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2013届高考数学专题训练23 函数、导数与不等式、解析几何、数列型解答题 理


高考专题训练二十三 函数、导数与不等式、解析几何、数列型解答题
班级_______ 姓名_______ 时间:45 分钟 分值:72 分 总得分________

1.(12 分)(2011?成都市高中毕业班第二次诊断性检测)设△ABC 的三内角 A、B、C 所 对应的边长分别为 a、b、c,平面向量 m=(cosA,cosC),n=(c,a),p=

(2b,0),且 m?(n -p)=0. (1)求角 A 的大小; (2)当|x|≤A 时,求函数 f(x)=sinxcosx+sinx

? π? sin?x- ?的值域. 6? ?
解:(1)m?(n-p)=(cosA,cosC)?(c-2b,a) =(c-2b)cosA+acosC=0 ? (sinC-2sinB)cosA+sinAcosC=0? -2sinBcosA+sinB=0. 1 π ∵sinB≠0,∴cosA= ? A= . 2 3

? π? 1 (2)f(x)=sinxcosx+sinxsin?x- ?= sinxcosx 6? 2 ?
+ 3 2 1 3 1-cos2x 3 1 sin x= sin2x+ ? = + sin2x- 2 4 2 2 4 4

π? 3 3 1 ? cos2x= + sin?2x- ?. 3? 4 4 2 ? π π π π π ∵|x|≤A,A= ,∴- ≤x≤ ? -π ≤2x- ≤ . 3 3 3 3 3 π? π? 3 3-2 3 1 ? 3 ? ∴-1≤sin?2x- ?≤ ? ≤ + sin?2x- ?≤ . 3? 2 3? 2 4 4 2 ? ? ∴函数 f(x)的值域为[ 3-2 3 , ]. 4 2

2.(12 分)(2011?正定)如图,在多面体

ABCDEF 中,四边形 ABCD 是正方形,AB=2EF
=2, EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°,BF=FC,

H 为 BC 的中点.
(1)求证:FH∥平面 EDB; (2)求证:AC⊥平面 EDB; (3)求四面体 B—DEF 的体积.

1

分析:本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直、体积的计算等基础知识,同时考 查空间想象能力与推理论证能力. 解:

(1)证明:设 AC 与 BD 交于点 G,则 G 为 AC 的中点.连接 EG、GH,由于 H 为 BC 的中点, 1 故 GH 綊 AB. 2 1 又 EF 綊 AB,∴EF 綊 GH, 2 ∴四边形 EFHG 为平行四边形, ∴EG∥FH,而 EG? 平面 EDB,∴FH∥平面 EDB. (2)证明:由四边形 ABCD 为正方形,有 AB⊥BC. 又 EF∥AB,∴EF⊥BC.而 EF⊥FB,∴EF⊥平面 BFC,∴EF⊥FH, ∴AB⊥FH.又 BF=FC,H 为 BC 的中点,∴FH⊥BC. ∴FH⊥平面 ABCD. ∴FH⊥AC.又 FH∥EG,∴AC⊥EG.又 AC⊥BD,EG∩BD=G, ∴AC⊥平面 EDB. (3)∵EF⊥FB,∠BFC=90°,∴BF⊥平面 CDEF. ∴BF 为四面体 B-DEF 的高. ∵BC=AB=2,∴BF=FC= 2.又 EF=1, 1 1 1 ∴VB-DEF= ? ?1? 2? 2= . 3 2 3 3.(12 分)(2011?预测题)小王参加一次比赛,比赛共设三关,第一、二关各有两个必 答题,如果每关两个问题都答对,可进入下一关,第三关有三个问题,只要答对其中两个问 题,则闯关成功.每过一关可一次性获得价值分别为 1000 元,3000 元,6000 元的奖品(不 4 3 2 重复得奖),小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为 , , ,且每个问题回答正确与 5 4 3 否相互独立. (1)求小王过第一关但未过第二关的概率; (2)用 X 表示小王所获得奖品的价值,写出 X 的概率分布列,并求 X 的数学期望.
2

解:(1)设小王过第一关但未过第二关的概率为 P1,

?4? ?1 3 1? 7 则 P1=? ? ? + ? ?= . ?5? ?4 4 4? 25
(2)X 的取值为 0,1000,3000, 6000, 1 4 1 9 则 P(X=0)= + ? = , 5 5 5 25

2

?4? ?1 3 1? 7 P(X=1000)=? ? ? + ? ?= , ?5? ?4 4 4? 25
P(X=3000)
2 2

2

?4? ?3? ? ?2?2 1?2?2 1? 7 =? ? ? ? ?1-? ? -C2? ? ? ?= , ?3? 3? 75 ?5? ?4? ? ?3?
P(X=6000)
2 2

?4? ?3? ??2?2 1?2?2 1? 4 =? ? ? ? ?? ? +C2? ? ? ?= , ?3? 3? 15 ?5? ?4? ??3?
∴X 的概率分布列为

X P

0 9 25

1000 7 25

3000 7 75

6000 4 15

9 7 7 4 ∴X 的数学期望 E(X)=0? +1000? +3000? +6000? =2160. 25 25 75 15 4. 分)(2011?天津卷)已知 a>0, (12 函数 f(x)=lnx-ax , >0.(f(x)的图象连续不断) x (1)求 f(x)的单调区间; 1 ?3? (2)当 a= 时,证明:存在 x0∈(2,+∞),使 f(x0)=f? ?; 8 ?2? ln3-ln2 (3)若存在均属于区间[1,3]的 α , , β -α ≥1, f(α )=f(β ), β 且 使 证明: 5 ln2 ≤a≤ . 3
2

分析:本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零 点等基础知识,考查运算能力、分类讨论的思想、分析解决问题的能力.

3

1 1-2ax 2a 解:(1)f′(x)= -2ax= ,x∈(0,+∞).令 f′(x)=0,解得 x= . x x 2a 当 x 变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:

2

x f′(x) f(x)

2a? ? ?0, ? 2a ? ? + ??

2a 2a 0 极大值

? 2a ? ? ,+∞? ? 2a ?
- ??

所以,f(x)的单调递增区间是?0,

? ?

2a? ? 2a ? ?,f(x)的单调递减区间是? ,+∞?. 2a ? 2a ? ?

1 1 2 (2)证明:当 a= 时,f(x)=lnx- x ,由(1)知 f(x)在(0,2)内单调递增,在(2,+∞) 8 8 内单调递减.

?3? ?3? 令 g(x)=f(x)-f? ?.由于 f(x)在(0,2)内单调递增, 故 f(2)>f? ?,即 g(2)>0. ?2? ?2?
3 41-9e 取 x′= e>2,则 g(x′)= <0. 2 32
2

?3? 所以存在 x0∈(2,x′),使 g(x0)=0,即存在 x0∈(2,+∞),使 f(x0)=f? ?.(说明: ?2?
x′的取法不唯一,只要满足 x′>2,且 g(x′)<0
即可.) (3)证明:由 f(α )=f(β )及(1)的结论知 α < 2a <β ,从而 f(x)在[α ,β ]上的最小 2a

值为 f(α ),又由 β -α ≥1,α ,β ∈[1,3],知 1≤α ≤2≤β ≤3. 故?
? ?f? ? f? ?

2? ≥f? α ?

≥f? 1? ,

2? ≥f? β ? ≥f? 3? .

? ?ln2-4a≥-a, 即? ?ln2-4a≥ln3-9a. ?

ln3-ln2 ln2 从而 ≤a≤ . 5 3 5.(12 分)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= 形的面积为 4. (1)求椭圆的方程; (2)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A,B,已知点 A 的坐标为(-a,0),点 Q(0,y0) → → 在线段 AB 的垂直平分线上,且QA?QB=4.求 y0 的值. 分析:本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识,

x2 y2 a b

3 ,连接椭圆的四个顶点得到的菱 2

4

考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想,考查运算能力和推理能力. 解:(1)由 e= =
2 2 2

c a

3 2 2 ,得 3a =4c , 2

再由 c =a -b ,得 a=2b. 1 由题意可知 ?2a?2b=4,即 ab=2. 2 解方程组?
? ?a=2b, ?ab=2, ?

得 a=2,b=1.

所以椭圆的方程为 +y =1. 4

x2

2

(2)由(1)可知 A(-2,0),设 B 点的坐标为(x1,y1),直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方 程为 y=k(x+2).

?y=k? x+2? , ? 于是 A,B 两点的坐标满足方程组?x2 2 ? 4 +y =1. ?
由方程组消去 y 并整理,得 (1+4k )x +16k x+(16k -4)=0. 16k -4 由-2x1= 2 ,得 1+4k
2 2 2 2 2

x1=

2-8k 4k 2,从而 y1= 2. 1+4k 1+4k

2

设线段 AB 的中点为 M,则 M 的坐标为

?- 8k 2, 2k 2?. ? 1+4k 1+4k ? ? ?
以下分两种情况: → ①当 k=0 时,点 B 的坐标为(2,0),线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,于是QA=(-2,- → → →

2

y0),QB=(2,-y0).由QA?QB=4,得 y0=±2 2.
②当 k≠0 时,线段 AB 的垂直平分线的方程为 8k ? 2k 1? y- 2?. 2=- ?x+ 1+4k k? 1+4k ? 6k 令 x=0,解得 y0=- 2. 1+4k → → 由|QA|=(-2,-y0),QB=(x1,y1-y0),
5
2



→ QA?QB=-2x1-y0(y1-y0) = -2?
2 6k ? 2-8k ? 6k ? 4k + 2+ 2 2 2? 1+4k 1+4k ? 1+4k 1+4k ? ?



4?

16k +15k -1? =4, 2 2 ? 1+4k ?
2

4

2

整理得 7k =2,故 k=±

14 2 14 ,所以 y0=± . 7 5

2 14 综上,y0=±2 2或 y0=± . 5 6.(12 分)(2011?湖北卷)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足:a1=a(a≠0),an+1 =rSn(n∈N ,r∈R,r≠-1). (1)求数列{an}的通项公式; (2)若存在 k∈N ,使得 Sk+1,Sk,Sk+2 成等差数列,试判断:对于任意的 m∈N ,且 m≥2,
* * *

am+1,am,am+2 是否成等差数列,并证明你的结论.
分析:本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识,同时考查推理论证能力,以及 特殊与一般的思想. 解:(1)由已知 an+1=rSn,可得 an+2=rSn+1,两式相减可得

an+2-an+1=r(Sn+1-Sn)=ran+1,即 an+2=(r+1)an+1,又 a2=ra1=ra,所以当 r=0 时,
数列{an}为:a,0,…,0,…; 当 r≠0,r≠-1 时,由已知 a≠0,所以 an≠0(n∈N ), 于是由 an+2=(r+1)an+1,可得
*

an+2 * =r+1(n∈N ), an+1

∴a2,a3,…,an,…成等比数列, ∴当 n≥2 时,an=r(r+1)
n-2

a.
? ?a,n=1, ? r? ?

综上,数列{an}的通项公式为 an=?
*

r+1?

n-2

a,n≥2.

(2)对于任意的 m∈N ,且 m≥2,am+1,am,am+2 成等差数列,证明如下:

? ?a,n=1, 当 r=0 时,由(1)知,an=? ? ?0,n≥2.

∴对于任意的 m∈N ,且 m≥2,am+1,am,am+2 成等差数列. 当 r≠0,r≠-1 时,∵Sk+2=Sk+ak+1+ak+2,Sk+1=Sk+ak+1.若存在 k∈N ,使得 Sk+1,
*

*

Sk,Sk+2 成等差数列,则 Sk+1+Sk+2=2Sk,

6

∴2Sk+2ak+1+ak+2=2Sk,即 ak+2=-2ak+1. 由(1)知,a2,a3,…,am,…的公比 r+1=-2,于是 对于任意的 m∈N ,且 m≥2,am+1=-2am,从而 am+2=4am, ∴am+1+am+2=2am,即 am+1,am,am+2 成等差数列. 综上,对于任意的 m∈N ,且 m≥2,am+1,am,am+2 成等差数列.
* *

7


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