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(智慧测评)2015届高考数学大一轮总复习 第6篇 第4节 基本不等式课时训练 理 新人教A版

时间:2017-01-04


(智慧测评) 2015 届高考数学大一轮总复习 第 6 篇 第 4 节 基本不 等式课时训练 理 新人教 A 版

一、选择题 1.(2012 年高考福建卷)下列不等式一定成立的是( )

? 2 1? A.lg?x + ?>lg x(x>0) 4? ?
B.sin x+
2

1 ≥2(

x≠kπ ,k∈Z) sin x

C.x +1≥2|x|(x∈R) D. 1

x2+1

>1(x∈R)

1 ? 1?2 2 解析:对选项 A,当 x>0 时,x + -x=?x- ? ≥0, 4 ? 2?

? 2 1? ∴lg?x + ?≥lg x; 4? ?
对选项 B,当 sin x<0 时显然不成立; 对选项 C,x +1=|x| +1≥2|x|,一定成立; 对选项 D,∵x +1≥1, ∴0< 1
2 2 2

x2+1

≤1.

故选 C. 答案:C 2 . (2014 安徽省示范高中高三模拟)“1<a<2”是“对任意的正数 x,2x + ≥2”的 ( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

a x

a 1 解析:2x+ ≥2 2a≥2? a≥ .故选 A. x 2
答案:A 3.(2014 重庆市部分重点中学高三联考)已知 p=a+ 则 p,q 的大小关系为( A.p≥q ) B.p>q 1

a-2

?1? 2 (a>2),q=? ?x -2(x∈R), ?2?

1

C.p<q 解析:p=a+

D.p≤q 1 1 =(a-2)+ +2≥2+2=4,当且仅当 a=3 时,取得等号;而由 a-2 a-2

?1? 2 ?1?-2 2 于 x -2≥-2,故 q=? ?x -2≤? ? =4,故 p≥q.故选 A. 2 ? ? ?2?
答案:A 6. (2014 淮北模拟)小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(a<b), 其全程的平均时 速为 v,则( ) B.v= ab D.v=

A.a<v< ab C. ab<v<

a+b
2

a+b
2

解析:设甲乙两地相距为 s, 则 v= 2s 2 = . s s 1 1 + + a b a b

1 1 2 由于 a<b,∴ + < ,

a b a

∴v>a, 1 1 又 + >2 1

a b

ab



∴v< ab. 故 a<v< ab, 故选 A. 答案:A 5.(2014 山西省示范性高中联考)函数 y=a
x+3

-2(a>0,a≠1)的图像恒过定点 A,若点 )

x y A 在直线 + =-1 上,且 m,n>0,则 3m+n 的最小值为( m n
A.13 C.11+6 2 解析:依题意,定点 A(-3,-1), -3 -1 3 1 所以 + =-1,即 + =1, B.16 D.28

m

n

m n

3n 3m ?3 1? 则 3m+n=(3m+n)·? + ?=9+ + +1≥10+2

?m n?

m

n

3n 3m · =16, 当且仅当 n=m=4

m

n

时等号成立.故选 B. 答案:B

2

6.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 800 元.若每批生产 x 件,则平 均仓储时间为 天,且每件产品每天的仓储费用为 1 元.为使平均到每件产品的生产准备费 8 用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( A.60 件 C.100 件 解析:若每批生产 x 件产品, 则每件产品 的生产准备费用是 ≥2 800 x · =20, x 8 800 x 当且仅当 = 时取等号,得 x=80(件),故选 B. x 8 答案:B 二、填空题 7.(2014 湖北黄州模拟)已知各项为正的等比数列{an}中,a4 与 a14 的等比中项为 2 2, 则 2a7+a11 的最小值为________. 解析:由已知 a4a14=(2 2) =8. 再由等比数列的性质有 a4a14=a7a11=8. 又∵a7>0,a11>0. ∴2a7+a11≥2 2a7a11=8. 当且仅当 2a7=a11 时等号成立. 答案:8 8.(2013 年高考四川卷)已知函数 f(x)=4x+ (x>0,a>0)在 x=3 时取得最小值,则 a =________. 解析:因为 x>0,a>0, 所以 f(x)=4x+ ≥2 4a=4 a, 当且仅当 4x= ,即 a=4x 时取等号. 由题意可得 a=4×3 =36. 答案:36 9.已知直线 ax-2by=2(a>0,b>0)过圆 x +y -4x+2y+1=0 的圆心,ab 的最大值为 ________. 解析:圆的标准方程为(x-2) +(y+1) =4,
3
2 2 2 2 2 2

x

) B.80 件 D.120 件

800

x 800 x 元,存储费用是 元,总的费用 y= + x 8 x 8

a x

a x

a x

2

所以圆心为(2,-1), 因为直线过圆心,所以 2a+2b=2,即 a+b=1. 所以 ab≤?

?a+b?2=1,当且仅当 a=b=1时取等号, ? 2 ? 2 ? 4

1 所以 ab 的最大值为 . 4 1 答案: 4 10.(2014 北京朝阳质检)某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产 的产品可获得的总利润 y(单位:万元)与机器运转时间 x(单位:年)的关系为 y=-x +18x -25(x∈N ),则当每台机器运转________年时,年平均利润最大,最大值是________万元.
* 2

y y ? 25? 而 x>0, 解析: 每台机器运转 x 年的年平均利润为 =18-?x+ ?, 故 ≤18-2 25=8, x

?

x?

x

当且仅当 x=5 时等号成立,此时年平均利润最大,最大值为 8 万元. 答案:5 8

三、解答题 1 ?x1+x2?的大小,并 11.已知函数 f(x)=lg x,若 x1,x2>0,判断 [f(x1)+f(x2)]与 f? ? 2 ? 2 ? 加以证明. 1 ?x1+x2?. 解: [f(x1)+f(x2)]≤f? ? 2 ? 2 ? 证明如下: ∵f(x1)+f(x2)=lg x1+lg x2=lg(x1x2),

f?

?x1+x2?=lg x1+x2, ? 2 ? 2 ? ?x1+x2?2, ? ? 2 ?

且 x1,x2>0,x1x2≤? ∴lg(x1x2)≤lg?

?x1+x2?2, ? ? 2 ?

1 x1+x2 ∴ lg(x1x2)≤lg , 2 2 1 x1+x2 即 (lg x1+lg x2)≤lg . 2 2 1 ?x1+x2?, ∴ [f(x1)+f(x2)]≤f? ? 2 ? 2 ? 当且仅当 x1=x2 时,等号成立. 12.某商店预备在一个月内分批购入每张价值为 20 元的书桌共 36 张,每批都购入 x

4

张(x 是正整数),且每批均需付运费 4 元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入 书桌的总价值(不含运费)成正比,若每批购入 4 张,则该月需用去运费和保管费共 52 元, 现在全月只有 48 元资金可以用于支付运费和保管费. (1)求该月需用去的运费和保管费的总费用 f(x); (2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由. 解:(1)设题中比例系数为 k,若每批购入 x 张书桌, 36 则共需分 批,每批价值为 20x 元,

x

36 由题意得 f(x)= ·4+k·20x.

x

由 x=4 时,f(x)=52, 16 1 得 k= = . 80 5 144 * ∴f(x)= +4x(0<x≤36,x∈N ).

x

144 * (2)由(1)知 f(x)= +4x(0<x≤36,x∈N ),

x

∴f(x)≥2

144 ×4x=48(元).

x

144 当且仅当 =4x,即 x=6 时,上式等号成立.

x

故只需每批购入 6 张书桌,可以使资金够用.

5


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