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等差等比数列对比性质表


等差数列性质 1、定义

等比数列性质

a n+1 -a n =d(n ? 1) ; a n -a n-1 =d(n ? 2)

a n+1 =q(n ? 1) an
n

an =q(n ? 2) a n-1 ;
n ?1 1 n?m

2、通项 公式

/>
an ? a1 ? (n ? 1) d
an ? am ? (n ? m ) d(n,m ? N )
?

a ? a ?q a ? a ?q
n m

3、前n项 和

s s

n

?

(a1 ? a n )n 2 n(n ? 1) d 2

q=1 , Sn =na1 ; a1 (1-q n ) 1-q a -a q = 1 n 1-q A b ? A a、A、b成等比数列 ? a q ? 1,Sn =
(不等价于 A =ab ,只能 ? );
2

n

? n a1 ?

4、中项

a+b a、A、b成等差数列 ? A= 2 ; a n 是其前 k项 a n-k 与后 k项 a n+k 的等差中

a n-k +a n+k a 2 项,即: n =
5、 下标和 公式

a n 是其前k项 a n-k 与后k项 a n+k 的
等比中项,即:

a2 n =a n-k ? a n+k
n p q

a ?a ?a ?a a ? a ? 2a 特别地,若m+n=2p,则
若m+n=p+q,则
m n p q

若m+n=p+q,则
p

a ?a ? a ?a
m

m

n

a ?a ? a 特别地,若m+n=2p,则
m n

2 p

6、 首尾项 性质

等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首 尾两项的和, 即:

等比数列的第k项与倒数第k项的积 等于首尾两项的积, 即:

a ?a ?a ?a
1 n 2

n ?1

? ? ? ak ? an ?( k ?1)

a ?a ? a ?a
1 n 2

n ?1

? ? ? ak ? an ?( k ?1)

a }为等差数列,若m,n,p成等差数列, a , a , a 成等差数列 则
{
n
m n p

{

a

n

}为等比数列,若m,n,p成等差

(两个等差数列的和仍是等差数列)

p 数列,则 m n 成等比数列 (两个等比数列的积仍是等比数列)

a ,a ,a
n n

a },{ b }的公差分别为 d , e , ? 则数列{ a b }仍为等差数列,公差为
等差数列{ 7、结论
n n n n

等比数列{

d ?e

pq 列,公差为

a },{ b }的公比分别为 p, q ,则数列{ a ? b }仍为等比数
n n

取出等差数列的所有奇(偶)数项,组成 的新数列仍为等差数列,且公差为 2 d

取出等比数列的所有奇(偶)数项, 组成的新数列仍为等比数列, 且公比

q 为
若 若

2

a m =n,a n =m(m ? n), 则 am?n ? 0 Sm =n,Sn =m(m ? n), 则

无此性质; 无此性质;

Sm ? n ? ? (m ? n)


s ? s (m ? n),则s ? 0 s , s ? s , s ? s ,?成等差数列,
m n m?m m 2m m 3m 2m
2

无此性质;

s ,s
m

2m

? sm , s3m ? s2m ,?

成等差

公差为 m d

数列,公比为
偶 奇

q

m

s ? s ? nd s ? a s a ?s ?a 当项数为奇数 2n ? 1 时, s
当项数为偶数 2 n 时,
奇 n 偶 n ?1

当项数为偶数 2 n 时,

s



? qs









当项数为奇数 2n ? 1 时,

s

2 n ?1

? (2n ? 1) a中
n n ?1

s



? a1 ? q s偶

s s
①定义法:

奇 偶

?

an ? an ?1 ? d ?n ? 2?

an ?q a ①定义法: n ?1

8、 等差(等比) 数列的判断方 法

n ?1 n ?1 ②等差中项概念; n ③函数法: an ? pn ? q(p ,q为常数) 关于n的一

2a ? a

?a

?n

? 2?

②等差中项概念; n ③函数法: 常数,

a an?2 ? an?12 (an ? 0)

次函数 ? 数列{an } 是首项为p+q, 公差为p 的等差数列;

? ? 0?

n ? N? ), ?a ? 则数列 n 是等比数列.

an ? cqn ( c, q 均为不为0的

④数列 {a n } 的前n项和形如

④数列 {a n } 的前n项和形如 n (a,b为常数),那么数列 {a n } 是等差数列,

S ? an2 ? bn

Sn ? Aqn ? A ( A,q 均为不等于 0 的常
数且q≠1),则数列 等比数列.

?an ? 是公比不为1的

9、共性

非零常数列既是等差数列又是等比数列


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