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两角和与差及倍角公式练习题

时间:2012-11-23


两角和与差及二倍角的三角函数
问题 1。不查表求值:

sin 7 ? ? cos15? ? sin 8? =_______________ cos 7 ? ? sin 15? ? sin 8?

sin(15? ? 8? ) ? cos15? ? sin 8? 解法一原式 ? cos(15? ? 8? ) ? sin 15? ?

sin 8?
sin 15? ? cos 8? ? ? tan15? ? tan(45? ? 30? ) ? ? ? cos15 ? cos 8
解法二

3 3 ? 3? 3 ? 2 ? 3 3 3? 3 1? 3 1?

1 sin 7? ? (sin 23? ? sin 7? ) 2 原式 ? 1 ? cos 7 ? (cos 23? ? cos 7? ) 2 ? sin 23 ? sin 7? ? cos 23? ? cos 7? 2sin15? cos8? ? 2 cos15? ? cos8? ? tan15? ? …(余同解法一)
(2)准确估算角的范围 问题 2. 已知 tan? tan?是方程 x +3 3 x+4=0 的两根,若?,??(2

? ?

, ),则?+?=( 2 2



? 2 2 或 ? D.- ? 3 3 3 ★热 点 考 点 题 型 探 析 ? 3 例 1:已知 ? ? ( , ? ),sin ? ? , 则 tan(? ? ? ) 等于( ) 2 5 4
A. B. C.A.

? 3

? 2 或- ? 3 3

错解:B.

正解:D.

1 7

B. 7

C. ?

1 7

D. ?7

【解题思路】直接用两角和的正切公式 解:B.∵ ? ? (

3 4 3 , ∴ cos ? ? , tan ? ? , 2 5 5 4 3 ?1 ? tan ? ? 1 4 ∴ tan(? ? ) ? 题型 2: 逆用公式 ? ?7 . 4 1 ? tan ? 1 ? 3 4 , ? ) , sin ? ?
? ?

?

例 2.(广东省实验中学 2009 届高三第二次阶段测试) sin 155°cos35°- cos25°cos235°=____________. 【解题思路】注意到 155? ? 180? ? 25 ;235? ? 270 ? 25?

-1-

解析:原式= sin 25? cos35? ? cos 25? sin 35? ? sin 60? ?

3 2

【名师指引】三角求值题解题的一般思路是“变角、变名、变式” 变角:它决定变换的方向,通过找出已知条件和待求结论中的差异,分析角之间的联系,决 定用哪一组公式,是解决问题的关键;变名:在同一个三角式中尽可能使三角函数的种类最 少,一般考虑化弦或化切(用同角三角函数的关系式或万能公式) ; 变式:由前二步对三角式进行恒等变形,或逆用、变形用公式,使问题获解; 【新题导练】 1. cos 43 cos 77 ? sin 43 cos167 的值为 解析.诱导公式变角,再逆用三角公式切入,
o o o o



cos 43? cos 77? ? sin 43? cos167? = cos 43 0 cos 77 0 ? sin 43 0 ?? sin 77 0 ? ? cos 120 0 ? ? 1 ;
2
2. (华南师范附属中学 2009 届高三上学期第三次综合测试) 若? ? (

?
2

, ? ) ,且 sin ? ?

4 ? 2 ,则 sin(? ? ) ? cos ? ? 5 4 2

.解析: 2

考点 2 二倍角的正弦.余弦.正切 题型 1:顺用公式 例 3.(执信中学 2008-2009 学年度第一学期高三期中考试)

1 3 ?? ? , sin ? ? , ? ? ? , ? ? ,求 tan?2? ? ? ? 的值. 2 5 ?2 ? 【解题思路】先由诱导公式求出 tan ? ,再由二倍角公式求解。 1 1 4 3 ?? ? 解析? tan ?? ? ? ? ? ,? tan ? ? ? ,? tan 2? ? ? .又? sin ? ? ,且 ? ? ? , ? ? 2 2 3 5 ?2 ? 4 3 tan 2? ? tan ? 7 ? cos ? ? ? ,? tan ? ? ? ,? tan?2? ? ? ? ? ?? 5 4 1 ? tan2? tan ? 24
已知 tan?? ? ? ? ? 【名师指引】在三角函数的过程中,观察条件中的角和结论中的角之间的内在联系是解决此 类题的关键. 题型 2: 逆用公式 例 4. sin105? cos105? 的值为( )A.

1 4

B.-

1 4

C.

3 4

D.-

3 4

1 1 【解题思路】 联想二倍角的正弦公式解析:sin105? cos105? ? ? sin 75? cos 75? ? ? sin150? ? ? 2 4

【名师指引】见 sin x cos x 就联想到

1 sin 2 x 是三角变换中常用的手段。 2

题型 3: 变形用公式 例 5.(2008·惠州市高三第三次调研考试第一问)在△ABC 中,已知角 A 为锐角,且

f ( A) ?

[cos(? ? 2 A) ? 1] sin(? ?

A ? A ) sin( ? ) 2 2 2 ? cos2 A . ? A A sin 2 ( ? ) ? sin 2 (? ? ) 2 2 2
2

求 f (A)的最大值;

1 ? cos ? 1 ? cos ? 2 ? ? , sin 2 2 2 2 A A A A (cos2 A ? 1) sin cos 2 cos2 A sin cos 2 2 ? cos2 A ? 2 2 ? cos2 A [解析] f ( A) ? A A cos A cos2 ? sin 2 2 2
【解题思路】联想到降幂公式: cos

?

?

-2-

?

1 1 2 ? 1 sin 2 A ? cos2 A ? (sin 2 A ? cos 2 A ? 1) ? sin(2 A ? ) ? . 2 2 2 4 2

∵角 A 为锐角,? 0 ? A ?

? ?
2 4 ,

? 2A ?

?
4

?

5? . 4

?当2 A ?

?
4

?

?
2

时, f ( A) 取值最大值,其最大值为

2 ?1 . 2

【名师指引】在研究三角函数性质时经常使用“见平方就降次,见切割就化弦”这一手段。 【新题导练】 3. ?ABC中, 5 sin 2 A ? (2 5 ? 1) sin A ? 2 ? 0, A 是锐角,求 tan 2 A 的值; 解: (由条件,得 ( 5 sin A ? 1)(sin A ? 2) ? 0.

? sin A ? 2,? 5 sin A ? 1 ? 0,即sin A ?
∵A 在锐角,? cos A ? 1 ? sin A ?
2

5 . 5

2 5 1 , tan A ? , 5 2
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4. 已知 cos 2? ? 解析:选 B

2 4 4 , 则 sin ? ? cos ? 的值为 ( ) A 3

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13 18

B

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11 18

C

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7 9

D

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?1

1 sin 4 ? ? cos 4 ? ? (sin 2 ? ? cos 2 ? ) 2 ? 2sin 2 ? cos 2 ? ? 1 ? sin 2 2? 2 1 11 2 tan A 4 ? 1 ? (1 ? cos 2 2? ) ? ? tan 2 A ? ? . 2 18 1 ? tan 2 A 3
基础巩固训练

1.( 2009 届广东五校高三第二联考试卷)已知 tan ? ? A. ?

1 5

B. ?

3 5

C.

4 5

1 , 则 cos 2? 的值为( 2 3 D. 5



cos 2? ?
解析:选 D:

1 ? tan 2 ? 3 ? 1 ? tan 2 ? 5
2 ? 1 , tan( ? ? ) ? ,则 5 4 4 1 D. 6

2.(华南师大附中 2009 届高三综合测试(二))设 tan(? ? ? ) ?

tan(? ? ) ? ( 4

?

)

A.

13 18

B.

13 22

C.

3 22

tan(? ? ? ) ? tan( ? ? ) ? ? 4 ? 3 选C 解析: tan(? ? ) ? tan[(? ? ? ) ? ( ? ? )] ? ? 4 4 1 ? tan(? ? ? ) tan( ? ? ) 22 4 3. cos 43? cos 77? ? sin 43? cos 167 ? 的值为 。 解析:原式= cos 43? cos 77? ? sin 43? cos(90? ? 77?) ? cos 43? cos 77? ? sin 43? sin 77?
? cos(43? ? 77?) ? cos120? =-
4.已知 tan ? ? ? ? ? 1 2

?

? ?

??

1 ?? 1 ? ?? ? ? ? , tan ? ? ? ? ? ? ,则 tan ? ? ? ? ? 6? 2 6? 3 3? ? ?
-3-

?? ?? ? ? ? ? tan(? ? ? ? 6 ) ? tan( ? ? 6 ) 解析: tan ? ? ? ? tan ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ?? 3? 3? ? 6 ?? ? ?? ? 1 ? tan(? ? ? ? ? ) ? tan( ? ? ? ) 6 6

??

?

?

5 . (2008-2009 年 汕 头 金 山 中 学 摸 底 考 试 ) 已 知 函 数 f ( x) ? sin x ? sin( x ?

?
2

), x ? R . 若

f (? ) ?

3 ,求 sin 2? 的值. 4

解: f ( x) ? sin x ? cos x 由 f (? ) ?

3 9 3 得: sin ? ? cos ? ? , 1 ? 2sin ? cos ? ? 4 16 4

? sin 2? ? ?

7 16
综合拔高训练

6. (广东省 2009 届高三第一次六校联考试卷数学)已知向量 a=(sinθ , 1), b=(1, cosθ ), ? ? ? ?? ? . (Ⅰ)若 a⊥b,求 θ ; (Ⅱ)求|a+b|的最大值. 2 2 ? ? 解: (Ⅰ)若 a⊥b,则 sinθ +cosθ =0, 由此得 tanθ =-1( ? ? ? ? ) , 2 2 ? 所以 θ = ? ; (Ⅱ)由 a=(sinθ ,1),b=(1,cosθ ),得 4
|a+b|= (sinθ +1)2+(1+cosθ )2= 3+2(sinθ +cosθ ) = π π π 3+2 2sin(θ + ),当 sin(θ + )=1 时,|a+b|取得最大值,即当 θ = 时, 4 4 4

|a+b|最大值为 2+1.

7.(惠州市 2009 届高三第三次调研考试数学试题)已知 sin
(1)求 tan x 的值; (2)求

x x ? 2 cos ? 0 . 2 2

cos2 x

2 cos( ? x) ? sin x 4 x x x 解: (1)由 sin ? 2 cos ? 0 , ? tan ? 2 , 2 2 2 x 2 tan 2 ? 2? 2 ? ? 4 . ? tan x ? x 1 ? 22 3 1 ? tan2 2
(2) 原式=

?

的值.

cos2 x ? sin 2 x 2( 2 2 cos x ? sin x) sin x 2 2

?

(cos x ? sin x)(cosx ? sin x) (cos x ? sin x) sin x

?

cos x ? sin x sin x

3 1 ? cot x ? 1 ? (? ) ? 1 ? . 4 4

-4-


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