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2012江苏省数学竞赛《提优教程》第50讲 直线与区域


第 10 讲
A 类例题

直线与区域

直线是平面上最简单、最常见的几何图形.在解析几何中,直线是最基本的研究对象之 一,它既能反映直线运动的规律,又是解决平面几何中直线型问题的强有力的工具.

例 1.直线 bx+ay=ab(a<0、b<0)的倾斜角是( b A.arctan(-a) b C.π-arcta

n(- ) a a B.arctan(-b)

)

b D.π-arctan (1993 年全国高考题) a

分析 直线方程的四种特殊形式,都可以化为直线方程的一般形式,但直线方程的一般形 式不一定都能化为四种特殊形式,这与系数 A、B、C 是否为零有关.要会根据需要在直线方 程的各种形式之间进行转换.本题为直线方程的一般形式,先化为斜截式,由直线的斜率, 得出直线的倾斜角. b b 解 因为 a≠0,则方程 bx+ay=ab 化为 y=- x+b,方程的斜率为 k=- , a a b 又 a<0、b<0,则- <0. a b 故直线的倾斜角是 π-arctan ,选 D. a 说明 直线方程的常用形式为:(1)点斜式:y-y0=k(x-x0);(2)斜截式:y=kx+b;(3) y-y1 x-x1 两点式: = ; y2-y1 x2-x1 x y (4)截距式: + =1;(5)一般式:Ax+By+C=0. a b 此外有时为了解决问题的方便还可能用到: (1)法线式:xcos?+ysin?-p=0(?∈ [0,2?),p≥0,任何直线都 可用法线式表示),?为 直线的法线角(法线与 x 轴正向所成的角),p 为法线长(原点到直线的距离);
? (2)参数式: ?x=x0+at, ?y=y0+bt. ?x=x0+tcosα, (t 为参数); ?? (t 为参数, t 表示点(x0, y0)到点(x, ? y=y0+tsinα.

y)的线段的数量,?为直线的倾斜角); → → → → → → (3)向量式:OP=OA+? AB (λ∈ R),OP=? OA+(1-?)OB,(λ∈ R)等. 在解决问题的过程中要注意灵活运用各种形式. 例 2.已知直线 l1 和 l2 夹角的平分线为 y=x,如果 l1 的方程是 ax+by+c=0(ab>0),那么 l2 的方程是( ) A.bx+ay+c=0 B.ax-by+c=0 C.bx+ay-c=0 D.bx-ay+c=0 (1992 年全国高考题) 分析 直线 l1 和 l2 夹角的平分线为 y=x,则直线 l1 和 l2 关于直线 y=x 对称. 解 由于点(x,y)关于直线 y=x 的对称点为(-y,-x),故 ax+by+c=0 关于直线 y=x 的 对称的直线为 ay+bx +c=0,即 l2 的方程是 bx+ay+c=0.故选 A. 说明 解析几何中对称的问题在高考和竞赛中经常出现,对称有两种: 1.中心对称:点 P(x0,y0)关于点(h,k)的中心对称的点为(2h-x0,2k-y0);点 P(x0,

y0)关于原点(0,0)的中心对称的点为(-x0,-y0); 2.轴对称:(1)点 P(x0,y0)关于 x 轴的对称点为(x0,-y0); (2)点 P(x0,y0)关于 y 轴的对称点为(-x0,y0); (3)点 P(x0,y0)关于直线 x=a 的对称点为(2a-x0,y0); (4)点 P(x0,y0)关于直线 y=b 的对称点为(x0,2b-y0); (5)点 P(x0,y0)关于直线 y=x 的对称点为(y0,x0); (6)点 P(x0,y0)关于直线 y=-x 的对称点为(-y0,-x0); (7)点 P(x0,y0)关于直线 x+y=a 的对称点为(a-y0,a-x0); (8)点 P(x0,y0)关于直线 x-y=a 的对称点为(a+y0,x0-a); (9)点 P(x0,y0)关于直线 Ax+By+C=0 的对称点,可先设对称点为(x,y),列出方程组
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y-y0 B ? ? = , x-x0 A ? 解此方程组即可得对称点坐标. ? ? A(x+x0)+B(y+y0)+2C=0.

? ?2x+5y≥10, 例 3.在约束条件?2x-3y≥-6,下,求 z=x2+y2 的最大值和最小值.(1999 年浙江高考 ? ?2x+y≤10
模拟题) 分析 本题可以借助于线性规划问题的求解方法解决这一问题,关键是怎样理解目标函数的 几何意义,z=x2+y2=( x2+y2)2 表示的是区域上的点与原点的距离的平方,理解这一点问题就 不难解决了. 解 约束条件表示的区域如图中 ΔABC 所围成的区域(包括边界). 因为 z=( x2+y2)2,所以 z 表示区域上的点与原 又由图可知, 区域中与原点距离最远的点为 A 或 C 可知 zmax=25. 过 O 作 OD⊥BC,垂足为 D,则区域中与原点距 直线 BC 为 2x+5y=10,所以|OD|= 10 10 , 2 2= 29 2 +5
y B D O C x A

点的距离的平方. 点,则由 A(3,4) 离最近的点为 D, 100 则 zmin= 29 .

100 综上所述,z=x2+y2 的最大值为 25,最小值为 29 . 说明 在解决区域的有关问题时,一般要利用数与形的结合,将需要解决的问题在图形中 表现出来,因此正确地画出不等式(组)所表示的区域就成为解题时一个重要的环节.

情景再现
1.(1)要使直线 l1:(2m2+m-3)x+(m2-m)y=2m 与直线 l2:x-y=1 平行,求 m 的 值.(1989 年全国高考题) (2)直线 l1: ax+(1-a)y=3 与直线 l2: (a-1)x+(2a+3)y=2 互相垂直, 求 a 的值. (1985 年全国高考题) 2.已知平面上两点 A(4,1)和 B(0,4),在直线 l:3x-y-1=0 上找一点 M,使得|MA| -|MB|最大 ,求点 M 的坐标.(2002 年南通高考模拟题) x 3.由方程|x-6|+|y|=| |所对应的曲线围成的图形的面积是 2 海市 2000 年高中数学竞赛) ;(上

B 类例题

例 4.如图,在平面直角坐标系中,在 y 轴的正半轴(坐标原点除外)上给定两点 A(0, a)、 B(0, b)(0<b<a). 试在 x 轴的正半轴 (坐标原点除外) 上求点 C, 使∠ ACB 取得最大值. (1986 年全国高考题) 分析 已知两个定点的坐标和一个动点 C(x,0)的坐标,要求锐角∠ACB 的最大值,而 ∠ACB 恰好是直线 BC 与 AC 的倾斜角的差,故先求出直线 BC 与 AC 的斜率,即求出直线 BC 与 AC 的倾斜角的正切值,在利用三角函数的相关公式及不等式的性质求最值. π 解 设所求点 C 的坐标为(x, 0)(x>0),∠ACx=α,∠BCx=β,α、β∈( 2 ,π).
y

b-0 a-0 b a kBC= =-x ,kAC= =-x , 0-x 0-x b a 即 tanα=- ,tanβ=- , x x

A(0,a) B(0,b) O C(x,0) x

tanα-tanβ 因为∠ ACB=α-β,则 tan∠ ACB=tan(α-β)= . 1-tanαtanβ 设 y=tan∠ ACB, b a a b -x -(-x) x-x a-b a-b a-b (a-b) ab ab 则 y= = = 2ab ,当且仅当 x= x ,即 ba = ab= ab≤ ab 2 ab 1+ · 1 + 2 x+ xx x x 2 x·x x= ab时,y max= (a-b) ab (a-b) ab ,即 tan∠ ACB 的最大值为 . 2ab 2ab

(a-b) ab π 因为∠ ACB 为锐角, 在(0, )内, y=tanx 是增函数, 故∠ ACB 的最大值为 arctan , 2 2ab 此时 C 的坐标为( ab,0). 说明 本题是采用斜率来解决的, 事实上本题也 识来解决,如右图,当经过 A、B 这两个定点的圆 点为 C',此时∠ AC'B 最大(读者可以自行证明),故 最大,利用切割线定理,得|OC|2=ab,同样可以得 ( ab,0)时,∠ ACB 的最大值. |x+y| |x-y| 例 5. 在平面直角坐标系中, 方程 2a + 2b 可以用平面几何知 与 x 轴相切时,切 当 C 在 C'时∠ ACB 到 C 的坐标为
C(x,0) x

y A(0,a) B(0,b) O

=1(a,b 是不相等

的两个正数)所代表的曲线是( ) A.三角形 B.正方形 C.非正方形的长方形 D.非正方形的菱形 (1994 年全国高中数学联赛) 分析 分类讨论去绝对值即可解决本题. 解 x+y≥0,x-y≥0 时,(一、四象限角平分线之间)曲线方程为:(a+b)x+(b-a)y= 2ab; x+y≥0,x-y<0 时,(一、二象限角平分线之间)曲线方程为:(b-a)x+(a+b)y=2 ab; x+y<0,x-y≥0 时,(三、四象限角平分线之间)曲线方程为:(a-b)x-(a+b)y=2ab; x+y<0,x-y<0 时,(二、三象限角平分线之间)曲线方程为:-(a+b)x+(a-b)y=2ab. 四条直线在 a≠b 时围成一个菱形(非正方形). 故选 D. 例 6.已知直线 l1:y=4x 和 P(6,4).在直线 l1 上求一点 Q,使过 P、Q 的直线与 l1,以
[来源:Z_xx_k.Com]

及 x 轴,在第 I 象限内围成的 三角形的面积最小.(1978 年全国高中数学联赛) y-4 x-6 解 如图所示, 设 Q 点坐标为(x1, y1), y1=4x1, 则过 P、 Q 的直线 l2 的方程为 = , 4x1-4 x1-6 y l
1

5x1 PQ 与 x 轴交点 M 坐标为( ,0). x1-1 1 5x1 ΔOMQ 的面积 S=2· · 4x , x1-1 1 即 10x12-Sx1+S=0.
[来源:学科网]

l2 Q P

O

M

x

要使此方程有实根,则 S2-40S≥0,即 S≥40. 当 S=40 时,x1=2,即 x1=2 时,S 达到最小. 故所求 Q 点坐标为(2,8). 1 5 x1 1 5 x1 说明 本题的关键在于转化为求 S= · · 4x1 的最小值,对于求 S= · · 4x 的最小 2 x1-1 2 x1-1 1 10 值的方法很多,如 S=10(x1-1)+ +20≥10×2+20=40(x1>1). x1-1

情景再现
4.已知有向线段 PQ 的起点 P 和终点 Q 的坐标分别为(1,1)和(2,2),若直线 l:x+my +m=0 与 PQ 的延长线相交,则 m 的取值范围是 .(1994 年全国高中数学联 赛) 1 5.求满足条件 y≥|x+a|,y≤- x+a(a>0)的点组成的图形的面积.(1979 年山西省高 3 中数学竞赛) 6.设 R 为平面上以 A(4,1)、B(-1,-6)、C(-3,2)三点为顶点的三角形区域(包括三 角形的边界).试求当(x,y)在 R 上变动时,函数 4x-3y 的极大值和极小值.(须证明你的论 断)(1978 年全国高中数学竞赛)

C 类例题
1 1 例 7.设点 Bi(i,yi)(i∈N*)是直线 y= x+ 上的点.点 Ai(xi,0)满足 x1=a(0<a<1), 4 12 △AiBiAi+1 是以 Bi 为顶点的等腰三角形. (1)试求数列{xn}的通项公式; (2)是否存 在正数 a,使存在正整数 i,△AiBiAi+1 为直角三角形. 解 (1)满足 x1=a,xi+1=2i-xi(i=1,2,…). 下标加 1:xi+2=2(i+1)-xi+1, 相减得 xi+2-xi+1=xi-xi+1+2,即 xi+2=xi+2. 则数列 x1,x3,…,x2k-1,… y 与数列 x2,x4,…,x2k,…,分别为以 2 2 为公差的等差数列. 1 B3 ∴x2k-1=a+2(k-1) B2 B1 =2k+a-2; A1 1 A2 2 A3 3 A4 x 1 1 O x2k=2-a+2(k-1)=2k-a. y= x+
[来源:学科网 ZXXK]

?n+a-1,(n为奇数) ∴xn=? ? n-a, (n为偶数)

4

12

1 + + 也可写为 xn=n+(-1)n 1a- [1+(-1)n 1]. 2 1 1 (2)yn=4n+12. 1 1 当 n 为奇数时,取 n+ =n-(n+a-1)=1-a. 4 12 11 1 2 1 ∴a=12-4n.当 n=1 时,a=3,n=3 时,a=6. 1 1 当 n 为偶数时,取4n+12=n-(n-a)=a. 1 1 7 ∴a= n+ ,当 n=2,a= . 4 12 12 2 7 1 ∴当 a=3,12,6时,分别存在 i=1,2,3,使△AiBiAi+1 为直角三角 形. 例 8.在坐标平面上,是否存在一个含有无穷多直线 l1,l2,…,ln,…的直线族,它满足 条件: (1)点(1,1)∈ln,(n=1,2,3,……); (2)kn+1=an-bn,其中 kn+1 是 ln+1 的斜率,an 和 bn 分别是 ln 在 x 轴和 y 轴上的截距,(n =1,2,3,……); (3)knkn+1≥0,(n=1,2,3,……). 并证明你的结论.(1988 年全国高中数学联赛) 证明 设 an=bn≠0,即 kn-1=-1,或 an=bn=0,即 kn=1,就有 kn+1=0, 此时 an+1 不存在,故 kn≠±1. 1 现设 kn≠0,1,则 y=kn(x-1)+1,得 bn=1-kn,an=1- , kn 1 ∴kn+1=kn- .此时 knkn+1=kn2-1. kn ∴kn>1 或 kn<-1.从而 k1>1 或 k1<-1. 1 1 (1)当 k1>1 时, 由于 0< <1, 故 k1>k2=k1- >0, 若 k2>1,则又有 k1>k2>k3>0, k1 k1 1 1 1 依此类推,知当 km>1 时,有 k1>k2>k3>…>km>km+1>0,且 0< < <…< <1, k1 k2 km km+1=km- 1 1 1 1 2 m <k - =k - - <k - <…<k1- . km m k1 m-1 km-1 k1 m-1 k1 k1

m m0 由于 k1- 随 m 的增大而线性减小,故必存在一个 m 值,m=m0,使 k1- ≤1,从而 k1 k1 必存在一个 m 值 m=m1≤m0, 使 km1-1≥1, 而 1>km1=km1-1-k 0. 即此时不存在这样的直线族. 1 1 (2)当 k1<-1 时,同样有-1<k <0,得 k1<k2=k1-k <0.
1 1

1

m1-1

>0, 此时 km1· km1+1<

若 k2<-1,又有 k1<k2<k3<0,依此类推,知当 km<-1 时,有 k1<k2<k3<…<km

1 1 1 <km+1<0,且 0> > >…> >-1, k1 k2 km km+1=km- 由于 k1- 1 1 1 1 2 m >k - =k - - >k - >…>k1- . km m k1 m-1 km-1 k1 m-1 k1 k1

m m0 随 m 的增大而线性增大,故必存在一个 m 值,m=m0,使 k1- ≥-1,从 km k1 1 <0,此时
m1-1

而必存在一个 m 值,m=m1(m1≤m0),使 km1-1≤-1,而-1<km1=km1-k km1· km1+1<0. 即此时不存在这样的直线族. 综上可知这样的直线 族不存在. 说明 本题也可以这样解:由 kn· kn+1>0 知,kn 的符号相同, 当 kn>0 时,数列{kn}单调递减而有下界 0, 当 kn<0 时,数列{kn}单调递增而有上界 0,

1 1 lim 所以当 n→∞时,kn 有极限,不妨设为 k,于是nlim →∞kn+1=n→∞(kn-k ),即 k=k-k ,则- n 1 =0,不可能. k 故满足条件的直线族不存在.

情景再现
7. 对任意正整数 n, 连结原点 O 与点 An(n, n+3), 用 f(n)表示线段 OAn 上的整点个数(不 计端点),试求 f(1)+f(2)+…+f(1990).(1990 年全国高中数学联赛) 8.已知△ABC 是边长为 1 的正三角形,O 为其中心. 试问:过 O 点且两端落在△ABC 边上的线段中,哪几条最长?哪几条最短?它们各有多 长?证明你的结论.(1979 年天津市高中数学竞赛)

习题 50
1.直线 ax+by+c=0(a,b,c≠0)与直线 px+qy+m=0(p,q,m≠0)关于 y 轴对称的 充要条件是( ) b c A.q=m a b c C.p=q?m a b B.-p=q a b c D.-p=q=m

(湖南省 2001 年高中数学竞赛) 2.已知直线 ax+by+c=0 中的 a,b,c 是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的 3 个不同的元素, 并且该直线的倾斜角为锐角, 那么这样的直线的条数是 . (1999 年全国高中数学联) 3.在坐标平面上,纵横坐标都是整数的点叫做整点,我们用 I 表示所有直线的集合,M 表示恰好通过 1 个整点的集合, N 表示不通过任何整点的直线的集合, P 表示通过无穷多个整 点的直线的集合.那么表达式(1)M∪N∪P=I;(2)N≠?.(3)M≠?.(4)P≠? 中,正确的表 达式的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4

(1988 年全国高中数学联) 4.对平面区域 D,用 N(D)表示属于 D 的所有整点(即 xOy 平面上坐标 x,y 都是整数的 点)的个数,若 A 表示由曲线 y=x2(x≥0)和两直线 x=10,y=1 所围成的区域(包括边界)则 N(A∪B)+N(A∩B)= ;(上海市 1992 年高中数学竞赛) 5.设全集 I={(x,y)|x,y∈R},集合 A={(x,y)|xcosθ+ysinθ-2=0,x,y,θ∈R}则 在 XOY 平面上集合的元素的对应点构成的图形的面积为 ; (上海市 1992 年高中数学竞赛) 6.在平面直角坐标系 xOy 中,给定两点 M(-1,2)和 N(1,4),点 P 在 x 轴上移动,当 ∠MPN 取最大值时,点 P 的横坐标为 ;(2004 年全国高中数学联赛)

?y≤3xx, 7.直角坐标平面上,满足不等式组? y≥3, 的整点个数是 ? x+y≤100

.(1995 年全国高中

数学联赛) 8. 设有直线 l 及 l 同旁的两点 P、 Q, 求平面上一点 R, 使 RS⊥ l 于点 S, 且|RP|+|RQ|+|RS| 取最小值.

本节“情景再现”解答: 1.(1)因为 l2 的斜率为 k2=1,l1 与 l2 平行,则 k1=1,且 l1 与 l2 不重合,即 y 轴上的截距 2m2+m-3 不相等.由- =1 且 m2-m≠0,解得 m=-1,但 m=-1 时,l1 与 l2 重合,故 m2-m 舍去,所以 m 无解. (2)由于 l1 与 l2 垂直,则 a(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得 a=1 或 a=-3. 2.设点 C 的坐标为(x0,y0),可解得 x0=3,y0=3.则射线 AC 的方程为 2x+y-9=0(x
?2x+y-9=0, ≤4). 又直线 l 的方程为 3x-y-1=0, 从而解方程组? 可得 M 的坐标为(2, 5). ?3x-y-1=0

3.24.

2 4.-3<m<- . 3

y C(-3a,2a) B(0,a) A(-a,0) O x

1 5.如图所示,y≥|x+a|,y≤- x+a(a 3 分为 RtΔABC 的内部及边界,其中∠BAC= 别为 A(-a,0),B(0,a),C(-3a,2a),所 |AB|· |AC|=2a2.即所求图形的面积为 2a2.

> 0) 所围成的部 90° , 各点坐标分 以 1 SΔABC = 2

1 6.令 4x-3y=t,则此直线在 x 轴上的截距即为4t.分别以 A、B、C 的值代入,得相应 的 t=13,14,-1 8.即 4x-3y 的极大值为 14,极小值为-18. n+3 7.线段 OAn 的方程为 y= n x(0≤x≤n),故 f(n)等于该线段内的格点数.若 n=3k(k k +1 ∈N+),则得 y= x(0≤x≤n)(k∈N*),其内有两个整点(k,k+1),(2k,2k+2),此时 f(n) k =2;若 n=3k± 1(k∈N+)时,则由于 n 与 n+3 互质,故 OAn 内没有格点,此时 f(n)=0.从
y C O E A D x B

1990 而 f(1)+f(2)+…+f(1990)=2[ ]=1326. 3 8.如图,以 A 为原点建立直角坐标系 xAy,则直线 AB 的方程为 y= 3x,直线 AC 的方 3 程为 y=- 3x,过 O 点的直线方程为 y=kx+ 3 .不失一般性,我们可以考虑 0≤k≤k0, 其中 k0 表示 OB 的斜率, 于是得 D、 E 的坐标分别为(
2

-1 1 1 1 , ), ( , ), 3( 3-k) 3-k 3( 3+k) 3+k

2 1 1 1 2 1 1 2 4(1+k) 则|DE| =3( + ) +( - )= ,可见当 k 最小即 k=0 时,DE 最 (3-k2)2 3- k 3+k 3-k 3+k

2 短,此时 DE∥BC,且 DE= ;当 k 最大即 k=k0 时,DE 最长,此时 DE 过顶点 B,且 DE 3 = 3 .由图形的对称性,最长与最短的线段都各有三条. 2 “习题 50”解答: 1.D. 2.43 条. 3.D. 4.1010. 5.xcosθ+ysinθ-2=0 表示与原点距离=2 的直线.当 θ 变化时,图形为圆 x2+y2=4
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

上及外的所有点.故?IA 的面积=4π. 6.当∠MPN 最大时,⊙MNP 与 x 轴相切于 MNP 与 x 轴交于 PQ,则线段 PQ 上的点 P?使∠ 是,延长 NM 交 x 轴于 K(-3,0),有 KM·KN 4.P(1,0),(-7,0),但(1,0)处⊙MNP 的半 的横坐标为 1. 7.2551.提示:如图,即△OAB 内部及边 点.由两轴及 x+y=100 围成区域(包括边界)内 1 +2+3+…+101=5151 个.由 x 轴、y= x,x+y 3 1 域(不包括 y=3x 上)内的整点数(x=1, 2, 3 时各有 1
100

y
M O K P

N

x

点 P( 否 则 ⊙ MP?N 更大).于 = KP2 , ?KP = 径小,从而点 P 界 上 的 整 的整点数为 1

y y=3x
B(25,75)

=100 围成区
1 y= x 3

个整点, x=4,

A(75,25) 20 5,6 时各有 2 个整点,…,x=73,74,75 时有 25 个整点,x= x 100 O 20 76, 77, …, 100 时依次有 25, 24, …, 1 个整点. 共 有 3×1+3× 2+…+3×25+25+24+…+1=4(1+2+…+25) =1300.由对 称性,由 y 轴、y=3x、x+y=100 围成的区域内也有 1300 个整点.故所求区域内共有 5151 -2600=2551 个整点. 8.以 l 为 x 轴,使 P 在 y 轴上,Q 在第一象限,建立坐标系.设 P(0,a),Q(c,d),R(x, y) , y≥0, ?(x , y)= y (c,d+a) y |RP| + |RQ| + |RS| . 则 ?(x , y) =

Q (c,d)
a

(0,2y) a

?
P R (x,y) S

Q (c,d)

P R (x,y)

(0, y)

x2+(y-a)2 + 2 (x-c) +(y-d)2 +y. x2+(y-a)2 + 2 (x-c) +(y-d)2 可看作是点(x, 0)与点 (0,y-a)及(c,y-d)

O

S

x

O

x

距离和的最小值.由三角形不等式知

?(x , y)≥ c2+(2y-a-d)2 + y = c2+(2y-a-d)2 + 02+(2y-y)2 .等号当且仅 当 x = c(y-a) 时成立.这又可看作是点(0,2y)到(c,a+d)及(0,y)距离的和.设角参数 α:则?(x, 2y-a-d
y)≥ c 1 1 cos? 1 1 ? ? 1 + (a+d-ccot?)=c( - )+ (a+d)(用万能代换 )= c(3tan +cot )+ (a 2 2 4 2 2 2 sin? sin? 2sin?

3 1 3 1 3 ? +d)≥ 2 c+2(a+d). 其中等号当且仅当 tan2 = 3 , 即 α=60° 时成立. 此时 y=2(a+d)- 6 3 1 3 1 1 3 c,x= 2 (a-d)+2c.即点 R 的坐标为( 2 (a-d)+2c,2(a+d)- 6 c).
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2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第50讲 直线与区域

2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第50讲 直线与区域_学科竞赛_高中教育_教育专区。第 10 讲 A 类例题 直线与区域 直线是平面上最简单、最常见的几何图形....

2012江苏省数学竞赛《提优教程》第50讲 直线与区域

第10 讲 A 类例题 直线与区域 直线是平面上最简单、最常见的几何图形.在解析几何中,直线是最基本的研究对象之 一,它既能反映直线运动的规律,又是解决平面几何...

2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第05讲 子集

2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第05讲 子集_学科竞赛_高中教育_教育专区。第 5 讲 子集本讲内容有子集、子集的个数、集合的划分及子集的应用。 设 ...

2012江苏省数学竞赛《提优教程》第55讲 轨迹

考虑一端在直线 y=x 上,另一端在直线 y=2x 上,而其长为 4 的一切线段,求这些 线段中点的轨迹方程.(第二届加拿大数学奥林匹克赛题) 6.如图所示,两根杆子...

2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第11讲_三角问题选讲

2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第11讲_三角问题选讲_学科竞赛_高中教育_...by ? 1 又可看作直线方程, (cos2 A,sin A),(cos2 B,sin B),(cos ...

2012江苏省数学竞赛《提优教程》第47讲角度与距离题目

第7讲求点到平面距离异面直线之间的距离. 角度与距离 本节内容主要是关于空间中各种角与距离的定义与求法以及向量在相关计算中的应 用.向量方法一般用于求角度...

2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第57讲 排列与组合

2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第57讲 排列与...个行政区域,现给地图着色, 要求相邻区域不得使用同...≤ f(a100),则这样的映射共有( )个 50 A. ...

2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第59讲 概率1

2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第59讲 概率1_学科竞赛_高中教育_教育专区。第 19 讲 概率(一) 概率的一些术语及基本知识. 1.基本事件:一次试验(例如掷...

2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第66讲_覆盖

2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第66讲_覆盖_学科竞赛_高中教育_教育专区...因为每条直线把平面分成两个区域,设 n 条直线(其中每两条相交,但任何三条不...

2012江苏省数学竞赛《提优教程》第63讲_极限

极限及其运算 相关知识 1.数列极限的定义: 一般地,如果当项数 n 无限增大时,无穷数列 {an } 的项 an 无限趋近于 某个常数 a (即... ,那么就说数列 {...