1 , S2 ? 4 p ? 2 , 因为 a2 ? 5 , S2 ? a1 ? a2 , 所以 S2 ? 4 p ? 2 ? p ? 1 ? 5 , 解得 p ? 2 .
2 所以 Sn ? 2n ? n .

……………… 3 分

当 n≥2 时,由 an ? Sn ? Sn ?1 ,
2 2 得 an ? (2n ? n) ? [2(n ? 1) ? (n ? 1)] ? 4n ? 3 .

……………… 5 分 ………… 7 分

验证知 n ? 1 时, a1 符合上式, 所以 an ? 4n ? 3 ,n ? N* . (Ⅱ)解:由(Ⅰ) ,得 Tn ? 因为 T5 ? S5 ,
5 2 所以 b1 (2 ? 1) ? 2 ? 5 ? 5 ,

……………… 8 分 ……………… 10 分

b1 (1 ? 2n ) ? b1 (2n ? 1) . 1? 2

解得 b1 ?

45 . 31

……… 12 分

又因为 b1 ? 0 , 所以 b1 的取值范围是 (??,0)

(0,

45 ). 31

………… 13 分

7

A1 17. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:因为 ABCD ? A1B1C1D1 是棱柱, 所以平面 ABCD∥ 平面 A1B1C1D1 . 又因为平面 ABCD 平面 A 1B 1C1D 1 所以 A1F ∥ CE . 又 A1F ? 平面 B1CE , CE ? 平面 B1CE , 所以 A1F ∥平面 B1CE . (Ⅱ)证明:在四边形 ABCD 中, 因为 ?BAD ? 90 , AD // BC ,且 AD ? 2 BC , AD ? 2 , AB ? 1 , 所以 AC 2 ? 12 ? 12 ? 2 , CD2 ? 12 ? 12 ? 2 . 所以 AC 2 ? CD2 ? AD2 , 所以 ?ACD ? 90 ,即 AC ? CD . 因为 A1 A ? 平面 ABCD,AC ? 平面 ABCD , 所以 A1 A ? AC . 因为在四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, A1 A//C1C , 所以 C1C ? AC . 又因为 CD, C1C ? 平面 CDD1C1 , CD 所以 AC ? 平面 CDD1C1 . 平面 A1ECF ? EC , B A E C B1 C1 F

D1

D

平面 A1ECF ? A1F , …………………3 分

…………………6 分

……………7 分

…………………9 分

C1C ? C ,
…………………11 分 …………14 分

1 2 (Ⅲ)解:三棱锥 B1 ? A1EF 的体积的取值范围是 [ , ] . 3 3

8

18. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:因为“购买基金”后,投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种 且三种投资结果相互独立,

1 所以 p + + q =1. 3
又因为 p = 所以 q =

……………… 2 分

1 , 2
……………… 3 分

1 . 6

(Ⅱ)解:由“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小, 得 q< 因为

3 , 8
1 p + + q =1, 3

……………… 4 分

所以 q =

2 3 7 . - p < ,解得 p > 3 8 24

……………… 7 分

又因为 p + 所以 p≤ 所以

1 + q = 1 , q≥0 , 3

2 . 3
………… 8 分

7 2 < p≤ . 24 3

(Ⅲ)解:记事件 A 为 “一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利” , ………… 9 分 用 a ,b ,c 分别表示一年后张师傅购买基金“获利” 、 “不赔不赚” 、 “亏损” ,用 x , y , z 分 别表示一年后李师傅购买基金“获利” 、 “不赔不赚” 、 “亏损” , 则一年后张师傅和李师傅购买基金,所有可能的投资结果有 3 ? 3 ? 9 种, 它们是:

( a, x ) , (a, y) , (a, z ) , (b, x) , (b, y ) , (b, z ) , (c, x) , (c, y ) , (c, z ) ,


……………10

所以事件 A 的结果有 5 种,它们是: ( a, x ) , (a, y) , ( a, z ) , (b, x) , (c, x) . …………… 11 分

9

因此这一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利的概率 P( A) ?

5 . ………13 分 9

19. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:因为椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1, 16 12
………………2 分 ………………3 分

所以 a ? 4 , b ? 2 3 , c ? a2 ? b2 ? 2 ,

c 1 ? ,| FA |? 2 , | AP |? m ? 4 . a 2 | FA | 2 1 因为 ? ? , | AP | m ? 4 2
则 e? 所以 m ? 8 . (Ⅱ)解:若直线 l 的斜率不存在,则有 S1 ? S 2 ,不合题意.

………………5 分 ……6 分

若直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) , M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) .

? x2 y2 ? ? 1, 由 ? ? 16 12 ? ? y ? k ( x ? 2),
得 (4k 2 ? 3) x2 ?16k 2 x ? 16k 2 ? 48 ? 0 , 可知 ? ? 0 恒成立,且 x1 ? x2 ? ……………… 7 分

16k 2 ? 48 16k 2 , . ……………… 8 分 x x ? 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 1 1 因为 ?PMF 和 ?PNF 的面积分别为 S1 ? | PF | ? | y1 | , S 2 ? | PF | ? | y2 | , 2 2
所以

S1 | y1 | y ? ? ? 1 ? 2. S 2 | y2 | y2

……………… 9 分

即 y1 ? ?2 y2 .
2 所以 y1 ? y2 ? ? y2 , y1 y2 ? ?2 y2 ? ?2( y1 ? y2 )2 ,

……………… 11 分

则 k ( x1 ? 2) ? k ( x2 ? 2) ? ?2[k ( x1 ? 2) ? k ( x2 ? 2)]2 , 即 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? ?2( x1 ? x2 ? 4) 2 ,

16k 2 ? 48 16k 2 16k 2 ? 2 ? ? 4 ? ? 2 ( ? 4) 2 , 2 2 2 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3 5 解得 k ? ? . 2


……………… 13 分
10

所以直线 l 的方程为 y ?

5 5 ( x ? 2) 或 y ? ? ( x ? 2) . 2 2

……… 14 分

20. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:结论:当 a ? ?1 , b ? 0 时,函数 f ( x) 和 g ( x) 不相切. 理由如下: 由条件知 f ( x) ? ? x2 , 由 g ( x) ? ln x ,得 x ? 0 , 又因为 f ?( x) ? ?2 x , g ?( x) ? 1 , x 所以当 x ? 0 时, f ?( x) ? ?2 x ? 0 , g ?( x) ? 1 ? 0 , x 所以对于任意的 x ? 0 , f ?( x) ? g ?( x) . 当 a ? ?1 , b ? 0 时,函数 f ( x) 和 g ( x) 不相切. (Ⅱ)解:若 a ? b ,则 f ?( x) ? 2ax ? a , g ?( x) ? 设切点坐标为 ( s, t ) ,其中 s ? 0 , 由题意,得 as 2 ? as ? ln s , ① ② ……………4 分 …………3 分 …………2 分 …………………1 分

1 , x

2as ? a ?
由②,得 a ?

1 , s

1 , s (2 s ? 1) s ?1 代入①,得 ? ln s . 2s ? 1 1 ? 0 ,且 s ? 0 , 因为 a ? s(2s ? 1)
所以 s ?

(*)

…………………5 分

1 . 2

x ?1 1 ? ln x , x ? ( , ??) , 2x ?1 2 ?(4 x ? 1)( x ? 1) 则 F ?( x) ? . x(2 x ? 1) 2 1 令 F ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 或 x ? (舍). 4
设函数 F ( x ) ?

…………………6 分 …………………7
11

分 当 x 变化时, F ?( x) 与 F ( x) 的变化情况如下表所示,

x
F ?( x)

1 ( ,1) 2

1 0

(1, ??)

?


?
↘ …………………8 分

F ( x)

1 所以当 x ? 1 时, F ( x) 取到最大值 F (1) ? 0 ,且当 x ? ( ,1) (1, ??) 时 F ( x) ? 0 . 2
因此,当且仅当 x ? 1 时 F ( x) ? 0 . 所以方程(*)有且仅有一解 s ? 1 . 于是 t ? ln s ? 0 , 因此切点 P 的坐标为 (1, 0) . …………………9 分

(Ⅲ)解:当点 P 的坐标为 ( , ?1) 时,存在符合条件的函数 f ( x) 和 g ( x) ,使得它们在点 P 处相切; …………………11 分

1 e

当点 P 的坐标为 (e2 , 2) 时,不存在符合条件的函数 f ( x) 和 g ( x) ,使得它们在点 P 处 相切. …………13 分

12


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