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2014届高考数学一轮复习 第10讲《函数的值域与最值》热点针对训练 理


第二单元 函 数 第10讲 函数的值域与最值
1.若函数 f(x)=loga(x+1)(a>0,a≠1)的定义域和值 域都是[0,1],则 a 的值等于 ( D ) A. C. 1 B. 2 3

2 D.2 2 解析:因为 0≤x≤1,所以 1≤x+1≤2, 又 f(x)是单调函数,f(0)=loga1=0, 所以 f(1)=loga2=1,

所以 a=2. 2.函数 f(x)= A.(0,+∞)

x (x>0)的值域为( C ) x +x+1
2

1 B.(0, ) 3 1 1 C.(0, ] D.[ ,+∞) 3 3 1 解析:因为 f(x)= >0, 1 x+ +1

x

1 1 而当 x>0 时,x+ ≥2,x+ +1≥3,

x

x

1 1 1 所以 0< ≤ ,故函数的值域为(0, ],选 C. 1 3 3 x+ +1

x

3.(2012·山东省枣庄市上学期期末)函数 y= 4-2 的值域是( C ) A.[0,+∞) B.[0,2] C.[0,2) D.(0,2) x x x 解析:因为 2 >0,所以 4-2 <4,所以 0≤ 4-2 <2,即值域为[0,2). x 4. 已知函数 f(x)=(2a-1) +log(2a-1)(x+1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为 2a -1,则 a 的值为( B ) 3 A.1 B. 4 1 1 C. D. 2 4 解析:无论 2a-1>1 还是 0<2a-1<1,函数最大值与最小值均在 0 或 1 取得,故(2a 1 0 1 -1) +log(2a-1)1+(2a- 1) +log(2a-1)2=2a-1,即 log(2a-1)2=-1,所以 2a-1= ,即 a 2 3 = . 4 5.函数 y=x+ x-1的最小值为 1 . 解析:函数的定义域为[1,+∞),而它在定义域上递增,所以 y 的最小值是 1.

x

?x1 ? ? 1≤x≤9? 6.(2012·北京市西城区丰台区一模)已知函数 f(x)=? 2 ?x2+x ? -2≤x<1? ?
则函数 f(x)的值域为 1 [- ,3] . 4



1

1 解析:当 1≤x≤9 时,函数 f(x)=x 是增函 数,所以 1≤ f(x)≤3;当-2≤x<1 时, 2 1 2 1 1 1 f(x)=x2+x=(x+ ) - ,所以 f(- )≤f(x)≤f(-2),即- ≤f(x)≤2,所以函数 f(x) 2 4 2 4 1 的值域为[- ,3]. 4 2 2 2 2 7.若实数 x、y 满足 x +4y =4x,则 S =x +y 的取值范围是 [0,16] . 2 -x +4x 2 2 2 解析:(方法一)S=x +y =x + 4 3 2 3 2 2 1 = x +x= (x+ ) - . 4 4 3 3 2 2 又因为 4y =4x-x ≥0,所以 0≤x≤4,所以 0≤S≤16.

(方法二)注意到 x +4y =4x 表示的是一个椭圆,中心是(2,0),长半轴长是 2,且过原 2 2 点;x +y 表示的是椭圆上的点到原点的距离的平方,如右图. 易知 0≤S≤16. 1 2 8.若函数 f(x)= (x-1) +a 的定义域和值域都是[1,b](b>1),求 a、b 的值. 2 解析:因为函数 f(x)在[1,b]上单调递增, 1 2 所以 ymin=a,ymax= (b-1) +a, 2 1 2 即函数的值域为[a, (b-1) +a]. 2 又已知函数的值域为[1,b],

2

2

?a=1 ? 故?1 ?2? b-1? ?

2

+a=b

,解得?

? ?a=1 ? ?b=1

(舍去)或?

? ?a=1 ? ?b=3

.

所以,所求 a 的值为 1,b 的值为 3. 2 9.已知函数 y= mx -6mx+m+8的定义域为 R.当 m 变化时,若 y 的 最小值为 f(m), 求函数 f(m)的值域. 2 解析:由题意知 mx -6mx+ m+8≥0 对 x ∈R 恒成立, ? ?m>0 所以 m=0 或? ,所以 m∈[0,1]. ?Δ ≤0 ? (1)当 m=0 时,y=2 2,所以 f(m)=2 2.① 2 (2)当 0<m≤1 时,y= m? x-3? +8-8m. 所以 ymin= 8-8m ,即 f(m)= 8-8m. 所以 0≤f(m)<2 2.② 由①②可知,0≤f( m)≤2 2. 所以 f(m)的值域为[0,2 2].

2

3


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