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2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(湖北.理)含答案


2007 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷) 数学(理工农医类)
本试卷共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

★祝考试顺利★
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条 形码粘贴在答题卡上指定位置. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔将答题卡上对应

题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答在试题卷上无效. 3.将填空题和解答题用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上每题 对应的答题区域内.答在试题卷上无效. 4.考试结束,请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.
2? ? 1.如果 ? 3 x 2 ? 3 ? 的展开式中含有非零常数项,则正整数 n 的最小值为( x ? ?
n



A.3

B.5 C.6 D.10 ?x π? ? π ? ? 2 ? 平移,则平移后所得图象的解析式为 2 .将 y ? 2 cos? ? ? 的图象按向量 a ? ? ? , ?3 6? ? 4 ? ( )
?x π? B. y ? 2cos ? ? ? ? 2 ?3 4? ?x π ? D. y ? 2 cos ? ? ? ? 2 ? 3 12 ? ?x π? A. y ? 2cos ? ? ? ? 2 ?3 4? ?x π ? C. y ? 2 cos ? ? ? ? 2 ? 3 12 ?

,且 x ? Q 3 .设 P 和 Q 是两个集合,定义集合 P ? Q ? ? x | x ? P ? ,如果 P ? ? x | log2 x ? 1 ?,

Q ? ?x | x ? 2 ? 1? ,那么 P ? Q 等于(
A. ?x | 0 ? x ? 1? C. ?x |1≤ x ? 2?



B. ?x | 0 ? x ≤1? D. ?x | 2 ≤ x ? 3?

4.平面 ? 外有两条直线 m 和 n ,如果 m 和 n 在平面 ? 内的射影分别是 m? 和 n ? ,给出下列 四个命题: ① m? ? n ? ? m ? n ; ② m ? n ? m? ? n ? ; ③ m? 与 n ? 相交 ? m 与 n 相交或重合; ④ m? 与 n ? 平行 ? m 与 n 平行或重合.

其中不正确的命题个数是( ) A.1 B.2 C.3

D.4
p

? 1? ?1 ? ? ? 1 n? 5.已知 p 和 q 是两个不相等的正整数,且 q ≥ 2 ,则 lim ? ?( q n→? ? 1? ?1 ? ? ? 1 ? n?
A.0 B.1 C.



p q

D.

p ?1 q ?1

6.若数列 {an } 满足

2 an ?1 ,则称 {an } 为“等方比数列” . ? p ( p 为正常数, n ? N? ) 2 an

甲:数列 {an } 是等方比数列;

乙:数列 {an } 是等比数列,则(



A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

x2 y 2 7.双曲线 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? 0,b ? 0) 的左准线为 l ,左焦点和右焦点分别为 F 1 和 F2 ; a b
抛物线 C2 的准线为 l , 焦点为 F2;C1 与 C2 的一个交点为 M , 则 A. ? 1 B. 1 C. ?

F1F 2 MF1

?

MF 1 MF2

等于 (



1 2

D.

1 2

8. 已知两个等差数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和分别为 A n 和 Bn , 且 为整数的正整数 n 的个数是( A.2 B.3 ) C.4 D.5

An 7n ?4 a 5 , 则使得 n ? Bn n?3 bn

, ? 1) 的夹角为 9.连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n ,记向量 a = (m,n) 与向量 b ? (1

? ?? ? ,则 ? ? ? 0, ? 的概率是( ? ??
A.



5 12

B.

1 2

C.

7 12

D.

5 6

10.已知直线

x y ? ? 1 ( a, b 是非零常数)与圆 x2 ? y 2 ? 100 有公共点,且公共点的横 a b
) D.78 条

坐标和纵坐标均为整数,那么这样的直线共有( A.60 条 B.66 条 C.72 条

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡相应位置上. 11.已知函数 y ? 2 x ? a 的反函数是 y ? bx ? 3 ,则 a ?
2

;b ?



12.复数 z ? a ? bi,a,b ? R ,且 b ? 0 ,若 z ? 4bz 是实数,则有序实数对 (a,b) 可以 是 . (写出一个有序实数对即可)

13.设变量 x, y 满足约束条件 ? .

? x ? y ≥ 0, 则目标函数 2 x ? y 的最小值为 ??2 ≤ x ≤ 3.
1 ,他投球 10 次,恰好投进 3 个球的概率 2
y (毫克)

14.某篮运动员在三分线投球的命中率是

. (用数值作答) 15.为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知 药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量 y (毫克)与时 间 t (小时)成正比;药物释放完毕后, y 与 t 的函数关系式为

1

?1? y ?? ? ? 16 ?

t ?a

( a 为常数) ,如图所示.据图中提供的信息,回答

下列问题: (I)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量 y (毫克)与时

O 0.1

t (小时)

间 t (小时)之间的函数关系式为 ; (II)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时,学生方可进教室,那么 药物释放开始,至少需要经过 小时后,学生才能回到教室. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)

已知 △ ABC 的面积为 3 ,且满足 0 ≤ AB?AC ≤ 6 ,设 AB 和 AC 的夹角为 ? . (I)求 ? 的取值范围; ( II)求函数 f (? ) ? 2 sin2 ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

?π ? ?? ?? ?4 ?

3 cos 2 ? 的最大
分组 频数

值与最小值. 17. (本小题满分 12 分) 在生产过程中,测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的 一种量)共有 100 个数据,将数据分组如右表: (I)在答题卡上完成频率分布表,并在给定的坐标系 中画出频率分布直方图;

[1.30, 1.34) [1.34, 1.38) [1.38, 1.42)

4

25

30
29 10
2

[1.42, 1.46)
[1.46, 1.50) [1.50, 1.54)
合计

1.50) 中的概率及纤度小于 ( II )估计纤度落在 [1.38,
1.40 的概率是多少? (III)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值

100

(例如区间 [1.30, 1.34) 的中点值是 1.32 )作为代表.据此,估计纤度的期望.

18. (本小题满分 12 分) 如图,在 三棱锥 V ? ABC 中, VC ⊥ 底面 ABC , AC ⊥ BC , D 是 AB 的 中点,且

π? ? AC ? BC ? a , ?VDC ? ? ? 0 ? ? ? ? . 2? ?
(I)求证:平面 VAB ⊥ VCD ; (II)当解 ? 变化时,求直线 BC 与平面 VAB 所成的角的取值范围. V

C D A 19. (本小题满分 12 分)

B

在平面直角坐标系 xOy 中,过定点 C (0,p ) 作直线与抛物线 x2 ? 2 py ( p ? 0 )相交于

A,B 两点. (I)若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点,求 △ ANB 面积的最小值;
(II) 是否存在垂直于 y 轴的直线 l , 使得 l 被以 AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存 在,求出 l 的方程;若不存在,说明理由. y

C A O N (此题不要求在答题卡上画图) 20. (本小题满分 13 分) 已知定义在正实数集上的函数 f ( x ) ?

B x

1 2 x ? 2ax , g ( x) ? 3a2 ln x ? b ,其中 a ? 0 .设两 2

曲线 y ? f ( x) , y ? g ( x) 有公共点,且在该点处的切线相同. (I)用 a 表示 b ,并求 b 的最大值;

(II)求证: f ( x) ≥ g ( x) ( x ? 0 ) . 21. (本小题满分 14 分) 已知 m ,n 为正整数, (I)用数学归纳法证明:当 x ? ?1 时, (1 ? x)m ≥1 ? mx ;

1 ? 1 m ? 1 ? ? (II)对于 n ≥ 6 ,已知 ?1 ? ? ? ,求证 ?1 ? ? ? , 2 2 ? n?3? ? m?3? m ? ?1? ? 2, ?,n ; 求证 ?1 ? ? ? ? ? , m ? 1, ? n?3? ? 2?
(III)求出满足等式 3n ? 4n ? ? ? (n ? 2)n ? (n ? 3)m 的所有正整数 n .
m m

m

m

2007 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)

数学(理工农医类)试题参考答案
一、选择题:本题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 50 分. 1.B 2.A 3.B 4.D 5.C 6.B 7.A 8.D 9.C 10.A 二、填空题:本题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 25 分. 11. 6;

1 2

1) (或满足 a ? 2b 的任一组非零实数对 (a,b) ) 12. (2,

13. ?

3 2

14.

15 128

? 1? ? ? 0 ≤ t ≤ ?, ?10t, 10 ? ? ? 15. y ? ? ;0.6 1 t? 10 1? ?? 1 ? ? ?t ? ? ?? 16 ? , ? 10 ? ?? ?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16.本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本 知识,考查推理和运算能力. ,B,C 的对边分别为 a,b,c , 解: (Ⅰ)设 △ ABC 中角 A 则由

1 ?π π? bc sin ? ? 3 , 0 ≤ bc cos ? ≤ 6 ,可得 0 ≤ cot ? ≤1,∴? ? ? , ? . 2 ?4 2?
2

(Ⅱ) f (? ) ? 2sin ?

? ?π ? ?π ?? ? ? ? ? 3 cos 2? ? ?1 ? cos ? ? 2? ? ? ? 3 cos 2? ?4 ? ?2 ?? ?

π? ? ? (1 ? sin 2? ) ? 3 cos 2? ? sin 2? ? 3 cos 2? ? 1 ? 2sin ? 2? ? ? ? 1. 3? ?

π ? π 2π ? π? ? ?π π? ∵? ? ? , ? , 2? ? ? ? , ? ,∴ 2 ≤ 2sin ? 2? ? ? ? 1≤ 3 . 3 ?6 3 ? 3? ? ?4 2?
即当 ? ?

5π π 时, f (? )max ? 3 ;当 ? ? 时, f (? )min ? 2 . 12 4

17.本小题主要考查频率分布直方图、概率、期望等概念和用样本频率估计总体分布的统计 方法,考查运用概率统计知识解决实际问题的能力. 解: (Ⅰ) 分组 频数 4 25 30 29 10 2 100 频率 0.04 0.25 0.30 0.29 0.10 0.02 1.00

, ? ?1.301.34

1.38? ?1.34, , ? ?1.381.42 , ? ?1.421.46 , ? ?1.461.50 , ? ?1.501.54
合计

频率/组距

1.30 1.34 1.38 1.42 1.46 1.50 1.54

样本数据

(Ⅱ)纤度落在 ?1.381.50 , ? 中的概率约为 0.30 ? 0.29 ? 0.10 ? 0.69 ,纤度小于 1.40 的概率 约为 0.04 ? 0.25 ?

1 ? 0.30 ? 0.44 . 2

(Ⅲ)总体数据的期望约为

1.32 ? 0.04 ? 1.36 ? 0.25 ? 1.40 ? 0.30 ? 1.44 ? 0.29 ? 1.48 ? 0.10 ? 1.52 ? 0.02 ? 1.4088 .

18.本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识,考查空间想象能力和推理运 算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力. 解法 1: (Ⅰ)∵ AC ? BC ? a ,∴△ ACB 是等腰三角形,又 D 是 AB 的中点, ∴ CD ? AB ,又 VC ? 底面 ABC .∴VC ? AB .于是 AB ? 平面 VCD . 又 AB ? 平面 VAB ,∴ 平面 VAB ? 平面 VCD . (Ⅱ) 过点 C 在平面 VCD 内作 CH ? VD 于 H ,则由(Ⅰ)知 CD ? 平面 VAB . 连接 BH ,于是 ?CBH 就是直线 BC 与平面 VAB 所成的角. 在 Rt△CHD 中, CH ?

2 a sin ? ; 2 2 sin ? ? sin ? . 2

设 ?CBH ? ? ,在 Rt△BHC 中, CH ? a sin ? ,∴

∵0 ? ? ?

π , 2

∴ 0 ? sin ? ? 1 , 0 ? sin ? ?
又 0 ≤? ≤

2 . 2

V

π π ,∴ 0 ? ? ? . 2 4

H

即直线 BC 与平面 VAB 所成角的取值范围为 ? 0, ? . A

? ?

π? 4?

C D

B

CV 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立如图所示的空间 解法 2: (Ⅰ)以 CA,CB ,

0,, 0) A(a, 0,, 0) B(0,a,, 0) D ? , , 0 ?,V ? 0, 0, 直角坐标系,则 C (0, ? 于是, VD ? ? , , ??? ? ?a a ?2 2 ?

?a a ?2 2

? ?

? ? ?

? 2 a tan ? ? ?, 2 ?

? ? a a ? ??? ? ? ??? 2 a tan ? ? , CD ? ? , , , AB ? (?a,a 0 , 0) . ? ? 2 ?2 2 ? ? ?a a ?2 2 ? ? 1 2 1 2 a ? a ? 0 ? 0 ,即 AB ? CD . 2 2

从而 AB · CD ? (?a,a, 0) ·? ,, 0? ? ?

??? ? ??? ?

· VD ? (?a,a, 0) ·? ,, ? 同理 AB

??? ? ??? ?

?a a ?2 2 ?

? 2 1 1 a tan ? ? ? ? a2 ? a2 ? 0 ? 0 , ? 2 2 2 ?

即 AB ? VD .又 CD ? VD ? D ,∴ AB ? 平面 VCD . 又 AB ? 平面 VAB . ∴ 平面 VAB ? 平面 VCD . (Ⅱ)设直线 BC 与平面 VAB 所成的角为 ? ,平面 VAB 的一个法向量为 n ? ( x,y,z ) ,

??? ? ??? ? 则由 n · AB ? 0,n · VD ? 0 .

z V

C

??ax ? ay ? 0, ? 得 ?a a 2 az tan ? ? 0. ? x? y? ?2 2 2 ??? ? 可取 n ? (11 , ,2 cot ? ) ,又 BC ? (0, ? a, 0) ,
??? ? n · BC a 2 ? sin ? , 于是 sin ? ? ??? ? ? 2 2 n· BC a · 2 ? 2 cot ?
∵0 ? ? ? π 2 ,∴ 0 ? sin ? ? 1 , 0 ? sin ? ? . 2 2

又 0 ≤? ≤

π π ,∴ 0 ? ? ? . 2 4

即直线 BC 与平面 VAB 所成角的取值范围为 ? 0, ? . 解法 3: (Ⅰ)以点 D 为原点,以 DC,DB 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴,建立如图所示

? ?

π? 4?

0,, 0) A ? 0, ? 的 空间 直角 坐标 系,则 D(0,

? ? ?

? ? ? ? ? 2 2 2 a, 0? ,B ? 0, a, 0? ,C ? ? a, 0, 0? ? ? ? ? ?, 2 ? ? 2 ? ? 2 ?

???? ? ? ? ? ???? ? ? 2 2 2 2 2 V? ? a , 0 , a tan ? a , 0 , a tan ? a , 0 , 0 ,于是 DV ? ? ? , DC ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ?, 2 2 ? ? ? ? ? ? ??? ? AB ? (0,2a, 0) .
从而 AB · DC ? (0,2a, 0)· ? ?

??? ? ????

? ? ?

? 2 a, 0, 0? ? ? 0 ,即 AB ? DC . 2 ? ? 2 2 a, 0, a tan ? ? ? ? 0 ,即 AB ? DV . 2 2 ?

· DV ? (0, 2a, 0) ? ? 同理 AB

??? ? ????

? ? ?

又 DC ? DV ? D ,∴ AB ? 平面 VCD . 又 AB ? 平面 VAB , ∴ 平面 VAB ? 平面 VCD . (Ⅱ)设直线 BC 与平面 VAB 所成的角为 ? ,平面 VAB 的一个法向量为 n ? ( x,y,z ) ,

? 2ay ? 0, ??? ? ???? ? 则由 n · AB ? 0,n · DV ? 0 ,得 ? 2 2 ax ? az tan ? ? 0. ?? ? 2 2

??? ? ? ? 2 2 ? a, 0? 0, 1) ,又 BC ? ? 可取 n ? (tan ?, ? ? 2 a, ?, 2 ? ?

V

2 ??? ? a tan ? n · BC 2 2 ? sin ? , 于是 sin ? ? ??? ? ? 2 a · 1 ? tan ? n· BC
π 2 ∵ 0 ? ? ? ,∴ 0 ? sin ? ? 1 , 0 ? sin ? ? . 2 2
又 0 ≤? ≤ A

C D

B x

y

π π ,∴ 0 ? ? ? , 2 4

即直线 BC 与平面 VAB 所成角的取值范围为 ? 0, ? .

? ?

π? 4?

,CB,CV 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立如图所示的空间直角坐 解法 4:以 CA
标系,则 C (0, 0,, 0) A(a, 0,, 0) B(0,a,, 0) D ? , , 0? .

?a a ?2 2

? ?

0,t )(t ? 0) . 设 V (0,
(Ⅰ)CV ? (0, 0,t ), CD ? ? , , 0 ?, AB ? (?a,a, 0) ,

??? ?

??? ?

?a a ?2 2

? ? ??? ?

??? ? ??? ? AB · CV ? (?a,a, 0) · (0, 0,t ) ? 0 ? 0 ? 0 ? 0 ,
即 AB ? CV .

z V

??? ? ??? ? a2 a2 ?a a ? AB · CD ? (?a,a, 0) ·? ,, 0? ? ? ? ? 0 ? 0 , 2 2 ?2 2 ?
即 AB ? CD . 又 CV ? CD ? C ,∴ AB ? 平面 VCD . 又 AB ? 平面 VAB , ∴ 平面 VAB ? 平面 VCD . (Ⅱ)设直线 BC 与平面 VAB 所成的角为 ? , 设 n ? ( x,y,z ) 是平面 VAB 的一个非零法向量, A x

C D

B

y

??? ? ?n · AB ? ( x,y,z· ) (?a,a, 0) ? ?ax ? ay ? 0, ? 则 ? ???? 取 z ? a ,得 x ? y ? t . n · AV ? ( x , y , z · ) ( ? a , 0 , t ) ? ? ax ? tz ? 0 , ? ? ??? ? 可取 n ? (t,t,a) ,又 CB ? (0,a, 0) ,

??? ? ta n · CB t 于是 sin ? ? ? ? ??? ? ? n · CB a· t 2 ? t 2 ? a 2 2t 2 ? a

1 ?a? 2?? ? ?t?
2



∵t ? (0, ? ∞) , sin ? 关于 t 递增.

∴ 0 ? sin ? ?

1 ? π? ,∴? ? ? 0, ? . 2 ? 4?

即直线 BC 与平面 VAB 所成角的取值范围为 ? 0, ? . 19.本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识,考查综合运用数学知识 进行推理运算的能力和解决问题的能力.

? ?

π? 4?

? p) ,可设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) , 解法 1: (Ⅰ)依题意,点 N 的坐标为 N (0, x 直 线 AB 的 方 程 为 y ? k ? p 与 x2 ? 2 p y联 立 得 ? ,
? x 2 ? 2 p, y
消 去 y 得

x . p ?y ? k ?
y

x2 ? 2 pkx ? 2 p2 ? 0 .
由韦达定理得 x1 ? x2 ? 2 pk , x1 x2 ? ?2 p2 . 于是 S△ ABN ? S△ BCN ? S△ ACN ? · 2 p x1 ? x2 .

B C A O N x

1 2

? p x1 ? x2 ? p ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2
? p 4p k ?8p ? 2p
2 2 2 2

k ?2 ,
2

∴ 当 k ? 0 时, (S△ABN )min ? 2 2 p2 .
(Ⅱ)假设满足条件的直线 l 存在,其方程为 y ? a ,

AC 的中点为 O? , l 与 AC 为直径的圆相交于点 P , Q,PQ 的中点为 H ,
则 O?H ? PQ , Q? 点的坐标为 ?

? x1 y1 ? p ? , ?. 2 ? ?2

y

∵ O?P ?

1 1 2 1 AC ? x1 ? ( y1 ? p ) 2 ? y12 ? p 2 , 2 2 2

B l A

O?H ? a ?

y1 ? p 1 ? 2a ? y1 ? p , 2 2

O?

C O N

x

∴ PH ? O?P ? O?H ?

2

2

2

1 2 1 ( y1 ? p 2 ) ? (2a ? y1 ? p) 2 4 4

p? ? ? ? a ? ? y1 ? a( p ? a) , 2? ?

?? p? ? 2 ∴ PQ ? (2 PH ) 2 ? 4 ?? a ? ? y1 ? a( p ? a) ? . 2? ?? ?
令a?

p p p ?0, 得a ? , 此时 PQ ? p 为定值, 故满足条件的直线 l 存在, 其方程为 y ? , 2 2 2

即抛物线的通径所在的直线. 解法 2: (Ⅰ)前同解法 1,再由弦长公式得

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2· ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2· 4 p 2 k 2 ? 8 p 2

? 2 p 1 ? k 2· k 2 ? 2 ,
又由点到直线的距离公式得 d ?

2p 1? k 2
2



从而 S△ ABN ? · d · AB ? · 2 p 1 ? k · k ? 2 ·
2

1 2

1 2

2p 1? k
2

? 2 p2 k 2 ? 2 ,

∴ 当 k ? 0 时, (S△ABN )min ? 2 2 p2 .
(Ⅱ)假设满足条件的直线 l 存在,其方程为 y ? a ,则以 AC 为直径的圆的方程为

( x ? 0)( x ? x1 ) ? ( y ? p)( y ? y1 ) ? 0 ,
将直线方程 y ? a 代入得 x2 ? x1 x ? (a ? p)(a ? y1 ) ? 0 ,
2 则 △? x1 ? 4(a ? p)(a ? y1 ) ? 4 ?? a ?

?? ??

p? ? ? y1 ? a( p ? a) ? . 2? ?

设直线 l 与以 AC 为直径的圆的交点为 P( x3,y3 ),Q( x4,y4 ) , 则有 PQ ? x3 ? x4 ? 令a?

?? p? ? p? ? 4 ?? a ? ? y1 ? a ( p ? a ) ? ? 2 ? a ? ? y1 ? a ( p ? a) . 2? 2? ? ?? ?

p p p ?0, 得a ? , 此时 PQ ? p 为定值, 故满足条件的直线 l 存在, 其方程为 y ? , 2 2 2

即抛物线的通径所在的直线. 20.本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识,考查综合运用数学知识解决问题的 能力. 解: (Ⅰ)设 y ? f ( x) 与 y ? g ( x)( x ? 0) 在公共点 ( x0,y0 ) 处的切线相同.

∵ f ?( x) ? x ? 2a , g ?( x) ?

3a 2 ,由题意 f ( x0 ) ? g ( x0 ) , f ?( x0 ) ? g ?( x0 ) . x

?1 2 x0 ? 2ax0 ? 3a 2 ln x0 ? b, ? 3a 2 ?2 即? 由 x0 ? 2a ? 得: x0 ? a ,或 x0 ? ?3a (舍去) . 2 x0 ? x0 ? 2a ? 3a , ? x0 ?
1 2 5 a ? 2a 2 ? 3a 2 ln a ? a 2 ? 3a 2 ln a . 2 2 5 2 2 令 h(t ) ? t ? 3t ln t (t ? 0) ,则 h?(t ) ? 2t (1 ? 3ln t ) .于是 2
即有 b ? 当 t (1 ? 3ln t ) ? 0 ,即 0 ? t ? e 3 时, h?(t ) ? 0 ; 当 t (1 ? 3ln t ) ? 0 ,即 t ? e 3 时, h?(t ) ? 0 .
1 ? ? ? 1 ? 3 3 0 , e ? ∞ ? 为减函数, 故 h(t ) 在 ? ? 为增函数,在 ? e , ? ? ? ?

1

1

? ∞) 的最大值为 h ? e 3 ? ? 于是 h(t ) 在 (0,
? ?
(Ⅱ)设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 则 F ?( x) ? x ? 2a ?

?

1

?

2 3 3 e . 2

1 2 x ? 2ax ? 3a 2 ln x ? b( x ? 0) , 2

3a 2 ( x ? a)( x ? 3a) ? ( x ? 0) . x x

? ∞) 为增函数, 故 F ( x) 在 (0,a) 为减函数,在 (a, ? ∞) 上的最小值是 F (a) ? F ( x0 ) ? f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? 0 . 于是函数 F ( x) 在 (0,
故当 x ? 0 时,有 f ( x) ? g ( x) ≥ 0 ,即当 x ? 0 时, f ( x) ≥ g ( x) . 21.本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能,考查分 析问题能力和推理能力. 解法 1: (Ⅰ)证:用数学归纳法证明: (ⅰ)当 m ? 1 时,原不等式成立;当 m ? 2 时,左边 ? 1 ? 2 x ? x ,右边 ? 1 ? 2 x ,
2

因为 x

2

≥ 0 ,所以左边≥ 右边,原不等式成立;
k

(ⅱ)假设当 m ? k 时,不等式成立,即 (1 ? x)

≥1 ? kx ,则当 m ? k ? 1时,

∵ x ? ?1,∴1 ? x ? 0 ,于是在不等式 (1 ? x)k ≥1 ? kx 两边同乘以 1 ? x 得

(1 ? x)k · (1 ? x) ≥ (1 ? kx)(1 ? x) ? 1 ? (k ? 1) x ? kx2 ≥1 ? (k ? 1) x ,
所以 (1 ? x)k ?1 ≥1 ? (k ? 1) x .即当 m ? k ? 1 时,不等式也成立. 综合(ⅰ) (ⅱ)知,对一切正整数 m ,不等式都成立.

1 ? m ? (Ⅱ)证:当 n ≥ 6,m ≤ n 时,由(Ⅰ)得 ?1 ? ? 0, ? ≥1 ? n?3 ? n?3? m ? 1 ? ? ? 于是 ?1 ? ? ≤ ?1 ? ? ? n?3? ? n?3?
n nm
n m ?? 1 ? ? ?1? , 2, ?,n . ? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ,m ?1 ? 2? ?? n ? 3 ? ? ? ? m

m

(Ⅲ)解:由(Ⅱ)知,当 n ≥ 6 时,

1 ? ? 2 ? n ? 1 ?1? 1 ? ? ?1? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 1? n ? 1 , 2 ? n?3? ? n?3? ? n?3? 2 ? 2? ?2?
? n ? 2 ? ? n ?1 ? ? 3 ? ∴? ? ?? ? ??? ? ? ? 1. ? n?3? ? n?3? ? n?3?
即 3n ? 4n ? ? ? (n ? 2)n ? (n ? 3)n .即当 n ≥ 6 时,不存在满足该等式的正整数 n .
n n n

n

n

n

2

n

, 2, 3, 4, 5 的情形: 故只需要讨论 n ? 1
当 n ? 1 时, 3 ? 4 ,等式不成立; 当 n ? 2 时, 3 ? 4 ? 5 ,等式成立;
2 2 2

当 n ? 3 时, 3 ? 4 ? 5 ? 6 ,等式成立;
3 3 3 3

当 n ? 4 时,3 ? 4 ? 5 ? 6 为偶数, 而 7 为奇数, 故3 ? 4 ?5 ?6 ? 7 , 等式不成立;
4 4 4 4

4

4

4

4

4

4

当 n ? 5 时,同 n ? 4 的情形可分析出,等式不成立. 3. 综上,所求的 n 只有 n ? 2, 解法 2: (Ⅰ)证:当 x ? 0 或 m ? 1 时,原不等式中等号显然成立,下用数学归纳法证明:
m 当 x ? ?1 ,且 x ? 0 时, m ≥ 2 , (1 ? x) ? 1 ? mx .


2

(ⅰ)当 m ? 2 时,左边 ? 1 ? 2 x ? x ,右边 ? 1 ? 2 x ,因为 x ? 0 ,所以 x ? 0 ,即左边 ?
2

右边,不等式①成立; (ⅱ)假设当 m ? k (k ≥ 2) 时,不等式①成立,即 (1 ? x) ? 1 ? kx ,则当 m ? k ? 1 时,
k

因为 x ? ?1 ,所以 1 ? x ? 0 .又因为 x ? 0,k ≥ 2 ,所以 kx ? 0 .
2

于是在不等式 (1 ? x) ? 1 ? kx 两边同乘以 1 ? x 得
k

(1 ? x)k · (1 ? x) ? (1 ? kx)(1 ? x) ? 1 ? (k ?1) x ? kx2 ? 1 ? (k ?1) x ,

所以 (1 ? x)k ?1 ? 1 ? (k ? 1) x .即当 m ? k ? 1时,不等式①也成立. 综上所述,所证不等式成立.
m m n ?? 1 ? ? ?1? 1 ? 1 ? (Ⅱ)证:当 n ≥ 6 , m ≤ n 时,∵?1 ? , ∴ 1 ? ? ? ?? ? ? ? ? , ? n ? 3 ? ? ? ? n?3? 2 ? ? ? ? 2? n

1 ? m ? 而由(Ⅰ) , ?1 ? 1 ? 0 ? , ? ≥ n?3 ? n?3?
n m m ?? m ? 1 ? ? ?1? ? ∴?1 ? ? ≤ ?? 1 ? ? ? ?? ? . ? n?3? ?? n ? 3 ? ? ? ?2? ? n

m

(Ⅲ)解:假设存在正整数 n0 ≥ 6 使等式 3 0 ? 4 0 ? ? ? (n0 ? 2)
n n

n0

? (n0 ? 3)n0 成立,

? 3 ? ? 4 ? ? n0 ? 2 ? 即有 ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? 1. ? n0 ? 3 ? ? n0 ? 3 ? ? n0 ? 3 ? ? 3 ? ? 4 ? ? n0 ? 2 ? 又由(Ⅱ)可得 ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? n0 ? 3 ? ? n0 ? 3 ? ? n0 ? 3 ? ? ? n ?1 ? ? n ? 1 ? ? ?1 ? 0 ? ? ?1 ? 0 ? ? ? ? ?1 ? ? ? n0 ? 3 ? ? n0 ? 3 ? ? n0 ? 3 ?
n n ?1
n0 n0 n0 n0 n0 n0

n0

n0

n0



0 0 1 1 ?1? ?1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? n0 ? 1 ,与②式矛盾. 2 2 ? 2? ? 2?

故当 n ≥ 6 时,不存在满足该等式的正整数 n . 下同解法 1.


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