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课时作业(20)三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质


课时作业(二十) [第 20 讲 三角函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与性质 及三角函数模型的简单应用]

[时间:45 分钟 分值:100 分] 基础热身 x π 3 1.函数 y= sin?2+6?的振幅是________;周期是________;频率是________;相位是 ? 2 ? ________;初相是________. 2.函数 y=|t

anx|的最小正周期是________. π 3. 为得到函数 y=cos?x+3?的图象, 只需将函数 y=sinx 的图象向左平移________个单位 ? ? 长度. 4.下列函数中,图象的一部分符合图 K20-1 的是________.

π ①y=sin?x+6?; ? ? π ③y=cos?4x-3?; ? ? 能力提升

图 K20-1 π ②y=sin?2x-6?; ? ? π? ④y=cos?2x-6?. ?

π π 5. [2012· 北京东城区调研] f(x)=cos?ωx-6?的最小正周期为 , 其中 ω>0, ω=________. 则 ? ? 5 π 6.函数 y=2sin?2x-3?的对称中心是________;对称轴方程是________;单调增区间是 ? ? ________. 7. [2012· 中山模拟] 把函数 y=sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平行移动 2 012 个单位长 1 度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变),得到的图象所表示的函数 2 是________. π 2 8.已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)的图象如图 K20-2 所示,f?2?=- ,则 f(0)=________. ? ? 3

图 K20-2 9. [2011· 苏北四县市二模] 一个匀速旋转的摩天轮每 12 min 转一周, 最低点距地面 2 m, 最高点距地面 18 m,P 是摩天轮轮周上一定点,从 P 在最低点时开始计时,则 16 min 后 P 点 距地面的高度是________ m. 4π 10. 如果函数 y=3cos(2x+φ)的图象关于点? 3 ,0?中心对称, 那么|φ|的最小值为________. ? ? 4 4 11.下列五个命题:①y=sin x-cos x 的最小正周期是 π;②终边在 y 轴上的角的集合是 ? ? ? kπ ?x x= ,k∈Z ?; ③在同一坐标系中, y=sinx 的图象和 y=x 的图象有三个公共点; ④y=sinx ? 2 ? ?

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π π π - 在[0, π]上是减函数; ⑤把 y=3sin?2x+3?的图象向右平移 个单位得到 y=3sin2x 的图象. 其 ? ? 2 6 中真命题的序号是________. π π 12. 将函数 f(x)=2sin?ωx-3?(ω>0)的图象向左平移 个单位, 得到函数 y=g(x)的图象. 若 ? ? 3ω π y=g(x)在?0,4?上为增函数,则 ω 的最大值为________. ? ? 13.如图 K20-3,某地一天从 6 时至 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(ωx+φ) +b(ω>0,|φ|<π). (1)求这段时间的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式.

图 K20-3

x x 14. 用五点作图法画出函数 y= 3sin +cos 的图象, 并说明这个图象是由 y=sinx 的图象 2 2 经过怎样的变换得到的.

15.某港口水的深度 y(m)是时间 t(0≤t≤24,单位:h)的函数,记作 y=f(t),下面是某日 水深的数据: 0 3 6 9 12 15 18 21 24 t时 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 y米 经长期观察,y=f(t)的曲线可以近似地看成函数 y=Asinωx+b 的图象. (1)试根据以上数据,求出函数 y=f(t)的近似表达式; (2)一般情况下, 船舶航行时船底离海底的距离为 5 m 或 5 m 以上时是安全的(船舶停靠时, 船底只需不碰海底即可).某船吃水深度(船底离水面的距离)为 6.5 m,如果该船希望在同一天 内安全进出港,请问,它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时间)?
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π 16.[2012· 温州模拟] 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)?A>0,ω>0,|φ|<2?的一段图象如图 K20-4 ? ? 所示. (1)求 f(x)的解析式; (2)求 f(x)的单调减区间,并指出 f(x)的最大值及取到最大值时 x 的集合; (3)把 f(x)的图象向左至少平移多少个单位,才能使得到的图象对应的函数为偶函数?

图 K20-4

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课时作业(二十) 【基础热身】 3 1 1 π π 1. 4π x+ [解析] 根据函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中的各个量的几何 2 4π 2 6 6 意义、物理意义作结论. 2.π [解答] 函数 y=|tanx|的图象如图:

故函数 y=|tanx|的最小正周期为 π. π π π 5π 5π 5π 3. [解析] 因为 y=sinx=cos?x-2?, y=cos?x+3?=cos?x-2+ 6 ?, ? ? 而 ? ? ? ? 故向左平移 6 个 6 单位长度. 4.④ [解析] 用三角函数图象所反映的周期确定 ω,再由最高点确定函数类型.从而求 π π 得解析式.由图象知 T=4?12+6?=π,故 ω=2,排除①、③. ? ? π π 又当 x= 时,y=1,而②中,当 x= 时,y=0,故选④. 12 12 【能力提升】 2π π 5.10 [解析] T= = ?ω=10. ω 5 kπ π ? π 5π kπ 5π 6.? 2 +6,0?(k∈Z) x= + (k∈Z) ?-12+kπ,12+kπ?(k∈Z) ? ? ? 2 12 π π π [解析] 对称中心的横坐标满足 2x- =kπ(k∈Z);对称轴方程满足 2x- =kπ+ (k∈Z); 3 3 2 π π π 单调递增区间是不等式 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ (k∈Z)的解区间. 2 3 2 7.y=sin(2x+2 012) [解析] y=sinx 向左平移 2 012 个单位长度,y=sin(x+2 012)错误!y =sin(2x+2 012). 2 2π 8. [解析] 由图象可得最小正周期为 , 3 3 2π? 2π π 7π 于是 f(0)=f? 3 ?,又因为 与 关于 对称, ? 3 2 12 2π π 2 所以 f? 3 ?=-f?2?= . ? ? ? ? 3 9.14 [解析] 每 12 min 转一周,故 16 min 转一圈又三分之一周,又圆周半径为 8,故 此时点 P 距离地面高度为 2+8+8×sin30° =14(m). 4π π 4π π 10. [解析] ∵函数 y=3cos(2x+φ)的图象关于点? 3 ,0?中心对称,∴2× +φ=kπ+ ? ? 6 3 2 13π π (k∈Z),∴φ=kπ- (k∈Z),由此易得|φ|min= . 6 6 4 4 2 11.①⑤ [解析] y=sin x-cos x=(sin x-cos2x)(sin2x+cos2x)=-cos2x,故函数的最小 π ? ? 正周期为 π,从而①正确.终边在 y 轴上的角的集合是?x|x=kπ+2,k∈Z?,从而②不正确; ? ? π? 因为当 x∈?0,2?时,sinx<x,故在同一坐标系中,y=sinx 的图象和 y=x 的图象有一个公共 ? π 点,从而③不正确;y=sin ?x-2? 在[0,π]上是增函数,从而④不正确;由于 y=3sin2x= ? ?

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π π 3sin?2?x+6-6??,故⑤正确. ? ? ?? π π 12.2 [解析] 函数 g(x)的解析式为 g(x)=2sin?ω?x+3ω-3ω??=2sinωx.函数 g(x)包含坐 ? ? ?? π π π π 标原点的单调递增区间是 ?-2ω,2ω? .若函数 y=g(x)在 ?0,4? 上为增函数,则 ?0,4? ? ? ? ? ? ? ? π π? π π ?- , ,只要 ≥ ,得 ω≤2.所以 ω 的最大值为 2. ? 2ω 2ω? 2ω 4 13.[解答] (1)由题中图所示,这段时间的最大温差是 30-10=20(℃). (2)图中从 6 时到 14 时的图象是函数 y=Asin(ωx+φ)+b 的半个周期的图象, 1 2π π ∴ · =14-6=8,解得 ω= . 2 ω 8 1 1 由题图知 A= (30-10)=10,b= (30+10)=20. 2 2 π 这时 y=10sin?8x+φ?+20. ? ? 3π 将 x=6,y=10 代入上式,可得 φ= . 4 π 3π 综上,所求曲线的解析式为 y=10sin?8x+ 4 ?+20,x∈[6,14]. ? ? x π 14.[解答] (1)列表:将函数解析式化简为 y=2sin?2+6?,列表如下: ? ? x π + 2 6 x 0 - π 3 π 2 2 π 3 π 5 π 3 3π 2 8 π 3 2π 11 π 3

x π 0 2 0 0 -2 y=2sin?2+6? ? ? π 2π 5π 8π 11π (2)描点:描出点?-3,0?,? 3 ,2?,? 3 ,0?,? 3 ,-2?? 3 ,0?; ? ? ? ? ? ? ? ?? ? (3)连线:用平滑的曲线将这五个点连接起来,最后将其向两端伸展一下,得到图象如下 图.

π π 该图象由 y=sinx 的图象先向左平移 个单位得到 y=sin?x+6?的图象, 再将横坐标伸长为 ? ? 6 x π 原来的 2 倍(纵坐标不标),最后将纵坐标变为原来的 2 倍(横坐标不变),得到 y=2sin?2+6?的 ? ? 图象. 2π 15.[解答] (1)由已知数据,易知函数 y=f(t)的周期 T=12,振幅 A=3,b=10,∴ω= = T 2π π = , 12 6 π ∴y=3sin t+10. 6 (2)由题意,该船进出港时, 水深应不小于 5+6.5=11.5(m), π π 1 ∴3sin t+10≥11.5,∴sin t≥ , 6 6 2

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π π 5π 解得 2kπ+ ≤ t≤2kπ+ (k∈Z), 6 6 6 即 12k+1≤t≤12k+5(k∈Z),在同一天内,取 k=0 或 k=1,∴1≤t≤5 或 13≤t≤17. ∴该船可在当日凌晨 1 时进港,下午 17 时出港,在港口内最多停留 16 个小时. 3 π 15π 16.[解答] (1)由图知 A=3, T=4π- = , 4 4 4 2 2 ∴T=5π,∴ω= ,∴f(x)=3sin?5x+φ?. ? ? 5 8π ∵f(x)的图象过点(4π,-3),∴-3=3sin? 5 +φ?, ? ? 8π π 21π ∴ +φ=2kπ- (k∈Z),∴φ=2kπ- (k∈Z), 5 2 10 2 π π π ∵|φ|< ,∴φ=- ,∴f(x)=3sin?5x-10?. ? ? 2 10 π 2 π 3π (2)由 2kπ+ ≤ x- ≤2kπ+ (k∈Z)得, 2 5 10 2 3π 5kπ+ ≤x≤5kπ+4π(k∈Z), 2 3π ∴函数 f(x)的单调减区间为?5kπ+ 2 ,5kπ+4π?(k∈Z). ? ? 函数 f(x)的最大值为 3,取到最大值时 x 的集合为 ? ? ? 3π ?x x=5kπ+ ,k∈Z ?. 2 ? ? ? 2x π ? (3)解法一:f(x)=3sin? 5 -10? ? 2x 3π π ?2x π ?? =3cos?2-? 5 -10? =3cos? 5 - 5 ? ? ? ? ? 2? 3π?? =3cos?5?x- 2 ? , ? ? 3π 故至少需左移 个单位才能使所对应函数为偶函数. 2 2x π 2 π π 5kπ 3π 解法二:f(x)=3sin? 5 -10?的图象的对称轴方程为 x- =kπ+ ,∴x= + ,当 k ? ? 5 10 2 2 2 3π 3π =0 时,x= ,k=-1 时,x=-π,故至少左移 个单位才能使所对应的函数为偶函数. 2 2 2x π π 3π 解法三:函数 f(x)在原点右边第一个最大值点为 - = ,∴x= ,把该点左移到 y 轴 5 10 2 2 3π 上,需向左平移 个单位. 2

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