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选修2—1 第二章 §2.3.1 双曲线及其标准方程(1)


高二数学 选修 2—1 第二章 § 2.3.1 双曲线及其标准方程(1)
班级

(2014/12/2)

姓名

学习目标
1.掌握双曲线的定义,焦点,焦距的定义; 2.掌握双曲线标准方程及其推导方法(坐标法) ; 3.类比椭圆定义及标准方程掌握双曲线相关知识点.

※ 典型例题

例 1、已知双曲线的两焦点为 F1 (?5,0) ,F2 (5,0) ,双曲线上任意点到 F1 , F2 的距离的差的绝对值等于 6 , 求双曲线的标准方程.

学习过程
一、课前准备 复习:椭圆的定义是什么?椭圆的标准方程是什么? 变式 1:已知两定点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) ,平面上一动点 P,满足||PF1|-|PF2||= 10,求点 P 的轨迹方程.

二、新课导学 问题 1:将椭圆定义中的和改成差将得到什么轨迹? 问题 2:如何做出该轨迹? 操作:取一条拉链,拉开部分,在拉开的一边上取其端点,在另一边的中间部分取一点,分别固定在

例 2、已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左支上一点 P 到左焦点的距离为 10,则点 P 到右焦点的距离为 16 9

.

F1 , F2 两点处,把笔尖放在点 M 处,随着拉链逐渐拉开或闭拢,笔尖就画出一条曲线;两个端点调换就
得到曲线的另一支. 1.双曲线的定义: 平面内与两个定点 F1 、F2 的距离之差的绝对值等于常数 (小于 | F1F2 | ) 的点的轨迹叫做____________, 这两个定点叫做______________,两焦点间的距离叫做_______________. 深化概念: 注意:1.平面内. 2.若 || PF 1 | ? | PF 2 ||?| F 1 F2 | ,则点 P 的轨迹为______________; 若 || PF 1 | ? | PF 2 ||?| F 1 F2 | ,则点 P 的轨迹为______________; 若 || PF 1 | ? | PF 2 ||?| F 1 F2 | , 则点 P 的轨迹______________. 3.去掉“绝对值”三个字变成什么轨迹?

变式 2: 已知双曲线的方程是 是 PF1 的中点,则 ON =

x2 y2 ? ? 1, 点 P 在双曲线上, 且到其中一个焦点 F1 的距离为 10, 点N 16 8
(O 为坐标原点)

例 3、已知 A, B 两地相距 800m ,在 A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚 2s ,且声速为 340m / s ,求炮弹爆 炸点的轨迹方程.

变式 3:如果 A, B 两处同时听到爆炸声,那么爆炸点在什么曲线上?为什么? 4.若 || PF 1 | ? | PF 2 || =0, 则点 P 的轨迹是______________. 2.双曲线的标准方程的推导: 已知点 F1 、 P 为双曲线上的任意一点, 且 | F1F2 |? 2c , F2 为双曲线的两个焦点, || PF1 | ? | PF2 ||? 2a , 其中 c ? a ? 0 ,求双曲线的方程. 练习: 、求适合下列条件的双曲线的标准方程式: (1)焦点在 x 轴上, a ? 4 , b ? 3 ; (2)焦点为 (0, ?6),(0,6) ,且经过点 (2, ?5) .

当双曲线的中心在坐标原点,_________, 双曲线的方程叫做双曲线的标准方程.其中,当焦点在 x 轴上,标准方程为_________,其焦点坐标为_________;当焦点在 y 轴上,标准方程为_________;其 焦点坐标为________________. a , b, c 的关系是:_________________. 双曲线焦点位置的确定:看 x2、y2 的系数正负, 焦点在系数为正数的那一项对应的坐标轴上.
1

三、总结提升 ※ 学习小结 1、双曲线的定义; 2、双曲线的标准方程.

课后作业 一、基础训练题
1.已知双曲线的 a=5,c=7,则该双曲线的标准方程为( x2 y2 A. - =1 25 24 x2 y2 y2 x2 C. - =1 或 - =1 25 24 25 24 A.双曲线
2 2

)

y2 x2 B. - =1 25 24 x2 y2 y2 x2 D. - =0 或 - =0 25 24 25 24 ) C.两条射线
2 2

2.动点 P 到点 M(1,0)及点 N(3,0)的距离之差为 2,则点 P 的轨迹是( B.双曲线的一支
2 2

D.一条射线 )
2 2

3.设动点 P 到 A(-5,0)的距离与它到 B(5,0)距离的差等于 6,则 P 点的轨迹方程是( x y y x A. - =1 B. - =1 9 16 9 16 x y C. - =1(x≤-3) 9 16 ) D.( 3,0) ) x y D. - =1(x≥3) 9 16

二、提高训练题
x y 13.已知双曲线 - =1 的焦点为 F1,F2,点 M 在双曲线上,且 MF1⊥x 轴,则 F1 到直线 F2M 的距 6 3 离为( ) 3 6 5 6 6 5 A. B. C. D. 5 6 5 6 x2 y2 14.双曲线 - =1 的一个焦点到中心的距离为 3,那么 m=________. m m-5 y2 15.已知双曲线的方程为 x2- =1,如图,点 A 的坐标为(- 5,0),B 是圆 x2+(y- 5)2=1 上的点, 4 点 M 在双曲线的右支上,求|MA|+|MB|的最小值.
2 2

4.双曲线方程为 x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为( A.( 2 ,0) 2 B.( 5 ,0) 2 C.( 6 ,0) 2

x2 y2 x2 y2 5.椭圆 + 2=1 与双曲线 - =1 有相同的焦点,则 a 的值是( 4 a a 2 1 A. 2 B.1 或-2 1 C.1 或 2 ) D.1

x2 y2 6.k>9 是方程 + =1 表示双曲线的( 9-k k-4 A.充要条件 C.必要不充分条件
2 2

B.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件 )

x y 7.双曲线 - =1 上一点 P 到点(5,0)的距离为 15,那么该点到点(-5,0)的距离为( 16 9 A.7 B.23 C.5 或 25 D.7 或 23

x2 y2 8.已知双曲线 C: - =1 的左、右焦点分别为 F1、F2,P 为 C 右支上的一点,且|PF2|=|F1F2|,则 9 16 △PF1F2 的面积等于 ( A.24 B.36 ) C.48 D.96 .

9.已知双曲线的焦点在 x 轴上,且 a+c=9,b=3,则它的标准方程是 10.若双曲线 8kx2-ky2=8 的一个焦点坐标是(0,3),则实数 k 的值为________. x2 y2 x2 y2 11.椭圆 + 2=1 和双曲线 2- =1 有相同的焦点,则实数 n 的值是________. 34 n n 16

12.根据下列条件,求双曲线的标准方程. 15? ? 16 ? (1)过点 P? ?3, 4 ?,Q?- 3 ,5?且焦点在坐标轴上; (2)c= 6,经过点(-5,2),焦点在 x 轴上.
2

选修 2—1 第二章 § 2.3.1 双曲线及其标准方程(1)参考答案
1、解析 因为 b =c -a =49-25=24,且焦点位置不确定,所以所求双曲线的标准方程 x2 y2 y2 x2 为 - =1 或 - =1. 25 24 25 24 答案 C 2、解析:由已知|PM|-|PN|=2=|MN|,所以点 P 的轨迹是一条以 N 为端点的射线. 答案 D x2 y2 3、解析:由题意 c=5,a=3,∴b=4.∴点 P 的轨迹方程是 - =1(x≥3). 9 16 答案 D y2 4、解析:将双曲线方程化为标准形式 x2- =1, 1 2 1 6 6 所以 a2=1,b2= ,∴c= a2+b2= ,∴右焦点坐标为( ,0).故选 C. 2 2 2 答案 C a>0, ? ? 2 5、解析:依题意:?0<a <4, ? ?4-a2=a+2. 解得 a=1.故选 D.
2 2 2

?m+16n=1, ∵P,Q 两点在双曲线上,∴? 256 25 ? 9m + n =1,
y2 x2 ∴所求双曲线的方程为 - =1. 9 16 (2)∵焦点在 x 轴上,c= 6, x2 y2 ∴设所求双曲线的方程为 - =1(0<λ<6). λ 6-λ ∵双曲线过点(-5,2), 25 4 ∴ - =1, λ 6-λ 解得 λ=5 或 λ=30(舍去), x2 ∴所求双曲线的方程为 -y2=1. 5 13、解析:不妨设点 F1(-3,0), 容易计算得出 3 6 |MF1|= = , 6 2

9

225

?m=-16, ? 解得? ?n=9, ?

答案 D 6、解析:当 k>9 时,9-k<0,k-4>0,方程表示双曲线.当 k<4 时,9-k>0,k-4<0,方程也表示 双曲线. x2 y2 ∴k>9 是方程 + =1 表示双曲线的充分不必要条件. 9-k k-4 答案 B 7、解析: (-5,0)和(5,0)都是双曲线的焦点,||PF1|-|PF2||=8,∴|PF1|=15+8 或 15-8 即 7 或 23. 答案 D 8、解析 依题意得|PF2|=|F1F2|=10,由双曲线的定义,得|PF1|-|PF2|=6,∴|PF1|=16. 1 16 ∴S△PF1F2= × 16× 102-( )2=48.故选 C. 2 2 答案 C x2 y2 9、答案: - =1 16 9 y2 x2 10、解析 因为双曲线焦点在 y 轴上,所以双曲线的标准方程为 - =1,所以 k<0,又 8 1 - - k k 8 1 2 (0,3)是双曲线的一个焦点,则 c=3,于是有- - =3 =9,解得 k=-1. k k 答案 -1 x2 y2 11、解析:因为双曲线 2- =1 的焦点在 x 轴上, n 16 x2 y2 ∴c2=n2+16,且椭圆 + 2=1 的焦点在 x 轴上, 34 n ∴c2=34-n2,∴n2+16=34-n2, ∴n2=9,∴n=± 3. 答案:± 3 x2 y2 12、解:(1)设双曲线方程为 + =1(mn<0). m n
3

|MF2|-|MF1|=2 6. 5 解得|MF2|= 6. 2 而|F1F2|=6,在直角三角形 MF1F2 中, 1 1 由 |MF1|· |F1F2|= |MF2|· d, 2 2 6 求得 F1 到直线 F2M 的距离 d 为 . 5 答案 C 14、解析 (1)当焦点在 x 轴上,有 m>5, 则 c2=m+m-5=9,∴m=7; (2)当焦点在 y 轴上,有 m<0, 则 c2=-m+5-m=9,∴m=-2; 综上述,m=7 或 m=-2. 答案 7 或-2 15、解 设点 D 的坐标为( 5,0),则点 A,D 是双曲线的焦点, 由双曲线的定义,得|MA|-|MD|=2a=2. ∴|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|, 又 B 是圆 x2+(y- 5)2=1 上的点,圆的圆心为 C(0, 5), 半径为 1,故|BD|≥|CD|-1= 10-1,从而|MA|+|MB|≥2 +|BD|≥ 10+1,

当点 M,B 在线段 CD 上时取等号,即|MA|+|MB|的最小值为 10+1.


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