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平面向量的坐标运算


2.3.3平面向量的坐标运算

2.3.3 平面向量的坐标运算
平面向量的坐标表示 1.在平面内有点A和点B,向量怎样 AB 表示? 2.平面向量基本定理的内容?什么叫基底?

3.分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 能否作
为基底?任一向量a ,用这组基底可表示为 有且只有一对实 y 数x、y,使得 a

=xi + yj. a (x,y)叫做向量a的坐标,记作 a=xi + yj j x

那么i =( 1 , 0 ) j =( 0 , 1 )

O i 0) 0 =( 0 ,

2.3.3 平面向量的坐标运算
概念理解 1.以原点O为起点作 OA ? a ,点A的位置由谁确定? 由a 唯一确定 y

2.点A的坐标与向量a 的坐标的关系? 两者相同
j 向量a
一一对应

A(x, y)

a

a

坐标(x ,y)

O i

x

3.两个向量相等的充要条件,利用坐标如何表示?

a ? b ? x1 ? x2且y1 ? y2

2.3.3 平面向量的坐标运算
例1.如图,用基底i ,j 分别表示向量a、b 、c 、d ,并 求它们的坐标. 解:由图可知
a ? AA1 ? AA2 ? 2i ? 3 j

?  a ? (2,3)
同理, b ? ?2i ? 3 j ? (?2,3) c ? ?2i ? 3 j ? (?2,?3)

d ? 2i ? 3 j ? (2,?3)

2.3.3 平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算 1.已知a ? ( x1 , y1 ),b ? ( x2 , y2 ) ,求a+b,a-b.

解:a+b=( x1i + y1 j ) + ( x2 i + y2 j ) =( x1 + x2 )i+( y1+ y2 )j
即 a + b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

同理可得 a - b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 两个向量和与差的坐标分别等于这两向量想应坐标的和与差

2.3.3 平面向量的坐标运算
2.已知 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ).求 AB 解:AB ? OB ? OA ? ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y2 ) ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 )
A( x1 , y1 )
y
B( x2 , y2 )

O

x

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐 标减去始点的坐标.

?a ? (?x, ?y )
实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相 应坐标.

2.3.3 平面向量的坐标运算
例2.已知a=(2,1),b=(-3,4),求a+b ,a-b,3a+4b的坐标.

解: a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5);

a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3);
3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)

=(6,3)+(-12,16)
=(-6,19)

2.3.3 平面向量的坐标运算
例3. 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为 (-2,1)、( -1,3)、(3,4),求顶点D的坐标. 解:设顶点D的坐标为(x,y)
?  AB ? ( ?1 ? ( ? 2), 3 ? 1) ? (1, 2) DC ? ( 3 ? x ,4 ? y ) 由 AB ? DC,得

(1,2) ? (3 ? x,4 ? y )
1? 3? x ?  ?    ? ?2 ? 4 ? y

?x ? 2 ?? ?y ? 2

?  顶点D的坐标为( 2, 2)


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