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圆锥曲线的综合问题(教案)


圆锥曲线的综合问题(第一课时)
[目的要求]: 1、掌握直线与圆锥曲线的三种位置关系(相离、相切、相交) 2、理解并掌握圆锥曲线中的弦长计算公式
L ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ? 1 ? 1 ? ( y1 ? y 2 ) ? 4 y1 y 2 k2

3、能利用的学,掌握圆锥曲线中的最值与范围问

题 4、通过教学培养学生观察、分析、计算、推理的能力:渗透数形结合,分 类讨论,函数方程的数学思想。 5、感受数学图形的直观美和数学式子的整齐美。 [重点、难点] 1、重点:直线与圆锥曲线的位置关系,相交时弦长的计算公式 2、难点:直线与圆锥曲线相离时,公共点的个数,解决圆锥曲线中最值与 范围问题时的转化思想 [教学设计] 一、知识的归纳与总结 1、直线与圆锥曲线的位置关系的判定 ①利用公共点的个数来判定。 ②利用方程组解的个数来判定。 强调:当直线与曲线只有一个公共点时,可能相切,也可能相交。 (抛物线、 双曲线) 设计意图:会用两种方法判定直线与圆锥曲线的位置关系。 师生互动:教师设问,学生口答,集体纠错。 2、圆锥曲线中的弦长问题 直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,A(x1,y1)B(x2,y2)则
| AB |? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2

? 1?

1 ? ( y1 ? y 2 ) ? 4 y1 y 2 k2

强调:①这里 k 存在且不为 0 ②公式的推导,记忆及应用。 设计意图:熟悉公式的推导过程为展开新课扫清障碍。 二、学生练习,自我检查,反思总结 1、直线 y ? kx ? k ? 1 与椭圆
x2 y2 ? ? 1 的位置关系是( 9 4



A. 相交 B. 相切 C. 相离 方法:①考虑特殊情况,可取 k=0

D. 不确定

②利用直线 y ? kx ? k ? 1 恒过定点(1,1) ③尝试用判别式

2、过点(0,1)作直线使它与抛物线 y 2 ? 4 x 仅有一个公共点,这样的直 线有( ) A. 1 条 B. 2 条 C. 条 D. 4 条

略解:斜率不存在时 l1 : x ? 0 (相切) 斜率存在时两条: l 2 : y ? 1 (相交) , l3 : y ? x ? 1 (相切) 3、 双曲线 x 2 ? 4 y ? ? (? ? 0) 截直线 x ? y ? 3 ? 0 所得的弦长为 线的方程为____________ 设计意图:弦长公式的应用。 师生活动:学生思考,讨论,演算,口述,教师点评。 三、例题讲解,重点突破 例 1、已知双曲线的议程为 x 2 ?
y2 ? 1 过定点 P(2,1)作直线交双曲线于 2
8 3 , 则双曲 3

P1,P2 两点,并使 P(2,1)为 P1P2 的中点 求此直线的方程。 设计意图:1、会利用方程的思想用待定系数法求直线方程中的参数 k。 2、会用点差法求中点弦的斜率。 引申:①在双曲线
x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 中以 P(x0,y0)为中点的弦的直 a2 b2

线的斜率怎样求? ②椭圆中呢? 师生互动:让学生回答第一种方法,师生共同探讨,点差法求斜率。 例 2、 (1)已知点 P 在直线 x ? y ? 5 ? 0 上,点 Q 在抛物线 y 2 ? 2 x 上求| PQ|的最小值。 设计意图:1、通过教学使学生能够利用数形结合的思想,把问题转化为求 平行线间的距离。 2、会用函数的观点把问题转化为一元函数求最值的问题上来。 师生互动:引导学生观察、思考、分析,找到解决问题的出路。 (2) 已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上存在关于直线 x ? y ? 1 对称的相异两点, 则实数 P 的取值范围为( ) 2 2 3 3 A. ( ? ,0) B. (0, ) C. ( ? ,0) D. (0, ) 3 3 2 2 设计意图:1、求范围问题要解决的是不等式从哪里来(此题抓住△>0) 2、 设 l 的方程为 y ? x ? b , 等式从哪里来 (此题 p、 b 的关系从中点在 x ? y ? 1 上找)

四、学生练习 双曲线 x 2 ?
y2 ? 1 的左项点为 A1,右焦点为 F2,P 为双曲线右支上一点, 3

则 PA1 ? PF2 的最小值为( A. -2 B. ?



81 C. 1 D. 0 16 强调:函数思想,注意定义域 设计意图:检查学生对圆锥曲线中的有关最值范围问题的掌握程度。 师生互动:学生自主思考,独立完成,教师巡查。 五、课时小结 1、如何判定直线与圆锥曲线的位置关系。 2、弦长的计算 3、圆锥曲线中有关范围与最值问题转化的策略。 设计意图:对本节内容的强调和补充。 六、课后作业 1、预习三维设计 163 页例 1、例 2. 2、完成跟踪检测 305 页练习 1-9 题。 设计意图: 1、为下节授课作好准备。 2、复习巩固本节所学内容。 七、课堂设计预想 所带班级为文科班,根据学生接受情况所设计的教学内容可能有所缩减。


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