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2.4.2抛物线的简单几何性质


8 四川省南部中学高中数学新课标人教 A 版选修 1-1/2-1 第二章文理科实验班导学案

§2.4.2
合作探究案

抛物线的简单几何性质(一)

一、学习目标 学习目标:1、掌握抛物线的简单几何性质,并正确地画出它的图形; 2、根据几何条件求出抛物线的标准方程; 学习重点:抛物线的简单几何性质


一.复习旧知
1. ____________________________________________________________________叫做抛物线; _______________叫做抛物线的焦点,________________叫做抛物线的准线;焦点在 x 轴上抛 物 线 的 标 准 方 程 为 _________________ , 其 焦 点 坐 标 为 __________ , 准 线 方 程 为 ________________,其中 p 的几何意义为________________.
p ? 为焦点的抛物线的标准方程为______________,准线方程为________________; 2. 以 ? 0? ? , ?2 ? p ? 为焦点的抛物线的标准方程为______________,准线方程为________________; 以? 0? ?? , 2 ? ? p? 以? ? 0, ? 为焦点的抛物线的标准方程为______________,准线方程为________________; ? 2? p? 以? ? 0,- ? 为焦点的抛物线的标准方程为______________,准线方程为_______________. 2? ?

3. 完成下表: 标准方程 y 图 象 O F x y F O x y F O x y O F 焦点坐标 准线方程 p 的几何意义

x

二.探究新知:
抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的简单几何性质
2

? ?) , y ? R 1. 范围: x ?[0,
8

9 四川省南部中学高中数学新课标人教 A 版选修 1-1/2-1 第二章文理科实验班导学案

2. 对称轴:以 ? y 代 y 方程 y 2 ? 2 px( p ? 0) 不变,所以这条抛物线关于 x 轴对称,我们把抛 物线的对称轴叫做抛物线的轴。 3. 顶点:抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点,抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的顶点为 坐标原点. 4. 离心率:抛物线上的点 M 到焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,抛 物线的离心率 e ? 1 . 同理可得其它三种抛物线简单的几何性质。 独立完成抛物线的简单几何性质: 标准 方程 y O F

y O F x

y F O x

y F O x

图 象

x

范 围 焦点 坐标 顶点 坐标 离 心 率 对 称 轴 焦 半 径 准线 方程 p 的几 何意 义 通 径

特别提醒:预习时自主完成教材 P72 的练习 1,2
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10 四川省南部中学高中数学新课标人教 A 版选修 1-1/2-1 第二章文理科实验班导学案

出题角度一 求抛物线的标准方程
例 1(教材 P69 的思考)求顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且经过 M (2, ? 2 2) 的标准 方程。

变式训练: (教材 P73)A 组作业第 4 题

例 2 已知抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆 点到顶点的距离为 5,求抛物线的方程。

x2 y2 ? ? 1 的短轴所在的直线,抛物线的焦 9 16

变式训练 2: 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦, 称为抛物线的通径。 求顶点在原点, 以x轴 为对称轴,且通径的长为 8 的抛物线的标准方程,并指出它的焦点坐标和标准方程。

例 3.已知抛物线 C 的顶点在原点, 焦点 F 在 x 轴的正半轴上, 若抛物线上一动点 P 到 A(2, ) 、 F 两点距离之和的最小值为 4,求抛物线 C 的方程。

3 2

变式训练 3:抛物线的顶点在原点,以 x 轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为 135 的直线,被抛 物线截得的弦长为 8,试求抛物线的方程。

0

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11 四川省南部中学高中数学新课标人教 A 版选修 1-1/2-1 第二章文理科实验班导学案

课堂作业: 1. 抛物线 y ? 4ax2 (a ? 0) 的焦点坐标是( )

1 ? A. ? 0? ? , 4 ? a ?

1 ? B. ? ? 0, ? 16 a? ?

1 ? C. ? ? ? 0, ? 16 a? ?

1 ? D. ? , 0? ? 16 a ? ?

2. 一动圆的圆心在抛物线 y 2 ? 8 x 上, 且动圆恒与直线 x ? 2 ? 0 相切, 则动圆必过定点 ( A. (4,0) B. (2,0) C.(0,2) D. (0,-2)



3. 已知 F 为抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点,定点 Q(2,1)点 P 在抛物线上,要使 PQ ? | PF | 的值 最小,点 P 的坐标为( A. (0,0) )

1 ? B. ? C. D. (2,2) 2,2 1? ? , ?2 ? 4. 已知抛物线型拱桥的顶点到水面 2m 时,水面宽为 8m,当水面升高 1m 后,水面宽为 ____________

?

?

5. 已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) , 过点 ? 2 p, 0? 作直线交抛物线于 A( x1,y1 ) 、B( x2,y2 ) 两点,
2

给出下列结论:① OA ? OB ;② ?AOB 的面积的最小值为 4 p ;③ x1 x2 ? ?4 p2 ,其中正确
2

的结论是__________________.

教材 P73 A 组第 5,6,8 题,B 组第 1,2,3 题做在作业本上

金玉良言:世界上最残忍的不是野兽,不是刽子手,而是时间;因为时间不等人,时间不留情

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12 四川省南部中学高中数学新课标人教 A 版选修 1-1/2-1 第二章文理科实验班导学案

§2.4.2

抛物线的简单几何性质(二)

出题角度二 抛物线的焦点弦
1.抛物线焦点弦的定义:过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点这两点间的线段叫做抛 物线的焦点弦。 2.抛物线焦点弦的性质: 若抛物线的方程为 y2=2px(p>0) ,过抛物线的焦点 F( A(x1,y1) 、B(x2,y2)两点,则 ① y1y2=-p2; p2 ② x1x2= ; 4 ③ |AB|=x1+x2+p; 2p ④ |AB|= 2 (其中θ 为直线的倾斜角) ; sin θ ⑤ 1 1 2 + = ; |AF| |BF| p p ,0)的直线交抛物线与 2

⑥ 过 A、B 两点作准线的垂线,垂足分别为 A/、B/,F 抛物线的焦点,则∠A/FB/=900; ⑦ 以弦 AB 为直径的圆与准线相切。 你能证明吗?

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13 四川省南部中学高中数学新课标人教 A 版选修 1-1/2-1 第二章文理科实验班导学案

例 1(教材 P69 例 4)斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,且与抛物线相交于 A、B 两点,求线段 AB 的长。

变式训练: 已知过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点的直线交抛物线于 A、 B 两点, 且 | AB |? 求 AB 所在的直线方程。

5 p, 2

例 2(教材 P70 例 5)过抛物线焦点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,通过点 A 和抛物线顶点 的直线交抛物线的准线于点 D,求证:直线 DB 平行于抛物线的对称轴。

出题角度三 直线与抛物线的位置关系
一、 直线与抛物线的位置关系 1. 直线与抛物线相切:直线与抛物线有且只有一个公共点,但不平行于抛物线的对称轴。即 把 x=my+n 代入 y2=2px(p>0)消去 x 得:y2-2pmy-2pn=0①,当方程①的判别式 △=0 ? 直线与抛物线相切; 2. 直线与抛物线相交: (1)直线与抛物线只有一个交点:直线与抛物线的对称轴平行; (2)直线与抛物线有两个不同的交点 ? 方程①的判别式△>0; 3. 直线与抛物线相离 ? 方程①的判别式△<0。
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14 四川省南部中学高中数学新课标人教 A 版选修 1-1/2-1 第二章文理科实验班导学案

例 1.已知直线 l 过点 A( ? 程。

3 p,p ) 且与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 只有一个公共点, 求直线 l 的方 2

变式训练 1:已知抛物线的方程为 y 2 ? 4 x ,直线 l 过定点 P(-2,1) ,斜率为 k 。 k 为何值时, 直线 l 与抛物线 y ? 4 x 只有一个公共点;两个公共点;没有公共点?
2

2.中点弦问题 例 3 已知抛物线 y ? 6 x 。
2

(1)求以点 M(4,1)为中点的弦所在直线的方程; (2)求过焦点 F 的弦的中点的轨迹方程; (3)求抛物线被直线 y ? x ? m 截得的弦的中点的轨迹。

变式训练:过点 Q(4, 1) 作抛物线 y ? 8 x 的弦 AB,恰被 Q 平分,求 AB 所在的直线方程。
2

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15 四川省南部中学高中数学新课标人教 A 版选修 1-1/2-1 第二章文理科实验班导学案

出题角度四 与抛物线有关最值问题
例:设 F 是抛物线 G : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点,过点 F 且与抛物线 G 的对称轴垂直的直线被 抛物线 G 截得的线段长为 4. (1)求抛物线 G 的方程; (2)设 A,B 为抛物线 G 上异于原点的两点,且满足 FA ? FB, 延长 AF, BF 分别交抛物 线 G 于点 C,D,求四边形 ABCD 面积的最小值。

变式训练: (1)已知点

P 是抛物线 y ? 4 x 上一点,点 F 为抛物线的焦点,求点 P 到点 A
2

(-1,1)的距离与点 P 到直线 x ? ?1 的距离之和的最小值; (2)求抛物线 y ? 4 x 上一点,使它到直线 l : 4 x ? y ? 5 ? 0 的距离最短,并求此距离。
2

出题角度五 存在性问题
例:已知抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 过点 A(1,-2).
2

(1)求抛物线 C 的方程,并求其标准方程. (2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l ,使得直线 l 与抛物线 C 有公共点,且直线 OA 与 l 的距离等于

5 ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 5
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出题角度六 定点或定值问题
例 1: A、B 是抛物线 y2=2px(p>0)上的两点,且 OA ⊥OB(O 为坐标原点) 求证: (1)A、B 两点的横坐标之积,纵坐标之积分 别都是定值; (2)直线 AB 经过一个定点; (3)求 O 在线段 AB 上的射影 M 的轨迹方程。

y

A P M B

O

x

例1图

变式训练: 抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上有两动点 A,B 及一个定点 M,F 为焦点, 若 AF , MF , BF
2

成等差数列。 (1)求证:线段 AB 的垂直平分线过定点 Q; (2)若 MF ? 4, OQ ? 6 ( o 为坐标原点) ,求抛物线的方程。

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17 四川省南部中学高中数学新课标人教 A 版选修 1-1/2-1 第二章文理科实验班导学案

出题角度七 综合问题
例 1:已知点 A(8,0),B,C 两点分别在 y 轴上和 x 轴上运动,并且满足 AB ? BP ? 0, BC ? CP . (1)求动点 P 的轨迹方程; (2)若过点 A 的直线 l 与动点 P 的轨迹交于 M,N 两点, QM ? QN ? 97 ,其中 Q(-1,0),求直 线 l 的方程.

例 2:已知 m 是非零实数,抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 在直线 l : x ? m y ?

m2 ? 0 上. 2

(1)设 m ? 2 ,求抛物线 C 的方程; (2)设直线 l 与抛物线 C 交于 A,B 两点,过 A,B 分别作抛物线 C 的准线的垂线,垂足为

A1 , B1 , ?AA 1 F , ?BB 1 F 的重心分别为 G,H,求证:对任意非零实数 m ,抛物线 C 的准线与 x 轴的
交点在以线段 GH 为直径的圆外.

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18 四川省南部中学高中数学新课标人教 A 版选修 1-1/2-1 第二章文理科实验班导学案

课后作业: 1. 已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直, l 与 C 交于 A,B 两点, AB ? 12, P 为 C 的准线上一点,则 ?ABP 的面积为( A.18 B.24 ) C.36 D.48 )

2. 已知抛物线 C : y 2 ? 4 x 的焦点为 F,直线 y ? 2 x ? 4 与 C 交于 A,B 两点, cos ?AFB ? ( A

4 5

B

3 5

C

?

3 5

D ?

4 5

3. 设 M ( x0 , y0 ) 为抛物线 C : x 2 ? 8 y 上一点,F 为抛物线 C 的焦点,以 F 为圆心, FM 为半径的 圆和抛物线 C 的准线相交,则 y0 的取值范围是( A.(0,2) B. ?0,2? C. ?2,???
2

) D. ?2,???

4.定长为 3 的线段 AB 的端点 A、 B 在抛物线 y ? x 上移动, 求 AB 中点 M 到 y 轴距离的最小 值,并求此时 AB 中点 M 的坐标。

5. 正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上,求这个正
2

三角形的边长,并求该三角形外接圆的方程。

6. 已知抛物线 y ? ?4 x 的焦点为 F,其准线与轴交于点 M,过点 M 作斜率为 k 的直线 l ,与
2

抛物线交与 A,B 两点,弦 AB 的中点为 P,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于 E( x0 ,0) 。 (1)求 k 的取值范围。 (2)求证: x0 ? ?3 。 (3) ?PEF 能否成为以 EF 为底的等腰三角形?若能,求出此时的 k 值;若不能,请说明理 由。

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19 四川省南部中学高中数学新课标人教 A 版选修 1-1/2-1 第二章文理科实验班导学案

7.M 是抛物线 y 2 ? x 上的一点,动弦 ME,MF 分别交 x 轴于 A,B 两点,且 MA=MB. (1)若 M 为定点,证明:直线 EF 的斜率为定值; (2)若 M 为动点,且 ?EMF ? 90 ,求 ?EMF 的重心 G 的轨迹方程。
0

8.设 A(a,0)(a ? 0), B, C 分别为 x 轴、 y 轴上的点,非零向量 BP 满足 BP ? 2BC, BP ? AC. (1)当点 B 在 x 轴上运动时,求点 P 的轨迹 E 的方程; (2)设 Q 是曲线 E 上异于 P 的点,且 OP ? OQ ? 0 ,求证:直线 PQ 过定点。

金玉良言:世界上最残忍的不是野兽,不是刽子手,而是时间;因为时间不等人,时间不留情

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2.4.2抛物线的简单几何性质教学设计

2 昆明黄冈实验学校 高二理数 《选修 2-1》 2.4.2 抛物线的简单几何性质 教学设计 第3周 2015 年 3 月 16-22 日 问题 2: 类比抛物线 y2=2px (p>0)...

2.4.2抛物线的简单几何性质 教案

课题:抛物线的简单几何性质教学目的: 1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质; 2.能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论,在此基础上列表、描点...

2.4.2抛物线的简单几何性质

2.4.2抛物线的简单几何性质_数学_高中教育_教育专区。8 四川省南部中学高中数学新课标人教 A 版选修 1-1/2-1 第二章文理科实验班导学案 §2.4.2 合作探究案...

2.4.2抛物线的简单几何性质 (1)

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2.4.2抛物线及其简单几何性质

2.4.2 抛物线的简单几何性质一、抛物线的定义: 平面内,到 的距离与到 ( )的距离 的点的轨迹叫做抛物线。定点 F 叫作抛物线的焦点,定直线 l 叫作抛物线的准线...

2014年人教A版选修2-1教案 2.4.2 抛物线的简单几何性质教案

2.4.2 抛物线的简单几何性质一、教学目标 (一)知识教学点 使学生理解并 掌握抛物线的 几何性质, 并能从抛物线的标准方程出发, 推导这些性质. (二)能力训练点 ...

2.4.2抛物线的简单几何性质(2)

定陶县第一中学 高二数学◆选修 1-1&2-1◆导学案 第二章 圆锥曲线与方程 编写: 申峰 校审: 2.4.2抛物线的简单几何性质(2) 学习目标 1.掌握抛物线的几何性...

2.4.2抛物线的简单几何性质(1)

课题§ 2.4.2 抛物线的简单几何性质(1) ※ 学习探究 一、 1、抛物线定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.其中定点 F ...

《2.4.2抛物线的简单几何性质》练习题

2.4.2抛物线的简单几何性质》练习题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。2.4.2 抛物线的简单几何性质 ( ). 1. 经过抛物线 y2=2x 的焦点且平行于直线 3x-2y...