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2012高三数学一轮复习单元练习题:解析几何


2012 高三数学一轮复习单元练习题:解析几何
第Ⅰ卷 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的 括号内(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分). 1.圆 2x +2y =1 与直线 xsinθ +y-1=0(θ ∈R,θ ≠
2 2

?
2

/>+kπ ,k∈Z)的位置关系是(



A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定的 2.下列方程的曲线关于 x=y 对称的是 ( ) 2 2 2 2 A.x -x+y =1 B.x y+xy =1 2 2 C.x-y=1 D.x -y =1 3.设动点 P 在直线 x=1 上,O 为坐标原点.以 OP 为直角边,点 O 为直角顶点作等腰 Rt△OPQ,则动点 Q 的轨迹是 ( ) A.圆 B.两条平行直线 C.抛物线 D.双曲线 4.已知双曲线
x a
3 2
2 2

? y

2

? 1 ( a ? 0 ) 的一条准线为 x ?

3 2

,则该双曲线的离心率为 (



A.

B.

3 2

C.

6 2

D.

2 3 3

5.当θ 是第四象限时,两直线 x sin ? ? y 1 ? cos ? ? a ? 0 和 x ? y 1 ? cos ? ? b ? 0 的位置关系是 A.平行
2

B.垂直

( ) C.相交但不垂直

D.重合 ( )

6.抛物线 x ? 4 y 上一点 A 的纵坐标为 4,则点 A 与抛物线焦点的距离为 A.2 B.3
2 2

C.4

D.5 ( )

7.设直线 l 过点 ( ? 2 , 0 ) ,且与圆 x ? y ? 1 相切,则 l 的斜率是
1 2
3 3

A. ? 1

B. ?

C. ?

D. ?

3

8.设直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 关于原点对称的直线为 l ? ,若 l ? 与椭圆 x ?
2

y

2

? 1 的交点为 A、B、 ,点 P 为椭

4

圆上的动点,则使 ? P A B 的面积为 A.1 B.2

1 2

的点 P 的个数为 C.3

( D.4



9.直线 y ? x ? 3 与曲线 A.1

y

2

?

xx 4

? 1 的公共点的个数是

( D.4



9

B.2

C.3
2 2

10.已知 x,y 满足 ( x ? y ? 1)( x ? y ) ? 0 ,则 ( x ? 1) ? ( y ? 1) 的最小值是
1 2





A.0 11.已知 P 是椭圆 x
2

B.
y
2

C.

2 2

D.2
1 4

?

? 1 上的点,Q、R

分别是圆 ( x ? 4 ) 2

? y

2

?

和圆 ( x ? 4 ) ? y
2

2

?

1 4

上的点,则

25

9

|PQ|+|PR|的最小值是 A. 89 B. 85
2

( C.10
2



D.9
2

12.动点 P(x,y)是抛物线 y=x -2x-1 上的点,o 为原点,op 当 x=2 时取得极小值,求,op 的最小值 ( ) A.
6 ? 11 3 4

B.

11 ? 6 3 4

C.

11 ? 6 3 4

D.

6 ? 11 3 4

第Ⅱ卷 二、填空题:请把答案填在题中横线上(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分). 13.将直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 绕原点逆时针旋转 9 0 ? 所得直线方程是 14.圆心为(1,2)且与直线 5 x ? 12 y ? 7 ? 0 相切的圆的方程为_____________. 15.已知⊙M: x ? ( y ? 2 ) ? 1, Q 是 x 轴上的动点,QA,QB 分别切⊙M 于 A,B 两点,求动弦 AB 的中点 P
2 2

.

的轨迹方程为 16.如图把椭圆
x
2

.
? y
2

? 1 的长轴 AB 分成 8 分,过每个

25

16

作x轴的垂线交椭圆的上半部分于 P1 , P2 ,…… P7 七个点, F 是椭圆的一个焦点,则 P1 F ? P2 F ? ...... ? P7 F ? ______. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 个大题,共 74 分)。 17.12 分) ( 设直线 y ? kx ? 1 与圆 x ? y ? kx ? my ? 4 ? 0 交于 M , N 两点, M , N 关于直线 x ? y ? 0 且
2 2

? kx ? y ? 1 ? 0 ? 对称,求不等式组 ? kx ? my ? 0 表示平面区域的面积. ?y ? 0 ?

18. (12 分)已知点 P 到两个定点 M(-1,0) N(1,0)距离的比为 2 ,点 N 到直线 PM 的距离为 1.求 、 直线 PN 的方程. 2 2 19. (12 分)已知直角坐标平面上点 Q(2,0)和圆 C:x +y =1,动点 M 到圆 C 的切线长与|MQ|的比等于常 数λ (λ >0).求动点 M 的轨迹方程,说明它表示什么曲线. 20. (12 分)设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) 两点在抛物线 y ? 2 x 上, l 是 AB 的垂直平分线,
2

(I)当且仅当 x 1 ? x 2 取何值时,直线 l 经过抛物线的焦点 F?证明你的结论; (II)当 x 1 ? 1, x 2 ? ? 3 时,求直线 l 的方程. 21. (12 分)已知动圆过定点 P(1,0) ,且与定直线 l:x=-1 相切,点 C 在 l 上. (I)求动圆圆心的轨迹 M 的方程; (II)设过点 P,且斜率为- 3 的直线与曲线 M 相交于 A、B 两点. (i)问:△ABC 能否为正三角形?若能,求点 C 的坐标;若不能,说明理由; (ii)当△ABC 为钝角三角形时,求这种点 C 的纵坐标的取值范围.

22. (14 分)已知椭圆 C :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的离心率为

6 3

,F 为椭圆在 x 轴正半轴上的焦点,M、

N 两点在椭圆 C 上,且 MF ? ? FN ( ? ? 0 ) ,定点 A(-4,0). (I)求证:当 ? ? 1 时 MN ? AF ; (II)若当 ? ? 1 时有 AM ? AN ?
106 3

,求椭圆 C 的方程; 是否有最大

(III)在(2)的条件下,当 M、N 两点在椭圆 C 运动时,试判断 AM ? AN ? tan ? MAN

值,若存在求出最大值,并求出这时 M、N 两点所在直线方程,若不存在,给出理由.

参考答案(4) 一、选择题 1.C;2.B;3.B;4.A;5.B;6.D;7.D;8.B;9.C;10.B;11.D;12.C. 二、填空题 13. 2 x ? y ? 2 ? 0 ; 15. x ? ( y ?
2

14. ( x ? 1) ? ( y ? 2 ) ? 4 ;
2 2

7 4

)

2

?

1 16

( y ? 2 ). ;

16.35.

三、解答题 17 . 解 : 由 题 意 直 线 y ? kx ? 1 与 圆 x ? y ? kx ? my ? 4 ? 0 交 于 M , N 两 点 , 且 M , N 关 于 直 线
2 2

x ? y ? 0 对称,则 y ? kx ? 1 与 x ? y ? 0 两直线垂直,可求出 k , m ,又不等式组所表示的平面区域

应用线性规划去求,易得面积为

1 4


| PM | | PN | ?

18.解:设点 P 的坐标为(x,y) ,由题设有

2,

即 ( x ? 1) ? y
2
2 2

2

?

2?

( x ? 1) ? y
2

2



整理得 x +y -6x+1=0. ① 因为点 N 到 PM 的距离为 1,|MN|=2, 所以∠PMN=30°,直线 PM 的斜率为±
3 3



直线 PM 的方程为 y=±

3 3
2

(x+1) .②

将②式代入①式整理得 x -4x+1=0. 解得 x=2+ 3 ,x=2- 3 . 代入②式得点 P 的坐标为(2+ 3 ,1+ 3 )或(2- 3 ,-1+ 3 )(2+ 3 ,-1- 3 )或 ; (2- 3 ,1- 3 ) . 直线 PN 的方程为 y=x-1 或 y=-x+1. 19.如图 7—15,设直线 MN 切圆于 N,则动点 M 组成的集合是:P={M||MN|=λ |MQ|}, >0 为常数)因为 (λ 2 2 2 2 圆的半径|ON|=1,所以|MN| =|MO| -|ON| =|MO| -1. 设点 M 的坐标为(x,y) ,则
2 2 2

x ? y ?1 ? ?
2 2
2 2

( x ? 2) ? y
2

2

整理得(λ -1) x +y )-4λ x+(1+4λ )=0 ( 当λ =1 时,方程化为 x=
5 4

,它表示一条直线,该直线与 x 轴垂直,交 x 轴于点(

5 4

,0) ;

2 2 2 1 ? 3? 2 2 1 ? 3? 当λ ≠1 时,方程化为(x- 2 ? ) +y = 2 它表示圆心在( 2 ? ,0) ,半径为 的圆. 2 2 2 |? ?1| ? ?1 ? ?1 ( ? ? 1)

2

2 20.解: (1)∵抛物线 y ? 2 x ,即 x ?
2

y 2

,? p ?

1 4



∴焦点为 F (0, )
8

1

直线 l 的斜率不存在时,显然有 x 1 ? x 2 ? 0 直线 l 的斜率存在时,设为 k,截距为 b 即直线 l :y=kx+b,由已知得:
? ? ? ? ? ? ?

y

?
1

y y x

2

? k? ?

x

1

? 2

x
1 k

2

?b

2
1 1

y x

2 2

?

? ?

2 2 ? 2 x1 ? 2 x 2 ? k ? x1 ? x 2 ? b ? 2 2 ? ? ? 2 2 ? 2 x1 ? 2 x 2 ? ? 1 ? k x1 ? x 2 ?

? 2 2 x1 ? x 2 ? b ? x1 ? x 2 ? k ? ? 2 ? ? 1 ? x 1 ? x 2 ? ? 2k ? ?
?

x

2 1

?

x

2 2

? ?

1 4

?b? 0 ? b?

1 4

即 l 的斜率存在时,不可能经过焦点 F (0, ) .
8

1

所以当且仅当 x 1 ? x 2 =0 时,直线 l 经过抛物线的焦点 F. (2)当 x 1 ? 1, x 2 ? ? 3 时,直线 l 的斜率显然存在,设为 l :y=kx+b 则由(1)得:
? 2 2 x1 ? x 2 ? b ?x1 ? x 2 ? k ? ? 2 ? 1 ? x 1 ? x 2 ? ? 2k ? ?

? ?k ? ? ? ? ? ? ?

x

1

? 2

x
1

2

? b ? 10

?

? ?2

2k

1 ? k ? ? ? 4 ? ? 41 ?b ? ? ? 4

所以,直线 l 的方程为 y ?

1 4

x?

41 4

,即 x ? 4 y ? 4 1 ? 0 . 的抛物线, 所

21. (1)解法一,依题意,曲线 M 是以点 P 为焦点,直线 l 为准线 2 以曲线 M 的方程为 y =4x. 解法二:设 M(x,y) ,依题意有|MP|=|MN|, 所以|x+1|= ( x ? 1) ? y .化简得:y =4x.
2 2
2

(2) i)由题意得,直线 AB 的方程为 y=- 3 (x-1). ( 由? ?
? y ? ? 3 ( x ? 1), ? y ? 4 x. ?
2

消 y 得 3x -10x+3=0, 图 7—12

2

解得 x1=

1 3

,x2=3.

16 所以 A 点坐标为( 1 , 2 3 ) B 点坐标为(3,-2 3 ) AB|=x1+x2+2= , ,| . 3 3 3

假设存在点 C(-1,y) ,使△ABC 为正三角形,则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|,即
16 2 ? 2 2 ? ( 3 ? 1) ? ( y ? 2 3 ) ? ( 3 ) , ? ? 1 2 2 16 2 ? ( ? 1) 2 ? ( y ? ) ?( ) . ? 3 3 3 ?

① ②

由①-②得 4 +(y+2 3 ) =( 解得 y=- 14
9 3

2

2

4 3

) +(y- 2
3

2

3

),

2

.

但 y=-

14 9

3

不符合①,

所以由①,②组成的方程组无解. 因此,直线 l 上不存在点 C,使得△ABC 是正三角形.
? y ? ? 3 ( x ? 1), (ii)解法一:设 C(-1,y)使△ABC 成钝角三角形,由 ? 得 y=2 3 , ? x ? ?1.

即当点 C 的坐标为(-1,2 3 )时,A、B、C 三点共线,故 y≠2 3 .
2

又|AC| =(-1-

1 3

) +(y-

2

2 3 3

)=

2

28 9
2

?

4 3y 3

+y ,

2

|BC| =(3+1) +(y+2 3 ) =28+4 3 y+y , |AB| =(
2

2

2

2

16 3

)=

2

256 9

.

当∠CAB 为钝角时,cosA= 即|BC| >|AC| +|AB| ,即
28 ? 4 3 y ? y ?
2
2 2 2

| AB | ? | AC | ? | BC |
2 2

2

2 | AB | ? | AC |

<0.

28 9

?

4 3 3

y? y ?
2

256 9

,即

y>

2 9

3 时,∠CAB 为钝角.
2 2 2

当|AC| >|BC| +|AB| ,即
28 9
2

?

4 3 3

y ? y ? 28 ? 4 3 y ? y ?
2 2

256 9

,即 y<-

10 3

3 时,∠CBA 为钝角.

又|AB| >|AC| +|BC| ,即

2

2

256 9

?

28 9

?

4 3y 3

? y ? 28 ? 4 3 y ? y ,
2 2

即y ?
2

4 3

3y ?

4 3

? 0, ( y ?

2 3

) ? 0.
2

该不等式无解,所以∠ACB 不可能为钝角. 因此,当△ABC 为钝角三角形时,点 C 的纵坐标 y 的取值范围是
y?? 10 3 3 或y ? 2 3 9 (y ? 2 3).

解法二:以 AB 为直径的圆的方程为(x-
5 2 3

5 3

) +(y+ 2 3 ) =(
2 2

8 3

).

2

3

圆心( , ?
3

3 )到直线 l:x=-1 的距离为 8 ,
3
3 3

所以,以 AB 为直径的圆与直线 l 相切于点 G(-1,- 2

).

当直线 l 上的 C 点与 G 重合时,∠ACB 为直角,当 C 与 G 点不重合,且 A、B、C 三点不共线时,∠ACB 为锐角,即△ABC 中,∠ACB 不可能是钝角. 因此,要使△ABC 为钝角三角形,只可能是∠CAB 或∠CBA 为钝角. 过点 A 且与 AB 垂直的直线方程为 y ? 2 3 ?
3 3 3 (x ? 1 3 ).

令 x=-1 得 y= 2
9

3

.
3 3

过点 B 且与 AB 垂直的直线方程为 y+2 3 ?
10 3

(x-3).

令 x=-1 得 y=-

3.

又由 ?

? y ? ? 3 ( x ? 1), ? x ? ?1.

解得 y=2 3 ,

所以,当点 C 的坐标为(-1,2 3 )时,A、B、C 三点共线,不构成三角形. 因此,当△ABC 为钝角三角形时,点 C 的纵坐标 y 的取值范围是 y<- 10 3 或 y> 2
3
9 3

(y≠2 3 ). 22. (1)设 M ( x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 ), F ( c , 0 ) ,则 MF ? ( c ? x 1 , ? y 1 ), NF ? ( x 2 ? c , y 2 ) , 当 ? ? 1 时, MF ? FN ,? ? y 1 ? y 2 , x 1 ? x 2 ? 2 c ,

由 M,N 两点在椭圆上,? x 1 ? a (1 ?
2 2

y1 b

2

2

), x 2 ? a (1 ?
2 2

y2 b

2

2

), ? x 1 ? x 2
2

2

若 x 1 ? ? x 2 ,则 x 1 ? x 2 ? 0 ? 2 c 舍,? x 1 ? x 2
? MN ? ( 0 , 2 y 2 ), AF ? ( c ? 4 , 0 ), ? MN ? AF .


2

(2)当 ? ? 1 时,不妨设 M ( c ,
3 2 c
2

b

2

), N ( c , ?

b

2

), ? AM ? AN ? ( c ? 4 ) ?

b a

4 2

a

a

又a2?

c ,b

2

2

?

,?

5 6

c ? 8 c ? 16 ?
2

106 3



2

? c ? 2 ,椭圆 C 的方程为

x

2

?

y

2

? 1.。

6

2

(3) AM ? AN ? tan ? MAN ? 2 S ? AMN ? | AF || y M ? y N | , 设直线 MN 的方程为 y ? k ( x ? 2 ), ( k ? 0 ) 联立 ? ?
? y ? k ( x ? 2) ? ?1 ? 2 ? 6 x
2

y

2

,得 (1 ? 3 k ) y ? 4 ky ? 2 k
2 2

2

? 0,

?| y M ? y N | ?

24 k

4

? 24 k
2

2

1 ? 3k
2



记t ?

24 k

4

? 24 k
2

1 ? 3k
24 ? (

, s ? 1 ? 3k
s ?1 3

2



s ?1 3 s

) ?(
2

) ?

则t ?
?t ?

2 6 3

? 1?

1 s

?

2 s
2

3 ,当 s ? 4 ,即 k ? ? 1 时取等号 .

并且,当 k=0 时 AM ? AN ? tan ? MAN ? 0 , 当 k 不存在时 | y M ? y N |?
2 6 3 ?

3

综上 AM ? AN ? tan ? MAN 有最大值,最大值为 6 3 此时,直线的 MN 方程为 x ? y ? 2 ? 0 ,或 x ? y ? 2 ? 0 。


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