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高中数学 1.2.1任意角的三角函数(二)全册精品教案 新人教A版必修4

时间:2012-04-21


任意角的三角函数( 4-1.2.1 任意角的三角函数(二)
教学目的: 知识目标:1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式; 2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值; 3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。 能力目标:掌握用单位圆中的线段表示三角函数值,从而使学生对三角函数的定义域、值域有 更深的理解。 德育目标:学习转

化的思想,培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神; 教学重点:正弦、余弦、正切线的概念。 教学难点:正弦、余弦、正切线的利用。 教学过程: 一、复习引入: 1. 三角函数的定义 2. 诱导公式

sin(2kπ + α ) = sin α (k ∈ Z) cos(2kπ + α ) = cos α (k ∈ Z) tan(2kπ + α ) = tan α (k ∈ Z)
练习 1.

tan600 o 的值是 ____________ . D
B. 3 3 C. ? 3 D. 3

A. ?

3 3

练习 2.

若 sin θ cos θ > 0, 则θ在 ________ . B
B. 第一、三象限 第一、 D. 第二、四象限 第二、

A. 第一、二象限 第一、 C. 第一、四象限 第一、
练习 3.

若 cos θ > 0,且sin2θ < 0则θ的终边在 ____ C
B. 第三象限 C. 第四象限 D. 第二象限

A. 第一象限
二、讲解新课:

当角的终边上一点 P ( x, y ) 的坐标满足

x 2 + y 2 = 1 时,有三角函数正弦、余弦、正切值的几

何表示——三角函数线。 1.有向线段: 坐标轴是规定了方向的直线,那么与之平行的线段亦可规定方向。 规定:与坐标轴方向一致时为正,与坐标方向相反时为负。 有向线段:带有方向的线段。 2.三角函数线的定义: 设任意角 α 的顶点在原点 O ,始边与 x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与点 P ( x, y ) , 过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M ;过点 A(1, 0) 作单位圆的切线,它与角 α 的终边或其反向延 长线交与点 T .

y

y P

T

P
M

o

A

x

o

A
M

x

1

T

y (Ⅱ) T
M

y (Ⅰ)
M A

o

A

x

o

x

P
(Ⅲ)

P T
(Ⅳ)

由四个图看出: 当角 α 的终边不在坐标轴上时,有向线段 OM = x, MP = y ,于是有

sin α =

y y x x y MP AT = = y = MP , cos α = = = x = OM , tan α = = = = AT r 1 r 1 x OM OA

我们就分别称有向线段 MP, OM , AT 为正弦线、余弦线、正切线。 说明: (1)三条有向线段的位置:正弦线为 α 的终边与单位圆的交点到 x 轴的垂直线段;余弦线在 x 轴 上;正切线在过单位圆与 x 轴正方向的交点的切线上,三条有向线段 中两条在单位圆内,一条在单位圆外。 (2)三条有向线段的方向:正弦线由垂足指向 α 的终边与单位圆的交点;余弦线由原点指向垂 足;正切线由切点指向与 α 的终边的交点。 (3)三条有向线段的正负:三条有向线段凡与 x 轴或 y 轴同向的为正值,与 x 轴或 y 轴反向的 为负值。 (4)三条有向线段的书写:有向线段的起点字母在前,终点字母在后面。 4.例题分析: 例 1.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。

π
(1) ; (2)

3
解:图略。 例 2. 若0 < α <

5π 2π ; (3) ? ; 6 3

(4) ?

13π . 6

π
2

,证明 sin α + cos α > 1.

例3.比较大小: 2 4 (1) sin π与 sin π 3 5 2 4 (3) tan π与 tan π 3 5

2 4 (2) cos π与 cos π 3 5

2

1 例4.在[0,2π ]上满足 sin x ≥ 的x的取值范围是( 2 π? π 5π ? ? ? A. ?0, ? B. ? , ? C. ? 6? ?6 6 ?
例 5. 利用单位圆写出符合下列条件的角 x 的范围.

)
? π 2π ? ? 6 ,3 ? ? ? ? 5π ? D. ? ,π ? ?6 ?

1 (1) sin x < ? ; 2

1 ( 2) cos x > . 2

答案: (1)

7π 11π π π + 2kπ < x < + 2kπ , k ∈ Z ; (2) ? + 2kπ < x < + 2kπ , k ∈ Z ; 6 6 6 6

三、巩固与练习:P17 面练习 四、小 结:本节课学习了以下内容: 1.三角函数线的定义; 2.会画任意角的三角函数线; 3.利用单位圆比较三角函数值的大小,求角的范围。 五、课后作业: 作业 4

参考资料 例 1.利用三角函数线比较下列各组数的大小: 1、 sin

2π 4π 与 sin 3 5

2、 tan

2π 4π 与 tan 3 5

解: 如图可知:

sin

2π 4π > sin 3 5 1 2
y P1 x

tan

2π 4π < tan 3 5

例 2.利用单位圆寻找适合下列条件的 0°到 360°的角 2、 tanα >

1、

sinα≥

3 3
y 2° 30° T o 210° x

解: 1° P2

o 30°≤α≤150°

A

30° < α < 90°或 210° < α < 270° 补充:1.利用余弦线比较 cos 64o , cos 285o 的大小;

π
2.若

3.分别根据下列条件,写出角 θ 的取值范围: (1) cos θ <

4

<θ <

π
2

,则比较 sin θ 、 cos θ 、 tan θ 的大小;

3 ; 2

(2) tan θ > ?1 ;

(3) sin θ > ?

3 . 2
3


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