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03-13江苏+09-13江西数学试卷


2003 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分, (1)如果函数 y ? ax2 ? bx ? a 的图象与 x 轴有两个交点,则点 (a, b)在aOb 平面上的区
域(不包含边界)为( )

b
a 阿 O

b
a 阿

>
b
a 阿

b
a 阿

a
a 阿

O 阿 (B)

a
a 阿

O

a
a 阿

O

a
a 阿

阿 (A)

阿 (C)

阿 (D)

2 (2)抛物线 y ? ax 的准线方程是 y ? 2 ,则 a 的值为

( ) (D)-8 ( )

(A)

1 8

(B)-

(3)已知 x ? (? (A)

?
2

1 8

(C)8

,0), cos x ?

4 , 则tg 2 x ? 5

7 24

(B)-

7 24

(C)

24 7

(D)-

24 7

?2 ? x ? 1, x ? 0, ? (4)设函数 f ( x) ? ? 1 若f ( x0 ) ? 1, 则x0 的取值范围是( ) ?x 2 , x ? 0 ?

(A) (-1,1) (B) (?1, ??) (C) (-∞,-2)∪(0,+∞) (D) (-∞,-1)∪(1,+∞) 、 ( 5 ) O 是 平 面 上 一 定 点 , A、 B C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足

??? ? ??? ??? ? ? AB O P ? O A ? ( ??? ? ? ? AB
(A)外心

???? AC , , 的轨迹一定通过 ? ABC 的 ???? ) ,? ? ? 0?? ? 则 P AC
(C)重心

(B)内心

(D)垂心

(6)函数 y ? ln

x ?1 , x ? (1, ??) 的反函数为( ) x ?1 ex ?1 ex ? 1 , x ? (0, ??) , x ? (0, ??) (A) y ? x (B) y ? x e ?1 e ?1 ex ?1 ex ? 1 , x ? (??, 0) , x ? (??, 0) (C) y ? x (D) y ? x e ?1 e ?1

(7)棱长为 a 的正方体中,连结相邻面的中心,以这些线段为棱的八面体的体积为

( )

a3 a3 a3 a3 (B) (C) (D) 3 4 6 12 2 (8)设 a ? 0, f ( x) ? ax ? bx ? c,曲线 y ? f ( x) 在点 P( x0 , f ( x0 )) 处切线的倾斜角的
(A)

? ?? , 则P 到曲线 y ? f ( x) 对称轴距离的取值范围为 ( ) ? 4? ? ? b ? ? b ?1 ? ? 1? ? 1? (A) ?0, ? (B) ?0, (C) ?0, (D) ?0, ? ? ? ? a? ? 2a ? ? 2a ? ? 2a ? (9)已知方程 ( x 2 ? 2 x ? m)(x 2 ? 2 x ? n) ? 0 的四个根组成一个首项为 1 的的等差数列,
取值范围为 ?0,
则 | m ? n |? (A)1 (B) 3 (C) 1 (D)
4





3 8 2 4 (10)已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F( 7 ,0) ,直线 y ? x ? 1 与其相交于 M、N
两点,MN 中点的横坐标为 ? (A)

2 ,则此双曲线的方程是 3

( )
2 2

x y x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? ?1 ? ? 1 (C) ? ? 1 (D) ? ? 1 (B) 2 5 4 3 5 2 3 4 (11)已知长方形的四个顶点 A(0,0) ,B(2,0) ,C(2,1)和 D(0,1) ,一质点从 AB 的中点 P0 沿与 AB 的夹角 ? 的方向射到 BC 上的点 P 后,依次反射到 CD、DA 和 1
AB 上 的 点 P2 、 P3 和 P4 ( 入 射 角 等 于 反 射 角 ) 设 P4 的 坐 标 为 ( x4 , 0 ) 若 , ,

1 ? x4 ? 2 ,则 tg ? 的取值范围是
(A) 1 ,1) (B) , 2 ) (C) ( ( (
3





1 3

3

2 2 1 , ) (D) 2 , ) ( 3 5 2 5

(12)一个四面体的所有棱长都为 ( ) (A) 3? (B)4 ?

2 ,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为
(C) 3 3?
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(D) 6?
王新敞
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二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分 把答案填在题中横线上
9 (13) ( x 2 ? 1 ) 9 的展开式中 x 系数是 2x

(14)某公司生产三种型号的轿车,产量分别为 1200 辆,6000 辆和 2000 辆 为检验该
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公司的产品质量,现用分层抽样的方法抽取 46 辆进行检验,这三种型号的轿车依次应 抽取___________,__________,___________辆
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(15)某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为 6 个部分(如图) 现要栽种 4 种不
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同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种 方法有___________________种 (以数字作答)
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6 2

5 1 3

4

(16)对于四面体 ABCD,给出下列四个命题

① 若AB ? AC, BD ? CD, 则BC ? AD ;② 若AB ? CD, AC ? BD, 则BC ? AD ③ 若AB ? AC, BD ? CD, 则BC ? AD ④ 若AB ? CD, AC ? BD, 则BC ? AD 其中真命题的序号是__________________.(写出所有真命题的序号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或 或演算步骤
(17)(本小题满分 12 分)有三种产品,合格率分别为 0.90,0.95 和 0.95,各抽取一件 进行检验
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(Ⅰ)求恰有一件不合格的概率; (Ⅱ)求至少有两件不合格的概率 (精确到
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0.001)

(18) (本小题满分 12 分) 已 知 函 数 f ( x) ? sin( x ? ? )( ? 0, 0 ? ? ? 是 R上 的 偶 函 数 , 其 图 象 关 于 点 ? ? ? )

M(

3? , 0) 对称,且在区间 ?0, ? ? 上是单调函数 求 ?和? 的值 ? 2? 4 ? ?
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(19) (本小题满分 12 分)如图,在直三棱柱 ABC? A1 B1C1 中,底面是等腰直角三角形,

?ACB ? 90? ,侧棱 AA1 ? 2 ,D、E 分别是 CC1 与 A1 B 的中点,点 E 在平面 ABD 上的射影
是△ABD 的重心 G (Ⅰ)求 A1 B 与平面 ABD 所成角的大小(结果用反三角函数值表示)(Ⅱ)求点 A1 到平面 ; AED 的距离
C1

A1 D E G C A

B1

B

(20) (本小题满分 12 分)已知常数 a ? 0,向量c ? (0, a), i ? (1,0) 经过原点 O 以 c ? ? i 为
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?

?

?

?

方向向量的直线与经过定点 A(0, a)以i ? 2? c 为方向向量的直线相交于 P,其中 ? ? R 试
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?

?

问:是否存在两个定点 E、F,使得 PE ? PF 为定值 若存在,求出 E、F 的坐标;若不存
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在,说明理由

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( 21 ) 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 a ? 0, n 为 正 整 数 ( Ⅰ ) 设 y ? ( x ? a)n , 证 明 (
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y ' ? n( x? a) ;
(Ⅱ)设 fn ( x) ? xn ? ( x ? a) n ,对任意 n ? a ,证明 fn?1 '(n ? 1) ? (n ? 1) f n '(n)
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n?1

(22) (本小题满分 14 分)设 a ? 0 ,如图,已知直线 l : y ? ax 及曲线 C : y ? x 2 , C 上的 点 Q1 的 横 坐 标 为 a1 (0 ? a1 ? a).从C上的点Qn (n ? 1) 作 直 线 平 行 于 x 轴 , 交 直 线 的横坐 l于点Pn?1,再从点Pn?1 作直线平行于 y 轴,交曲线 C于点Qn?1. Qn (n ? 1, 2,3,?) 标构成数列 ?an ? ( Ⅰ ) 试 求 an?1与an 的 关 系 , 并 求 ?an ? 的 通 项 公 式 ; Ⅱ ) 当 a ? 1, a1 ? (

1 时,证明 2

? (a
k ?1

n

k

? ak ?1 )ak ? 2 ?

1 32
n

(Ⅲ)当 a ? 1 时,证明 ? (ak ? ak ?1 )ak ? 2 ? 1 3 k ?1 y r2 r1 Q1 O

c

l

Q3 Q2

a1 a2 a3
a1 a2 a3

x

2004 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(江苏卷)
一、选择题(5 分× 12=60 分) 1.设集合 P={1,2,3,4},Q={ x x ? 2, x ? R },则 P∩Q 等于 ( )

(A){1,2}
2

(B) {3,4}

(C) {1}

(D) {-2,-1,0,1,2} ( )

2.函数 y=2cos x+1(x∈ R)的最小正周期为 (A)
π 2

(B) π

(C) 2π

(D) 4π

3.从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会,若这 4 人中必须既有男生又有女生, 则不同的选法共有 (A)140 种 ( (A) )
100π 3 cm 3

( (C)35 种 (D)34 种

)

(B)120 种

4.一平面截一球得到直径是 6cm 的圆面,球心到这个平面的距离是 4cm,则该球的体积是

(B)

208π 3 cm 3

(C)

500π 3 416 3π 3 cm (D) cm 3 3

5.若双曲线 (A) 2

x2 y2 ? ? 1 的一条准线与抛物线 y 2 ? 8 x 的准线重合,则双曲线离心率为 ( 8 b2

)

(B) 2 2

(C) 4

(D) 4 2

6.某校为了了解学生的课外阅读情况,随机调查了 50 名学生,得到他们在某一天各自课外 阅读所用时间的数据,结果用右侧的条形图表示. 根据 条形图可得这 50 名学生这一天平均每人的课外阅读时 间为 (A)0.6 小时 7. (2x ? x ) 4 ( ) (A)6 (B)12 (C)24 (D)48 ( ) ( (B)0.9 小时 ) (C)1.0 小时 x3 (D)1.5 小时 的 系 数 是
人数(人) 20 15 10

的 展 开 式 中

5 0 0.5 1.0 1.5 2.0 时间(小时)

8.若函数 y ? loga ( x ? b)(a ? 0, a ? 1) 的图象过两点(-1,0)和(0,1),则 (A)a=2,b=2 (B)a= 2 ,b=2 (C)a=2,b=1 (D)a= 2 ,b= 2 ( )

9.将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数 1,2,3,4,5,6 的正方体玩 具)先后抛掷 3 次,至少出现一次 6 点向上和概率是 5 (A) 216 25 (B) 216 31 (C) 216 91 (D) 216 ( )

10.函数 f ( x) ? x 3 ? 3x ? 1 在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是 (A)1,-1 (B)1,-17 (C)3,-17 (D)9,-19

11.设 k>1,f(x)=k(x-1)(x∈R) . 在平面直角坐标系 xOy 中,函数 y=f(x)的图象与 x 轴交于 A 点,它的反函数 y=f -1(x)的图象与 y 轴交于 B 点,并且这两个函数的图象交于 P 点. 已知 四边形 OAPB 的面积是 3,则 k 等于 ( (A)3 3 (B) 2 4 (C) 3 6 (D) 5 )

12.设函数 f ( x) ? ?

x ( x ? R ) ,区间 M=[a,b](a<b),集合 N={ y y ? f ( x), x ? M },则使 1? x

M=N 成立的实数对(a,b)有 ( (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 二、填空题(4 分× 4=16 分)

) (D)无数多个

13.二次函数 y=ax2+bx+c(x∈ R)的部分对应值如下表: x y -3 6 -2 0 -1 -4 0 -6 1 -6 2 -4 3 0 4 6

则不等式 ax2+bx+c>0 的解集是_______________________. 14.以点(1,2)为圆心,与直线 4x+3y-35=0 相切的圆的方程是________________. 15.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn= _______________________. 16.平面向量 a, b 中,已知 a =(4,-3), b =1,且 a ? b =5,则向量 b =__________. 三、解答题(12 分× 5+14 分=74 分) 17.已知 0<α<
π α α 5 π ,tan +cot = ,求 sin( α ? )的值. 2 2 2 2 3

a1 (3 n ? 1) (对于所有 n≥1),且 a4=54,则 a1 的数值是 2

18.在棱长为 4 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 是正方形 A1B1C1D1 的中心,点 P 在棱 CC1 上,且 CC1=4CP. (Ⅰ )求直线 AP 与平面 BCC1B1 所成的角的大小(结果用反三角函数值表示) ; (Ⅱ O 点在平面 D1AP 上的射影是 H,求证:D1H⊥ )设 AP; (Ⅲ )求点 P 到平面 ABD1 的距离.
D1 O ? A1 ? H P D A B C B1 C1

19.制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损. 某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100 ﹪和 50﹪,可能的最大亏损分别为 30﹪和 10﹪. 投资人计划投资金额不超过 10 万元,要 求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能 使可能的盈利最大?

20.设无穷等差数列{an}的前 n 项和为 Sn. 3 (Ⅰ )若首项 a1 ? ,公差 d ? 1 ,求满足 S 2 ? (S k ) 2 的正整数 k; 2 k (Ⅱ )求所有的无穷等差数列{an},使得对于一切正整数 k 都有 S
k2

? (S k ) 2 成立.

1 21.已知椭圆的中心在原点,离心率为 ,一个焦点是 F(-m,0)(m 是大于 0 的常数). 2 (Ⅰ )求椭圆的方程; (Ⅱ Q 是椭圆上的一点,且过点 F、Q 的直线 l 与 y 轴交于点 M. 若 MQ ? 2 QF ,求直线 l )设 的斜率.

22.已知函数 f ( x)( x ? R) 满足下列条件:对任意的实数 x1,x2 都有
λ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( x1 ? x 2 )[ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] 和 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? x1 ? x2 ,其中 λ 是大于 0 的常数.设

实数 a0,a,b 满足 f (a 0 ) ? 0 和 b ? a ? λf (a) (Ⅰ )证明 λ ? 1 ,并且不存在 b0 ? a 0 ,使得 f (b0 ) ? 0 ; (Ⅱ )证明 (b ? a0 ) 2 ? (1 ? λ2 )(a ? a0 ) 2 ; (Ⅲ )证明 [ f (b)]2 ? (1 ? λ2 )[ f (a)]2 .

2005 年高考数学 江苏卷 试题及答案
一选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分 在每小题给出的四个选项中,只有一
王新敞
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项是符合题意要求的 A. ? ,2,3? 1

王新敞
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1.设集合 A ? ? ,2?, B ? ? ,2,3?, C ? ?2,3,4?,则 ? A ? B ? ? C =( ) 1 1 B. ? ,2,4? 1 C. ?2,3,4? D. ? ,2,3,4? 1 2.函数 y ? 2
1? x

? 3( x ? R) 的反函数的解析表达式为

( )

2 x?3 3? x 2 B. y ? log 2 C. y ? log 2 D. y ? log 2 x?3 2 2 3? x 3.在各项都为正数的等比数列 ?an ? 中,首项 a1 ? 3 ,前三项和为 21,则 a3 ?a 4 ?a5 =
A. y ? log 2 ( ) A.33 ( ) A. B.72 C.84 D.189 4.在正三棱柱 ABC? A1 B1C1 中,若 AB=2, AA1 ? 1 则点 A 到平面 A1 BC 的距离为

3 4

B.

3 2
3

C.

3 3 4

D. 3 ( )

5. ?ABC 中, A ? A. 4 3 sin ? B ? C. 6 sin? B ?

?

,BC=3,则 ?ABC 的周长为 B. 4 3 sin ? B ?

? ?

??

??3 3?

? ?

??

??3 6?

?? ?? ? ? D. 6 sin? B ? ? ? 3 ??3 3? 6? ? ? 2 6.抛物线 y ? 4x 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是( )
A.

17 16

B.

15 16

C.

7 8

D.0

7. 在 一 次 歌 手 大 奖 赛 上 , 七 位 评 委 为 歌 手 打 出 的 分 数 如 下 :

9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7 ,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差
分别为 ( ) B. 9.4,0.016 C. 9.5,0.04 D. 9.5,0.016 A. 9.4,0.484

8.设 ? , ? , ? 为两两不重合的平面, l , m, n 为两两不重合的直线,给出下列四个命题: ① 若 ? ? ? , ? ? ? , 则 ? || ? ; ② 若 m ? ? , n ? ? , m || ? , n || ? , 则

? || ? ; ③若 ? || ? , l ? ? ,则 l || ? ;④若 ? ? ? ? l , ? ? ? ? m , ? ? ? ? n , l || ? ,
则 m || n 其中真命题的个数是
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( ) C.3
5

A.1

B.2

D.4
k

9.设 k ? 1,2,3,4,5 ,则 ( x ? 2) 的展开式中 x 的系数不可能是 ( ) A.10 B.40 C.50 D.80

?? ? 1 ? 2? ? ? ? ? ? ,则 cos? ? 2? ? = ?6 ? 3 ? 3 ? 1 7 7 1 A. ? B. ? C. D. 3 9 9 3
10.若 sin ? 11. 点 P(?3,1) 在 椭 圆

( )

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 左 准 线 上 , 过 点 P 且 方 向 为 a2 b2

a ? (2,?5) 的光线经直线 y ? ?2 反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为( )
A.

3 3

B.

1 3

C.

2 2

D.

1 2

12.四棱锥的 8 条棱代表 8 种不同的化工产品,有公共点的两条棱代表的化工产品放在 同一仓库是危险的,没有公共顶点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现 打算用编号为①.②.③.④的 4 个仓库存放这 8 种化工产品,那么安全存放的不同方法种数 为( ) A.96 B.48 C.24 D.0
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二.填写题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分 把答案填在答题卡相应位置
a b 13.命题“若 a ? b ,则 2 ? 2 ? 1 ”的否命题为__________
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14.曲线 y ? x ? x ? 1 在点 (1,3) 处的切线方程是__________
3

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15.函数 y ?
a

log 0.5 (4 x 2 ? 3x) 的定义域为__________

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16.若 3 ? 0.618 a ? ?k , k ? 1? , ? k ? Z ? ,则 k =__________ , 17. 已 知

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a, b










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f ( x) ? x 2 ? 4x ? 3



f (ax ? b) ? x 2 ? 10x ? 24 ,则 5a ? b =__________

18.在 ?ABC 中,O 为中线 AM 上一个动点,若 AM=2,则 OA ? (OB ? OC) 的最小值 是__________
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三.解答题:本大题共 5 小题,共 66 分 解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤
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19.(本小题满分 12 分)如图,圆 O1 与圆 O2 的 半径都是 1, O1O2 ? 4 ,过动点 P 分别作圆 O1 .圆

P M O1 N O2

O2 的 切 线 PM 、 PN ( M.N 分 别 为 切 点 ) 使 得 , PM ? 2PN 试建立适当的坐标系,并求动点 P 的
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轨迹方程

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20.(本小题满分 12 分,每小问满分 4 分)甲.乙两人各射击一次,击中目标的概率分 别是

2 3 和 假设两人射击是否击中目标,相互之间没有影响;每人各次射击是否击中目 3 4
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标,相互之间也没有影响 ⑴求甲射击 4 次,至少 1 次未击中目标的概率; ...
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⑵求两人各射击 4 次,甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次的概率; ⑶假设某人连续 2 次未击中目标,则停止射击 问:乙恰好射击 5 次后,被中止射击的 ...
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概率是多少?

21.(本小题满分 14 分,第一小问满分 6 分,第二.第三小问满分各 4 分) 如 图 , 在 五 棱 锥 S — ABCDE 中 , SA ⊥ 底 面 ABCDE , SA=AB=AE=2 ,

BC ? DE ? 3 , ?BAE ? ?BCD ? ?CDE ? 120 ?
示) ; ⑵证明:BC⊥平面 SAB;

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⑴求异面直线 CD 与 SB 所成的角(用反三角函数值表

S

A
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⑶用反三角函数值表示二面角 B—SC—D 的大小 (本小问 不必写出解答过程)

E D

B C

22.(本小题满分 14 分,第一小问满分 4 分,第二小问满分 10 分)已知 a ? R ,函数

f ( x) ? x 2 | x ? a | ⑴当 a ? 2 时,求使 f ( x) ? x 成立的 x 的集合; ⑵求函数 y ? f (x) 在区间 [1,2] 上的最小值
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23.(本小题满分 14 分,第一小问满分 2 分,第二.第三小问满分各 6 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 a1 ? 1, a2 ? 6, a3 ? 11,且 ⑴求 A 与 B 的值;

(5n ? 8)S n?1 ? (5n ? 2)S n ? An ? B, n ? 1,2,3,? ,其中 A.B 为常数
⑵证明:数列 ?an ? 为等差数列; ⑶证明:不等式 5amn ? am an ? 1 对任何正整数 m, n 都成立
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2006 年普通高等学校招生全国统一考试数学试题
头 源 学 子 小 屋 新疆 王 新 敞
wxckt@126.com

江苏卷

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小 屋

新疆 王 新 敞
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参考公式: 一组数据的方差

1 S 2 ? [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] n
其中 x 为这组数据的平均数 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分 在每小题给出的四个选项中,恰 .
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
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有一项是符合题目要求的 ...

新疆 源头学子小屋
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特级教师 王新敞
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(1)已知 a ? R ,函数 f ( x) ? sin x? | a |, x ? R 为奇函数,则 a= (A)0 (B)1 (C)-1 (D)±1

(2)圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? 1 的切线方程中有一个是 (A)x-y=0 (B)x+y=0 (C)x=0 (D)y=0

(3)某人 5 次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为 x,y,10,11,9.已知这组数据 的平均数为 10,方差为 2,则|x-y|的值为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

x ? (4)为了得到函数 y ? 2 sin( ? ), x ? R 的图像,只需把函数 y ? 2 sin x, x ? R 的图像上所 3 6
有的点 (A)向左平移 变) (B)向右平移 变) (C)向左平移 变) (D)向右平移 变) (5) ( x ? (A)0

?
6

个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的

1 倍(纵坐标不 3

?
6

个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的

1 倍(纵坐标不 3

?
6

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不

?
6

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不

1 10 ) 的展开式中含 x 的正整数指数幂的项数是 3x
(B)2 (C)4 (D)6

(6)已知两点 M(-2,0) N(2,0) 点 P 为坐标平面内的动点,满足 、 ,

???? ???? ???? ??? ? ? ? | MN | ? | MP | ? MN ? NP
(A) y 2 ? 8 x

=0,则动点 P(x,y)的轨迹方程为 (C) y 2 ? 4 x (D) y 2 ? ?4 x

(B) y 2 ? ?8x

(7)若 A、B、C 为三个集合, A ? B ? B ? C ,则一定有 (A) A ? C (B) C ? A (C) A ? C (D) A ? ?

(8)设 a、b、c 是互不相等的正数,则下列等式中不恒成立的是 .... (A) | a ? b |?| a ? c | ? | b ? c | (C) | a ? b | ? (B) a 2 ?

1 a
2

?a?

1 a

1 ?2 a?b

(D) a ? 3 ? a ? 1 ? a ? 2 ? a

(9)两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体,可放棱长为 1 的正方体内,使正四棱锥的 底面 ABCD 与正方体的某一个平面平行,且各顶点 ... 均在正方体的面上,则这样的几何体体积的可能值有 (A)1 个 (C)3 个 (B)2 个 (D)无穷多个
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D A B C

(10)右图中有一个信号源和五个接收器 接收器与信号源在同一个串联线路中时,就能
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接收到信号,否则就不能接收到信号 若将图中左端的六个接线点随机地平均分成
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三组,将右端的六个接线点也随机地平均分成三组,再把 所有六组中每组的两个接线点用导线连接,则这五个接收 器能同时接收到信号的概率是 (A) (C)

信号源

4 45 4 15

(B) (D)

1 36 8 15
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二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分 不需要写出解答过程,请把答案直 接填空在答题卡相应位置上 ........
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(11)在△ABC 中,已知 BC=12,A=60°,B=45°,则 AC=
?2 x ? y ? 2 ? (12)设变量 x、y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最大值为 ? x ? y ?1 ?

(13)今有 2 个红球、3 个黄球、4 个白球,同色球不加以区分,将这 9 个球排成一列有 种不同的方法(用数字作答)
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(14) cot 20? cos10? ? 3 sin10? tan 70? ? 2 cos 40? = (15)对正整数 n,设曲线 y ? x n (1 ? x) 在 x=2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n ,则数

列{

an } 的前 n 项和的公式是 n ?1
1 ? 6) ? 3 的解集为 x
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(16)不等式 log2 ( x ?

三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分 请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 .......
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说明、证明过程或演算步骤

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(17) (本小题满分 12 分,第一小问满分 5 分,第二小问满分 7 分) 已知三点 P(5,2) F1 (-6,0) F2 (6,0). 、 、 (Ⅰ)求以 F1 、 F2 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程; (Ⅱ)设点 P、 F1 、 F2 关于直线 y=x 的对称点分别为 P? 、 F1' 、 F2' ,求以 F1' 、 F2' 为焦点且过点 P? 的双曲线的标准方程
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(18) (本小题满分 14 分) 请您设计一个帐篷 它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为
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3m 的正六棱锥(如右图所示) 试问当帐篷的顶点
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O

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O 到底面中心 o1 的距离为多少时,帐篷的体积最 大?

O1

(19) (本小题满分 14 分,第一小问满分 4 分,第二小问满分 5 分,第三小问满分 5 分) 在正三角形 ABC 中,E、F、P 分别是 AB、AC、BC 边上的点,满足 AE:EB= CF:FA=CP:PB=1:2(如图(1) 将△AEF 沿 EF 折起到 ?A1 EF 的位置,使二面角 )
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A1-EF-B 成直二面角,连结 A1B、A1P(如图(2) ) (Ⅰ)求证:A1E⊥平面 BEP; (Ⅱ)求直线 A1E 与平面 A1BP 所成角的大小; (Ⅲ)求二面角 B-A1P-F 的大小(用反三角函数表示)
A A1 E F P (1) B (2) E F P C

B

C

(20) (本小题满分 16 分,第一小问 4 分,第二小问满分 6 分,第三小问满分 6 分) 设 a 为实数,设函数 f ( x) ? a 1 ? x 2 ? 1 ? x ? 1 ? x 的最大值为 g(a)
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(Ⅰ)设 t= 1 ? x ? 1 ? x ,求 t 的取值范围,并把 f(x)表示为 t 的函数 m(t) (Ⅱ)求 g(a)

1 (Ⅲ)试求满足 g (a) ? g ( ) 的所有实数 a a

(21) (本小题满分 14 分) 设 数 列 {a n } 、 {bn } 、 {c n } 满 足 : bn ? a n ? a n? 2 , c n ? a n ? 2a n?1 ? 3a n? 2 (n=1,2,3,?) , 证明 {a n } 为等差数列的充分必要条件是 {c n } 为等差数列且 bn ? bn?1 (n=1,2,3,?)

2007 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数
注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页,包含选择题(第 1 题~第 10 题,共 10 题) 、填空题(第 11 题~第 16 题,共 6 题) 、解答题(第 17 题~第 21 题,共 5 题)三部分。本次考试时间为 120 分 钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写 在试卷及答题卡上。 3.请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符。 4.作答非选择题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置,在



其它位置作答一律无效。作答选择题必须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其它答案。 5.如有作图需要,可用 2B 铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚。 参考公式:
k n 次独立重复试验恰有 k 次发生的概率为: Pn (k ) ? Cn pk (1 ? p)n?k

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,恰 . 有一项是符合题目要求的。 ... 1.下列函数中,周期为

? 的是 2
C. y ? cos

A. y = sin

x 2

B.y=sin2x

x 4

D.y=cos4x

2.已知全集 U=Z,A={-1,0,1,2} ,B={x︱x2=x} ,则 A∩CUB 为 A. {-1,2} B. {-1,0} C. {0,1} D. {1,2}

3.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线中心在原点,焦点在 y 轴上,一条渐近线方程为 x- 2y=0,则它的离心率为
5 2

A. 5

B.

C. 3

D.2

4 已知两条直线 m, n ,两个平面α ,β ,给出下面四个命题: ① m // n, m ? ? ? n ? ? ③ m // n, m // ? ? n // ? 其中正确命题的序号是 A.①、③ B.②、④ C.①、④ D.②、③ ② ? // ? , m ? ? , n ? ? ? m // n ④ ? // ? , m // n, m ? ? ? n ? ?

5.函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x( x ?[?? , 0]) 的单调递增区间是

A. [ ?? , ?

5? 6

]

B. [ ?

5? 6

,?

?
6

]

C. [ ?

? , 0] 3

D. [ ?

? , 0] 6

6.设函数 f(x)定义在实数集上,它的图像关于直线 x=1 对称,且当 x≥1 时,f(x)=3x -1,则有

1 3 2 A. f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 3 2 3
2 1 3 C. f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 3 3 2

2 3 1 B. f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 3 2 3
3 2 1 D. f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 2 3 3

7.若对于任意实数 x,有 x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则 a2 的值为 A.3 8.设 f ( x) ? lg( B.6 C.9 D.12

2 1? x

? a ) 是奇函数,则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是
B. (0,1) C. (-∞,0) D. (-∞,0)∪(1,+∞)

A. (-1,0)

9.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的导数为 f′(x) ,f′(0)>0,对于任意实数 x 都有 f (x)≥0,则

f (1) f '(0)

的最小值为

A. 3

B.

5 2

C.2

D.

3 2

10.在平面直角坐标系 xOy,已知平面区域 A={ (x,y)︱x+y≤1 且 x≥0,y≥0} ,则平 面区域 B ? {( x ? y, x ? y ) | ( x, y ) ? A} 的面积为

A.2

B.1

C.

1 2

D.

1 4

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。不需要写出解答过程,请把答案直 接填写在答题卡相应位置上。 ........ 11.若 cos(? ? ? ) ?

1 5

, cos(? ? ? ) ?

3 5

,.则 tana?tanβ =



.

12.某校开设 9 门课程供学生选修,其中 A,B,C 三门由于上课时间相同,至多选一门, 学校规定每位同学选修 4 门,共有 ▲ 种不同选修方案。 (用数值作答)

13.已知函数 f(x)=x3-12x+8 在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为 M,m,则 M- m= ▲ .

14.正三棱锥 P-ABC 高为 2,侧棱与底面所成角为 45°,则点 A 到侧面 PBC 的距离是 ▲ .

15.在平面直角坐标系 xOY 中,已知△ABC 顶点 A(-4,0)和 C(4,0) ,顶点 B 在椭圆

x2 25

?

y2 16

? 1 上,则

sin A ? sin C sin B

?





16.某时钟的秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5cm,秒针均匀地绕点 O 旋转,当时间 t=0 时,点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合,将 A,B 两点的距离 d(cm)表示成 t(s)的函数, 则 d= ▲ ,其中 t∈[0,60]。

三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 ....... 字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 某气象站天气预报的准确率为 80%,计算(结果保留到小数点后面第 2 位) (1)5 次预报中恰有 2 次准确的概率; 分) (4 (2)5 次预报中至少有 2 次准确的概率; 分) (4 (3)5 次预报中恰有 2 次准确,且其中第 3 次预报准确的概率; 分) (4 18. (本小题满分 12 分)如图,已知 ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 3 的正方体,点 E 在 AA1 上,点 F 在 CC1 上,且 AE=FC1=1,

(1)求证:E,B,F,D1 四点共面; 分) (4 (2)若点 G 在 BC 上, BG ? (4 EM ? 面 BCC1B1; 分) (3)用 ? 表示截面 EBFD1 和面 BCC1B1 所成锐二面角大小,求 tan ? 。 分) (4

2 3

,点 M 在 BB1 上, GM ? BF ,垂足为 H,求证:

19. (本小题满分 14 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,过 y 轴正方向上一点 C(0,c)任作一直线,与抛 物线 y=x2 相交于 AB 两点,一条垂直于 x 轴的直线,分别与线段 AB 和直线 l : y ? ?c 交于

P,Q。 (1)若 OA ? OB ? 2 ,求 c 的值; 分) (5 (2)若 P 为线段 AB 的中点,求证:QA 为此抛物线的切线; 分) (5 (3)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由。 分) (4

??? ???

20. (本小题满分 16 分) 已知{an}是等差数列, n}是公比为 q 的等比数列,a1=b1,a2=b2≠a1,记 Sn 为数列 {b {bn}的前 n 项和。 (1)若 bk=am(m,k 是大于 2 的正整数) ,求证:Sk-1=(m-1)a1; 分) (4 (2)若 b3=ai(i 是某个正整数) ,求证:q 是整数,且数列{bn}中每一项都是数列 {an}中的项; 分) (8 (3)是否存在这样的正数 q,使等比数列{bn}中有三项成等差数列?若存在,写出 一个 q 的值,并加以说明;若不存在,请说明理由; 分) (4 21. (本小题满分 16 分) 已知 a,b,c,d 是不全为零的实数,函数 f ( x) ? bx ? cx ? d ,
2

g ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d ,方程 f(x)=0 有实根,且 f(x)=0 的实数根都是 g(f
(x) )=0 的根,反之,g(f(x) )=0 的实数根都是 f(x)=0 的根。 (1)求 d 的值; 分) (3 (2)若 a=0,求 c 的取值范围; 分) (6 (3)若 a=1,f(1)=0,求 c 的取值范围。 分) (7

2008 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
一、填空题:本大题共 1 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. f ? x ? ? cos ? ? x ?

? ?

??

? ? 的最小正周期为 5 ,其中 ? ? 0 ,则 ? = ▲ 6?



2.一个骰子连续投 2 次,点数和为 4 的概率 ▲ .

3.

1? i 表示为 a ? bi ? a, b ? R ? ,则 a ? b ? = ▲ . 1? i

4.A= ? x ? x ? 1? ? 3x ? 7? ,则 A ? Z 的元素的个数 ▲ .
2

5. a , b 的夹角为 120? , a ? 1 , b ? 3 则 5a ? b ? ▲ .

?

?

?

?

? ?

6.在平面直角坐标系 xoy 中,设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区 域, E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域,向 D 中随机投一点,则落入 E 中的概率 ▲.

7.算法与统计的题目 8.直线 y ?

1 x ? b 是曲线 y ? ln x ? x ? 0? 的一条切线,则实数 b= ▲ . 2

9 在平面直角坐标系中,设三角形 ABC 的顶点分别为 A(0,a),B(b,0),C (c,0) ,点 P(0,p) 在线段 AO 上(异于端点) ,设 a,b,c, p 均为非零实数,直线 BP,CP 分别交 AC , AB 于点 E ,F ,一同学已正确算的 OE 的方程: ? ( ▲ ) x??

?1 1? ? 1 1? ? ? x ? ? ? ? y ? 0 ,请你求 OF 的方程: ?c b? ? p a?

? 1 1? ? ? y ? 0. ? p a?

10.将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 .......

按照以上排列的规律,第 n 行(n ≥3)从左向右的第 3 个数为 ▲ .

11.已知 x, y, z ? R ? , x ? 2 y ? 3z ? 0 ,则

y2 的最小值 ▲ . xz

x2 y 2 12.在平面直角坐标系中,椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0)的焦距为 2,以 O 为圆心, a 为半径 a b

? a2 ? 的圆,过点 ? ,0 ? 作圆的两切线互相垂直,则离心率 e = ▲ . ? c ?

13.若 AB=2, AC= 2 BC ,则 S?ABC 的最大值 ▲ .

14. f ? x ? ? ax ? 3x ? 1 对于 x?? ?1,1? 总有 f ? x ? ≥0 成立,则 a = ▲ .
3

二、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤. 15.如图,在平面直角坐标系 xoy 中,以 ox 轴为 始边做两个锐角 ? , ? ,它们的终边分别与单位圆 相 交 于 A,B 两 点 , 已 知 A,B 的 横 坐 标 分 别 为

2 2 5 . , 10 5
(Ⅰ)求 tan( ? ? ? )的值; (Ⅱ)求 ? ? 2 ? 的值. 16.在四面体 ABCD 中,CB= CD, AD⊥BD,且 E ,F 分别是 AB,BD 的中点, 求证: (Ⅰ)直线 EF ∥面 ACD ; (Ⅱ)面 EFC⊥面 BCD . 17.某地有三家工厂,分别位于矩形 ABCD 的顶点 A,B 及 CD 的中点 P 处,已知 AB=20km,

CB =10km ,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形 ABCD 的区域上(含边界) ,且 A,B 与等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂,并铺设 排 污 管 道 AO,BO,OP , 设 排 污 管 道 的 总 长 为

y km.
(Ⅰ)按下列要求写出函数关系式: ① 设∠ BAO= ? (rad), 将 y 表 示 成 ? 的 函数 关系 式; ②设 OP ? x (km) ,将 y 表示成 x x 的函数关系式.

D O

P

C

A

B

(Ⅱ)请你选用(Ⅰ)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总 长度最短.

18.设平面直角坐标系 xoy 中,设二次函数 f ? x ? ? x2 ? 2x ? b ? x ? R ? 的图象与两坐标轴 有三个交点,经过这三个交点的圆记为 C.求: (Ⅰ)求实数 b 的取值范围; (Ⅱ)求圆 C 的方程; (Ⅲ)问圆 C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)?请证明你的结论.

19.(Ⅰ)设 a1 , a2 ,??, an 是各项均不为零的等差数列( n ? 4 ) ,且公差 d ? 0 ,若将此 数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列: ①当 n =4 时,求

a1 的数值;②求 n 的所有可能值; d

(Ⅱ)求证:对于一个给定的正整数 n(n≥4),存在一个各项及公差都不为零的等差数列

b1 , b2 ,??, bn ,其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列.

20.若 f1 ? x ? ? 3 且 f ? x? ? ?

x? p1

, f2 ? x ? ? 2? 3

x ? p2

, x ? R, p1 , p2 为常数,

? f1 ? x ? , f1 ? x ? ? f 2 ? x ? ? ? f 2 ? x ? , f1 ? x ? ? f 2 ? x ? ?

(Ⅰ)求 f ? x ? ? f1 ? x ? 对所有实数成立的充要条件(用 p1 , p2 表示) ; (Ⅱ)设 a , b 为两实数, a ? b 且 p1 , p2 ? a, b ? ,若 f ? a ? ? f ?b ?

求证: f ? x ? 在区间 ? a, b? 上的单调增区间的长度和为 . n ? m)

b?a (闭区间 ?m, n? 的长度定义为 2

2009 年(江苏卷)
数学Ⅰ 参考公式:

1 n 1 n 2 样本数据 x1, x2 ,?, xn 的方差 s ? ? ( xi ? x ) , 其中x ? ? xi n i ?1 n i ?1
2

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。请把答案填写在答题卡相应的位 ....... 置上. .. 1.若复数 z1

? 4 ? 29i, z2 ? 6 ? 9i ,其中 i 是虚数单位,则复数 ( z1 ? z2 )i 的实部为★.
?

?20 。
2.已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30 , | a |? 2,| b |?

3 ,则向量 a 和向量 b 的数量积

a ?b ?

★ .

a ?b ? 2 ? 3 ?
3.函数

3 ? 3。 2
★ .

f ( x) ? x3 ? 15x2 ? 33x ? 6 的单调减区间为

f ?( x) ? 3 x 2 ? 30 x ? 33 ? 3( x ? 11)( x ? 1) , 由 ( x ? 11)( ? 1) 0 单 调 减 区 间 x ? 得
为 (?1,11) 。 4.函数

y ? Asin(? x ? ? )(A,? ,? 为常数, A ? 0,? ? 0) 在闭区间 [?? ,0] 上的图象
y 1

如图所示,则 ? ? ★ .

3 2 T ? ? , T ? ? ,所以 ? ? 3 , 2 3
5.现有 5 根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为 2.5,2.6, 2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽取 2 根竹竿,则它们的长度 恰好相差 0.3m 的概率为 ★ . 0.2。 6.某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生

??

?

2? 3

?

?
3

O

1

x

进行投篮练习,每人投 10 次,投中的次数如下表: 学生 甲班 乙班 1号 6 6 2号 7 7
2

3号 7 6

4号 8 7

5号 7 9 开始

则以上两组数据的方差中较小的一个为 s

?

★ .

2 。 5
7.右图是一个算法的流程图,最后输出的 W

?

S ?0
★ .

228.在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1:2,则它们的面积 比为 1:4,类似地,在空间,若两个正四面体的棱长的比为 1:2, 则它们的体积比为 ★ . 1:8。 9.在平面直角坐标系 xoy 中,点 P 在曲线 C : y ?

T ?1

S ?T 2 ? S

T ?T ? 2

x3 ? 10 x ? 3

S ? 10
Y

N

上,且在第二象限内,已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2,则 点 P 的坐标为 ★ .

(?2,15) 。
10. 已 知

W ? S ?T
输出W 满足 结束

5 ?1 x , 函 数 f ( x) ? a , 若 实 数 m , n 2 f ( m)? f ( n,则 m, n 的大小关系为 ★ . ) a?

m ? n 。11.已知集合 A ? ?x | log 2 x ? 2? , B ? (??, a) ,若 A ? B 则实数 a 的取值
范围是 (c, ??) ,其中 c ? ★ . 4.由 log2 x ? 2 得 0 ?

x ? 4 , A ? (0,4] ;由 A ? B 知 a ? 4 ,所以 c ? 4。

12.设 ? 和 ? 为不重合的两个平面,给出下列命题: (1)若 ? 内的两条相交直线分别平行于 ? 内的两条直线,则 ? 平行于 ? ; (2)若 ? 外一条直线 l 与 ? 内的一条直线平行,则 l 和 ? 平行; (3)设 ? 和 ? 相交于直线 l ,若 ? 内有一条直线垂直于 l ,则 ? 和 ? 垂直; (4)直线 l 与 ? 垂直的充分必要条件是 l 与 ? 内的两条直线垂直. 上面命题中,真命题的序号 ... ★ (写出所有真命题的序号).

( 1 ) 2 ) 13 . 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 ( 。

xoy

中,

A1, A2 , B1, B为 椭 圆 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的四个顶点, F 为其右焦点,直线 A1B2 与直线 B1F 相交于点 a 2 b2

T,线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点,则该椭圆的离心率为



.
y

e ? 2 7 ? 5。
14 . 设

? an ? 是 公 比 为

q

的等 比 数 列 ,

| q |? 1

, 令
B2 M

T

bn ? an ? 1 ( ? 1 ,? , 若 数 列 ?bn ? n 2 )

有连续四项在集合

??53, ?23,19,37,82? 中,则 6q ?

★ .
A1 O A2 x

6q ? ?9 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡
指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)

设向量 a ? (4cos? ,sin ? ), b ? (sin ? ,4cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? ) (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? (2)求 | b ? c | 的最大值; (3)若 tan ? tan ?

? ? ) 的值;

?16 ,求证: a ∥ b .

所以 a ∥ b . 16. (本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 上, A D ? B1C 1 求证: (1) EF ∥ 平面ABC ( 2 ) A1 D F B1 C1

ABC ? A1B1C1 中, E , F 分别是 A1B,AC 的中点,点 D 在 B1C1 1

平面A1FD ? 平面BB1C1C

E A C

B

17. (本小题满分 14 分)

?an ? 是公差不为零的等差数列, Sn 为其前 n 项和,满足 a22 ? a32 ? a42 ? a52 ,S7 ? 7 (1)求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和 Sn ;
设 (2)试求所有的正整数 m ,使得 (1)设公差为 d ,则 a2 因 为
2

am am?1 为数列 ?an ? 中的项. am ? 2

2 2 2 ? a5 ? a4 ? a3 ,由性质得 ?3d (a4 ? a3 ) ? d (a4 ? a3 ) ,

d ?0

, 所 以

a4 ? a3 ? 0

, 即

2a1 ? 5 ? d

, 0

又 由

S7 ? 7



7a1 ?

7?6 d ? 7 ,解得 a1 ? ?5 , d ? 2 2

18. (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 C1 : ( x ? 3)
2

? ( y ? 1)2 ? 4 和圆
y

C2 : ( x ? 4)2 ? ( y ? 5)2 ? 4
(1)若直线 l 过点 A(4,0) ,且被圆 C1 截得的弦长为 2 直线 l 的方程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂 的直线 l1和l2 ,它们分别与圆 C1 和圆 C2 相交,且直线 l1 被圆

3 ,求
.

.

1 O 1 x

C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,试求所有满足
条件的点 P 的坐标. 点 P 坐标为 (?

y ? 0或 y ? ?

7 ( x ? 4) , 24

3 13 5 1 , ) 或( ,? ) 。 2 2 2 2

19.(本小题满分 16 分) 按照某学者的理论,假设一个人生产某产品单件成本为 a 元,如果他卖出该产品的单 价为 m 元,则他的满意度为

m ;如果他买进该产品的单价为 n 元,则他的满意度为 m?a

n .如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为 h1 和 h2 ,则他对这两种交易 n?a
的综合满意度为

h1h2 .

现假设甲生产 A、B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元,乙生产 A、B 两种产品的单 件成本分别为 3 元和 20 元,设产品 A、B 的单价分别为 m A 元和 mB 元,甲买进 A 与卖出 B 的综合满意度为 h甲 ,乙卖出 A 与买进 B 的综合满意度为 h乙 (1) 求 h甲 和 h乙 关于 m A 、 mB 的表达式;当 mA

3 ? mB 时,求证: h甲 = h乙 ; 5

(2) 设 mA

3 ? mB ,当 mA 、 mB 分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大?最大 5

的综合满意度为多少? (3) 记(2)中最大的综合满意度为 h0 ,试问能否适当选取 m A 、 mB 的值,使得 h ? h0 和 甲

h乙 ? h0 同时成立,但等号不同时成立?试说明理由。
(4) 求 h甲 和 h乙 关于 m A 、 mB 的表达式;当 mA

3 ? mB 时,求证: h甲 = h乙 ; 5

(5) 设 mA

3 ? mB ,当 mA 、 mB 分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大?最大 5

的综合满意度为多少? (6) 记(2)中最大的综合满意度为 h0 ,试问能否适当选取 m A 、 mB 的值,使得 h ? h0 和 甲

h乙 ? h0 同时成立,但等号不同时成立?试说明理由。

(2)



3 mA ? mB 5





mB 2 1 1 h甲 = ? ? , 20 5 1 1 (mB ? 20)(mB ? 5) (1 ? )(1 ? ) 100( )2 ? 25 ?1 mB mB mB mB

由 mB ?[5, 20]得

1 1 1 1 1 ? 即 mB ? 20, mA ? 12 时, 甲乙两 ?[ , ] ,故当 mB 20 5 mB 20
10 5

人同时取到最大的综合满意度为

20.(本小题满分 16 分) 设 a 为实数,函数 (1) 若 (2) 求

f ( x) ? 2 x 2 ? ( x ? a ) | x ? a | .

f (0) ? 1 ,求 a 的取值范围; f ( x) 的最小值; f ( x), x ? (a, ??) ,直接写出(不需给出演算步骤)不等式 h( x) ? 1 的 ....
?a ? 0
2 ?a ? 1

(3) 设函数 h( x) ? 解集.

(4) 若 f (0) ? 1 ,则 ?a | a |? 1 ? ?

? a ? ?1
2 ? f (a), a ? 0 ?2a , a ? 0 ? ? ?? a ? ? 2a 2 ,a ? 0 ? f ( 3 ), a ? 0 ? ? ? 3

(5) 当 x ? a 时, f ( x) ? 3x2 ? 2ax ? a2 , f ( x)min

当 x ? a 时, f ( x) ? x ? 2ax ? a , f ( x)min
2 2

2 ? f (?a), a ? 0 ??2a , a ? 0 ? ?? ?? 2 ? 2a , a ? 0 ? f (a), a ? 0 ?

综上 f ( x)min (3)

??2a 2 , a ? 0 ? ? ? 2a 2 ,a ? 0 ? ? 3

x ? (a, ??)





h( x ? )

得 1

3x 2 ? 2ax ? a 2 ? 1 ? 0



? ? 4a2 ?12(a2 ?1) ? 12 ? 8a2

当a ? ?

6 6 或a ? 时, ? ? 0, x ? (a, ??) ; 2 2

参考公式:
锥体的体积公式: V锥体 ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面面积, h 是高. 3

疑 2010 年(江苏卷)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应的位 ....... 置上. .. 1. 设集合 A ? ?? 1,1,3? , B ? a ? 2, a 2 ? 4 , A ? B ? ?3? ,则实数 a 的值为 2. 设复数 z 满足 z (2 ? 3i) ? 6 ? 4i (其中 i 为虚数单位) ,则 z 的模为 的概率是 ▲ ▲ .

?

?



.

3. 盒子中有大小相同的 3 只白球,1 只黑球,若从中随机地摸出两只球,两只球颜色不同 . 4. 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取了 100 根棉花纤维的长度(棉花纤维 的长度是棉花质量的重要指标) ,所得数据都在区间[5,40]中,其频率 分布直方图如图所示,则其抽样的 100 根中,有 维的长度小于 20mm. 5. 设函数 f ( x) ? x(e x ? ae? x )(x ? R) 是偶函数,则实数 a= 6. 平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 标 是 3,则 M 到双曲线右焦点的距离是 ▲ . (第 4 题 7. 右图是一个算法的流程图,则输出 S 的值是
2



根在棉花纤 ▲

.

x2 y2 ? ? 1 上一点 M,点 M 的横坐 4 12



图) .

8. 函数 y ? x ( x ? 0) 的图像在点(ak,ak2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,k 为正

整数,a1=16,则 a1+a3+a5=



.
2

9. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x ? y 2 ? 4 上有且仅有四个点到直线

12x ? 5 y ? c ? 0 的距离为 1,则实数 c 的取值范围是
10. 定义在区间 ? 0 ,



.

? ?

??

? 上的函数 y ? 6 cos x 的图像与 y ? 5 tan x 的图像的交点为 P, 2?

过点 P 作 PP1⊥ x 轴于点 P1,直线 PP1 与 ? sin x 的图像交于点 P2,则线段 P1P2 的 长为 ▲ . ▲ (第 7 题 . 图)
2 11. 已知函数 f ( x) ? ? x ? 1, x ? 0 ,则满足不等式 f (1 ? x2 ) ? f (2 x) 的 x 的范围是 ? x?0 ?1,

12. 设实数 x, y 满足 3 ? xy 2 ? 8,4 ?

x2 x3 ? 9 ,则 4 的最大值是 y y



.

13. 在 锐 角 三 角 形 ABC , A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c ,

b a ? ? 6 cos C , 则 a b

t a nC tan C ? = t a nA t a n B



.

14. 将边长为 1m 正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记

S?

2 (梯形的周长) ,则 S 的最小值是 梯形的面积



.

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出 ....... 文字说明、证明或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1,-2)、B(2,3)、C(-2,-1). (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长; (2)设实数 t 满足( AB ? t OC )? OC =0,求 t 的值.

16. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC, ∠BCD=900. (1)求证:PC⊥BC; (2)求点 A 到平面 PBC 的距离.

17. (本小题满分 14 分) 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位: m ) ,如示意图,垂直放置的标杆 BC 的 高度 h ? 4m ,仰角 ∠ABE= ? ,∠ADE= ? . (1)该小组已经测得一组 ? 、 ? 的值,tan ? =1.24,tan ? =1.20,请据此算出 H 的 值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离 d (单位: ,使 m ) ? 与 ? 之差较大,可以提高测量精确度.若电视塔的实际高度为 125 m , 试问 d 为多少时, ? - ? 最大 (第 17 题图) 18. (本小题满分 16 分)

x2 y2 ? ? 1 的左右顶点为 9 5 A,B,右顶点为 F,设过点 T ( t, m )的直线 TA, TB 与椭圆分别交于点
在平面直角坐标系 xoy 中,如图,已知椭圆

M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y 2 ) ,其中 m ? 0 , y1 ? 0, y 2 ? 0 .
(1)设动点 P 满足 PF ? PB ? 4 ,求点 P 的轨迹;
2 2

(2)设 x1 ? 2, x 2 ?

1 ,求点 T 的坐标; 3

(3)设 t ? 9 ,求证:直线 MN 必过 x 轴上的一定点.(其坐标与 m 无关)

(第 18 题图) 19.(本小题满分 16 分) 设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 2a2 ? a1 ? a3 ,数列 为 d 的等差数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式(用 n, d 表示) ( 2 ) 设 c 为 实 数 , 对 满 足 m ? n ? 3k且m ? n 的 任 意 正 整 数 m, n, k , 不 等 式

? S ?是公差
n

9 S m ? S n ? cSk 都成立,求证: c 的最大值为 . 2

20.(本小题满分 16 分) 设 f (x) 是定义在区间 (1,??) 上的函数,其导函数为 f ' ( x) .如果存在实数 a 和函数

h(x) ,其中 h(x) 对任意的 x ? (1,??) 都有 h(x) >0,使得 f ' ( x) ? h( x)(x 2 ? ax ? 1) , 则称函数 f (x) 具有性质 P (a ) .
(1)设函数 f (x) ? h( x) ?

b?2 ( x ? 1) ,其中 b 为实数 x ?1 (ⅰ)求证:函数 f (x) 具有性质 P (b) ;
(ⅱ)求函数 f (x) 的单调区间; 2 ) 已 知 函 数



g (x)









P(2)







, x1 , x2 ? (1,??), x1 ? x2 , 设m为实数, ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ,且 ? ? 1, ? ? 1 ,若| g (? ) ? g ( ? ) |<| g ( x1 ) ? g ( x2 ) |,求 m 的取值范围.

2011 江苏高考数学试卷
参考公式: (1)样本数据 x1 ,x2 ,?,xn 的方差 s =
2

1 n 1 n ? (xi - x )2,其中 n ? x i . n i=1 i=1

(2)(2)直棱柱的侧面积 S=ch ,其中 c 为底面积,h 为高. (3)棱柱的体积 V= Sh ,其中 S 为底面积,h 为高. 一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分,请把答案填写在答题卡的相应 ...... 位置上。 .... 1、已知集合 A ? {?1,2,2,4}, B ? {?1,0,2}, 则 A ? B ? _______, 2、函数 f ( x) ? log5 (2 x ? 1) 的单调增区间是__________ 3、设复数 i 满足 i( z ? 1) ? ?3 ? 2i (i 是虚数单位) ,则 z 的实部是_________ 4、根据如图所示的伪代码,当输入 a, b 分别为 2,3 时,最后输出的 m 的值是________ Read a,b If a>b Then m ?a Else m ?b End If Print m 5、从 1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数是另一个的两倍的概率是 ______ 6、某老师从星期一到星期五收到信件数分别是 10,6,8,5,6,则该组数据的方差

s 2 ? ___
7、已知 tan( x ?

?
4

) ? 2, 则

tan x 的值为__________ tan 2 x
2 的图象交于 P、Q x

8、在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数 f ( x) ? 两点,则线段 PQ 长的最小值是________

9、函数 f ( x) ? A sin(wx ? ? ), ( A, w, ? 是常数, A ? 0, w ? 0) 的部分图象如图所示,则

f (0) ? ____

? 7 ? 3 12
? 2

?

?

10、已知 e1 , e 2 是夹角为 则 k 的值为

? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 的两个单位向量, a ? e1 ? 2 e2 , b ? k e1 ? e2 , 若 a ? b ? 0 , 3

11、已知实数 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ? ________

?2 x ? a, x ? 1 ,若 f (1 ? a) ? f (1 ? a) ,则 a 的值为 ?? x ? 2a, x ? 1

12、在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 P 是函数 f ( x) ? e x ( x ? 0) 的图象上的动点,该图 象在 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M,过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N,设线段 MN 的中点的纵 坐标为 t,则 t 的最大值是_____________ 13、设 1 ? a1 ? a2 ? ? ? a7 ,其中 a1 , a3 , a5 , a7 成公比为 q 的等比数列, a 2 , a 4 , a6 成公 差为 1 的等差数列,则 q 的最小值是________ 14、设集合 A ? {( x, y ) |

m ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? m 2 , x, y ? R} , 2 B ? {( x, y) | 2m ? x ? y ? 2m ? 1, x, y ? R} , 若 A ? B ? ? , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是

______________ 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出 文字说明、证明过程活盐酸步骤。 15、在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a, b, c (1)若 sin( A ? (2)若 cos A ?

P E D A F C B

?
6

) ? 2 cos A, 求 A 的值;

1 , b ? 3c ,求 sin C 的值. 3

16、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD, AB=AD,∠BAD=60°,E、F 分别是 AP、AD 的中点 求证: (1)直线 EF‖平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD

17、请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片,切去阴影部 分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 ABCD 四个点重合于图中的点 P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的 两个端点,设 AE=FB=xcm (1)若广告商要求包装盒侧面积 S(cm )最大,试问 x 应取何值? (2)若广告商要求包装盒容积 V(cm )最大,试问 x 应取何值?并求出此时包装盒的高 与底面边长的比值。
3 2

D

C

P

A

x

E

F x

B
x2 y2 ? ? 1 的顶点,过坐标原点 4 2

18、如图,在平面直角坐标系 xOy 中,M、N 分别是椭圆

的直线交椭圆于 P、A 两点,其中 P 在第一象限,过 P 作 y 轴的垂线,垂足为 C,连接 AC, x 并延长交椭圆于点 B,设直线 PA 的斜率为 k (1)当直线 PA 平分线段 MN,求 k 的值; (2)当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d; (3)对任意 k>0,求证:PA⊥PB M A N 19 、 已 知 a , b 是 实 数 , 函 数 f ( x) ? x ? ax, g ( x) ? x ? bx,
3 2

P B C x

f ?(x) 和 g ?(x ) 是 f ( x), g ( x) 的导函数,若 f ?( x) g ?( x) ? 0 在区间 I 上恒成立,则称 f (x) 和 g (x) 在区间 I

上单调性一致 (1)设 a ? 0 ,若函数 f (x) 和 g (x) 在区间 [?1,??) 上单调性一致,求实数 b 的取值范 围; (2)设 a ? 0, 且 a ? b ,若函数 f (x) 和 g (x) 在以 a,b 为端点的开区间上单调性一致, 求|a-b|的最大值

20、设 M 为部分正整数组成的集合,数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,前 n 项和为 S n ,已知对任 意整数 k 属于 M,当 n>k 时, S n?k ? S n?k ? 2(S n ? S k ) 都成立 (1)设 M={1} a 2 ? 2 ,求 a5 的值; , (2)设 M={3,4} ,求数列 {an } 的通项公式

2012 年(江苏卷)

数学
参考公式:
棱锥的体积 V ? Sh ,其中 S 为底面积, h 为高. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 ....... 上. . 2 4} 4 6} 1.已知集合 A ? {1, , , B ? {2 , , ,则 A ? B ? ▲ . 2.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3 : 3 : 4 ,现用分层抽样的方法从该校高中 三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从高二年级抽取 ▲ 名学生.

1 3

b 3.设 a , ? R , a ? bi ?
为 ▲ .

11 ? 7i (i 为虚数单位) ,则 a ? b 的值 1 ? 2i

开始 k←1

4.右图是一个算法流程图,则输出的 k 的值是 ▲ . 5.函数 f ( x) ? 1 ? 2log6 x 的定义域为 ▲ . 6.现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项, ?3 为公比的 等比数列,若从这 10 个数中随机抽取一个数,则它小于 8 的概率是 ▲ . k2-5k+4>0 Y 输出 k 结束 (第 4 题) 7.如图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? AD ? 3cm , AA1 ? 2cm ,D1 则四棱锥 A ? BB1D1D 的体积为 ▲ cm3. N k←k +1

C1
B1

x2 y2 ? 2 ? 1 的离心率 8.在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 m m ?4
为 5 ,则 m 的值为 ▲ .

A1
D (第 7 题) F

C B C

A 9.如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2 , ? 2 ,点 E 为 BC 的中点, BC ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 点 F 在边 CD 上,若 AB ? AF ? 2 ,则 AE ? BF 的值是 ▲ . D

1] 10.设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间 [?1, 上,

? ? ax ? 1, 1 ≤ x ? 0 , ? ?1? ?3? f ( x ) ? ? bx ? 2 b 其中 a , ? R .若 f ? ? ? f ? ? , 0 ?2? ?2? ? x ? 1 , ≤ x ≤ 1, ?
A

E (第 9 题) B

则 a ? 3b 的值为 ▲ .

?? 4 ?? ? ? 11.设 ? 为锐角,若 cos ? ? ? ? ? ,则 sin ? 2? ? ? 的值为 ▲ . 12 ? 6? 5 ? ?
12.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 8x ? 15 ? 0 ,若直线 y ? kx ? 2 上至少 存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是 ▲ .

? 13.已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b(a, ?R) 的值域为 [0 , ?) ,若关于 x 的不等式 f ( x) ? c b m 的解集为 (m , ? 6) ,则实数 c 的值为 ▲ . b c c 14.已知正数 a , , 满足: 5c ? 3a ≤ b ≤ 4c ? a , ln b ≥ a ? c ln c ,则

b 的取值范围是 ▲ . a

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 ....... 说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 3BA? BC . (1)求证: tan B ? 3tan A ; (2)若 cos C ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

5 ,求 A 的值. 5

16. (本小题满分 14 分)

E CC 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, A1B1 ? AC1 , D , 分别是棱 BC , 1 上的点(点 1 A1 C1 F D 不同于点 C) ,且 AD ? DE , 为 B C 的中点.
1 1

求证: (1)平面 ADE ? 平面 BCC1 B1 ; (2)直线 A1 F // 平面 ADE.

B1

F E

A D B (第 16 题) 17. (本小题满分 14 分)

C

如图,建立平面直角坐标系 xOy,x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面,单位长度为 1 千 米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程 y ? kx ?

1 (1 ? k 2 ) x2 (k ? 0) 表示 20

的曲线上,其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小) ,其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由. y ( 千 米)

O

x ( 千

18. (本小题满分 16 分) 若函数 y ? f ( x ) 在 x=x0 取得极大值或者极小值则 x=x0 是 y ? f ( x ) 的极值点 已知 a,b 是实数,1 和 ?1是函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx 的两个极值点. (1)求 a 和 b 的值; (2)设函数 g ( x) 的导函数 g ?( x) ? f ( x) ? 2 ,求 g ( x) 的极值点;

2] (3)设 h( x) ? f ( f ( x)) ? c ,其中 c ? [?2 , ,求函数 y ? h( x) 的零点个数.

19. (本小题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 a 2 b2

? 3? e 0) F1 (?c , , F2 (c , .已知 (1 , ) 和 ? e , ? 都在椭圆上,其中 e 为椭圆的离心率. 0) ? 2 ? ? ? y
(1)求椭圆的离心率; (2)设 A,B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行, AF2 与 BF1 交于点 P. A P B

F1

O

F2

x

6 ,求直线 AF1 的斜率; 2 (ii)求证: PF1 ? PF2 是定值.
(i)若 AF1 ? BF2 ?

(第 19 题)

20. (本小题满分 16 分) 已知各项均为正数的两个数列 {an } 和 {bn } 满足: an ?1 ?

an ? bn an ? bn
2 2

, ? N? . n

?? b ? 2 ? bn ? ? ? (1)设 bn ?1 ? 1 ? ,n ? N ,求证:数列 ?? n ? ? 是等差数列; an ?? an ? ? ? ?
(2)设 bn ?1 ? 2 ?

bn ,n ? N? ,且 {an } 是等比数列,求 a1 和 b1 的值. an

绝密★启用前

2012 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)

数学Ⅱ(附加题)
21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作 ................... 答.若多做,则按作答的前两题评分. .. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修 4 - 1:几何证明选讲](本小题满分 10 分) 准考证号 如图,AB 是圆 O 的直径,D,E 为圆上位于 AB 异侧的两点,连结 BD 并延长至点 C,使 C BD = DC,连结 AC,AE,DE. D ?E ? ?C . 求证: A O E (第 21-A 题) 姓名 B

B.[选修 4 - 2:矩阵与变换](本小题满分 10 分)

★此卷上交考点保存★

? 1 3 ? ?? 4 4 ? 已知矩阵 A 的逆矩阵 A?1 ? ? ? ,求矩阵 A 的特征值. ? 1 ? 1? ? 2 2? ? ?
C.[选修 4 - 4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) 在极坐标中,已知圆 C 经过点 P

?

2,

? 3 ? ?? ,圆心为直线 ? sin ? ? 与极轴的 3 2 4

?

?

?

交点,求圆 C 的极坐标方程. D.[选修 4 - 5:不等式选讲](本小题满分 10 分) 已知实数 x,y 满足: | x ? y |?

1 1 5 求证: | y |? . ,2x ? y |? , | 3 6 18

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时 ........ 应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 设 ? 为随机变量,从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条,当两条棱相交时, ? ? 0 ; 当两条棱平行时, ? 的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时, ? ? 1 . (1)求概率 P(? ? 0) ; (2)求 ? 的分布列,并求其数学期望 E (? ) .

23. (本小题满分 10 分)

2 … n 设集合 Pn ? {1, , , } , n ? N? .记 f ( n) 为同时满足下列条件的集合 A 的个数:
① A ? Pn ;② x ? A ,则 2x ? A ;③ x ??Pn A ,则 2 x ?? Pn A . 若 若 (1)求 f (4) ; (2)求 f ( n) 的解析式(用 n 表示) .

2013 年(江苏卷)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分。请把答案填写在答题卡相印位 置上。 1.函数 y ? 3 sin( 2 x ?
2

?
4

) 的最小正周期为

. . .

2.设 z ? (2 ? i) ( i 为虚数单位) ,则复数 z 的模为

x2 y2 ? ? 1 的两条渐近线的方程为 16 9 4.集合 {?1,0,1} 共有 个子集.
3.双曲线 5.右图是一个算法的流程图,则输出的 n 的值是



6.抽样统计甲、乙两位设计运动员的 5 此训练成绩(单位:环) ,结

果如下: 运动员 甲 乙 第一次 87 89 第二次 91 90 第三次 90 91 第四次 89 88 第五次 93 92 .

则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为

7.现在某类病毒记作 X mYn ,其中正整数 m , n ( m ? 7 , n ? 9 )可以任意选取,则

m,n
都取到奇数的概率为 . 8.如图,在三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中, D,E,F 分别是

AB,AC,AA1 的中点,设三棱锥 F ? ADE 的体积为 V1 , 三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 的体积为 V2 ,则 V1 :V2 ? . 2 9.抛物线 y ? x 在 x ? 1 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D (包含三角形内部和边 界) .若点 P( x, y ) 是区域 D 内的任意一点,则 x ? 2 y 的取值范围是 .
10.设 D,E 分别是 ?ABC 的边 AB,BC 上的点, AD ?

1 2 AB , BE ? BC , 2 3


若 DE ? ?1 AB ? ?2 AC ( ?1,?2 为实数) ,则 ?1 ? ?2 的值为

11 . 已 知 f (x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 。 当 x ? 0 时 , f ( x) ? x2 ? 4 x , 则 不 等 式

f ( x) ? x 的解集用区间表示为



12.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的标准方程为 为

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,右焦点 a 2 b2

F ,右准线为 l ,短轴的一个端点为 B ,设原点到直线 BF 的距离为 d1 , F 到 l 的距
离为 d 2 ,若 d2 ? 6d1 ,则椭圆 C 的离心率为 .

13.在平面直角坐标系 xOy 中,设定点 A(a, a ) , P 是函数 y ? 点,

1 ( x ? 0 )图象上一动 x


若点 P,A 之间的最短距离为 2 2 ,则满足条件的实数 a 的所有值为 14.在正项等比数列 {an } 中, a5 ? 的 最大正整数 n 的值为 .

1 , a6 ? a7 ? 3 ,则满足 a1 ? a2 ? ? ? an ? a1a2 ?an 2

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 已知 a= (cos? , sin ? ),b ? (cos? , sin ? ) , 0 ? ? ? ? ? ? .

(1)若 | a ? b |? 2 ,求证: a ? b ; (2)设 c ? (0,1) ,若 a ? b ? c ,求 ? , ? 的值.

16. (本小题满分 14 分) 如图,在三棱锥 S ? ABC 中,平面 SAB ? 平面 SBC , AB ? BC , AS ? AB ,过 A 作 AF ? SB ,垂足为 F ,点 E,G 分别是棱 SA,SC 的中点.求证: (1)平面 EFG // 平面 ABC ; (2) BC ? SA .

S
E
F

G

A

C

B
17. (本小题满分 14 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线 l : y ? 2 x ? 4 . 设圆 C 的半径为 1 ,圆心在 l 上. (1)若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线, 求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M ,使 MA ? 2 MO ,求圆心 C 的横坐 标 a 的取值范围. O y A l

x

18. (本小题满分 16 分) 如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径。一种是从 A 沿直线步行 到 C ,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B ,然后从 B 沿直线步行到 C .现有甲、乙 两 位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50m / min .在甲出发 2 min 后,乙 从

A 乘缆车到 B ,在 B 处停留 1 min 后,再从匀速步行到 C .假设缆车匀速直线运动的
速度为 130m / min ,山路 AC 长为 1260 m ,经测量, cos A ? (1)求索道 AB 的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,

3 12 , cos C ? . 5 13

M B 乙步行的速度应控制在什么范围内? 1250 625 故乙步行的速度应控制在[ , ]范围内. 43 14 C D N

A

19. (本小题满分 16 分) 设 {an } 是 首 项 为

a , 公 差 为 d 的 等 差 数 列 (d ? 0) , Sn 是 其 前 n 项 和 . 记

bn ?

nS n , n2 ? c
n ? N * ,其中 c 为实数.

* (1)若 c ? 0 ,且 b1,b2,b4 成等比数列,证明: Snk ? n2 Sk ( k , n ? N ) ;

(2)若 {bn } 是等差数列,证明: c ? 0 .

20. (本小题满分 16 分) 设函数 f ( x) ? ln x ? ax , g ( x) ? e x ? ax ,其中 a 为实数. (1)若 f (x) 在 (1,??) 上是单调减函数,且 g (x) 在 (1,??) 上有最小值,求 a 的取值范 围; (2)若 g (x) 在 (?1,??) 上是单调增函数,试求 f (x) 的零点个数,并证明你的结论.

2009 年(江西卷)

理科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页,共 150 分。

第Ⅰ卷
考生注意: 1. 答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上,考生要认真核对答

题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓 名是否一致。 2. 第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题 卡上作答。若在试题卷上作答,答案无效。 3. 考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回。 参考公式
如果事件 A, B 互斥,那么 球的表面积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A, B ,相互独立,那么
P( A ? B) ? P( A) ? P( B)

S ? 4? R2
其中 R 表示球的半径 球的体积公式
V ? 4 ? R3 3

如果事件

A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么

n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率
k P (k ) ? Cn pk (1 ? p)n?k n

其中 R 表示球的半径

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.若复数 z ? ( x ?1) ? ( x ?1)i 为纯虚数,则实数 x 的值为
2

A. ?1 2.函数 y ? A. (?4, ? 1)

B. 0

C. 1

D. ?1 或 1

ln( x ?1) ? x 2 ? 3x ? 4

的定义域为 C. (?1, 1) D. (?1,1]

B. (?4, 1)

3.已知全集 U ? A ? B 中有 m 个元素, (痧A) ? ( U B) 中有 n 个元素.若 A I B 非空,则 U

A I B 的元素个数为
A. mn B. m ? n C. n ? m D. m ? n

4.若函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x , 0 ? x ?

?
2

,则 f ( x ) 的最大值为

A.1

B. 2

C. 3 ? 1

D. 3 ? 2

5.设函数 f ( x) ? g ( x) ? x2 ,曲线 y ? g ( x) 在点 (1, g (1)) 处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 ,则 曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处切线的斜率为 A. 4 B. ?

1 4

C. 2

D. ?

1 2

6.过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P , F2 为右焦 a 2 b2

点,若 ?F PF2 ? 60? ,则椭圆的离心率为 1 A.

2 2

B.

3 3

C.

1 2

D.

1 3

w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

7. (1 ? ax ? by)n 展开式中不含 x 的项的系数绝对值的和为 243 ,不含 y 的项的系数绝对 值的和为 32 ,则 a, b, n 的值可能为 A. a ? 2, b ? ?1, n ? 5 C. a ? ?1, b ? 2, n ? 6
2

B. a ? ?2, b ? ?1, n ? 6 D. a ? 1, b ? 2, n ? 5
2
w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

8.数列 {an } 的通项 an ? n (cos A. 470 B. 490

n? n? ? sin 2 ) ,其前 n 项和为 Sn ,则 S30 为 3 3
D. 510
z

C. 495

9.如图,正四面体 ABCD 的顶点 A , B , C 分别在两两垂直的三条射线

C D

Ox , Oy , Oz 上,则在下列命题中,错误的为 ..
A. O ? ABC 是正三棱锥 B.直线 OB ∥平面 ACD C.直线 AD 与 OB 所成的角是 45 D.二面角 D ? OB ? A 为 45
?
w.w.w. k.s.5.u .c.o.m

O A
?

B y
x

10.为了庆祝六一儿童节,某食品厂制作了 3 种不同的精美卡片,每袋食品随机装入一张 卡片,集齐 3 种卡片可获奖,现购买该种食品 5 袋,能获奖的概率为 A.

31 81

B.

33 81

C.

48 81

D.

50 81

w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

11.一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径” ,封闭区域边界曲线 的长度与区域直径之比称为区域的“周率” ,下面四个平面区域(阴影部分)的周率从左到

右依次记为 ?1 ,? 2 ,? 3 ,? 4 ,则下列关系中正确的为

?

?
A. ?1 ? ? 4 ? ? 3 12.设函数 f ( x) ? B. ? 3 ? ?1 ? ? 2 C. ? 4 ? ? 2 ? ? 3 D. ? 3 ? ? 4 ? ?1

ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的定义域为 D ,若所有点 (s, f (t ))(s, t ? D) 构成

一个正方形区域,则 a 的值为 A. ?2 B. ?4 C. ?8 D.不能确定
w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

绝密★启用前

理科数学
第Ⅱ卷
注意事项: 第Ⅱ卷 2 页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,若在试题上作答,答案无效。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。请把答案填在答题卡上 13.已知向量 a ? (3,1) , b ? (1,3) , c ? (k ,7) ,若 (a ? c) ∥ b ,则 k =

?

?

?

? ?

?



14.正三棱柱 ABC ? A1B1C1 内接于半径为 2 的球,若 A, B 两点的球面距离为 ? ,则正三 棱柱的体积为 15 . 若 不 等 式 .

9 ? x2 ? k ( x ? 2) ? 2 的 解 集 为 区 间 ? a, b? , 且 b ? a ? 2 , 则

k?



16.设直线系 M : x cos ? ? ( y ? 2)sin ? ? 1 (0 ? ? ? 2? ) ,对于下列四个命题:

A . M 中所有直线均经过一个定点 B .存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上

C .对于任意整数 n(n ? 3) ,存在正 n 边形,其所有边均在 M 中的直线上
D . M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等

其中真命题的代号是

(写出所有真命题的代号) .

三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ?

ex x
w.w.w.k. s.5.u.c.o.m

(1) 求函数 f ( x ) 的单调区间;

(2) 若 k ? 0 ,求不等式 f ' ( x) ? k (1 ? x) f ( x) ? 0 的解集.

18. (本小题满分 12 分) 某公司拟资助三位大学生自主创业,现聘请两位专家,独立地对每位大学生的创业方案进 行评审.假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是

1 .若某人获得两个“支持” , 2

则给予 10 万元的创业资助;若只获得一个“支持” ,则给予 5 万元的资助;若未获得“支 持” ,则不予资助,令 ? 表示该公司的资助总额. (1) 写出 ? 的分布列; (2) 求数学期望 E? .
w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

19. (本小题满分 12 分) △ ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,

tan C ?

sin A ? sin B , sin( B ? A) ? cos C . cos A ? cos B

(1)求 A, C ; (2)若 S?ABC ? 3 ? 3 ,求 a , c .

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

P

20. (本小题满分 12 分) 在 四 棱 锥 P ? A B C D , 底 面 A B C D 矩 形 , PA ? 平 面 中 是
A N M

D

O B C

ABCD , PA ? AD ? 4 , AB ? 2 . 以 AC 的中点 O 为球心、 AC 为直径的球面交 PD 于
点 M ,交 PC 于点 N . (1)求证:平面 ABM ⊥平面 PCD ;
w.w.w. k.s.5. u.c.o.m

(2)求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的大小; (3)求点 N 到平面 ACM 的距离.

21. (本小题满分 12 分) 已知点 P ( x0 , y0 ) 为双曲线 1

x2 y 2 ? ? 1 ( b 为正常数)上任一 8b 2 b 2
P

y

点, F2 为双曲线的右焦点,过 P 作右准线的垂线,垂足为 A ,连接 1

P 2
A

F2 A 并延长交 y 轴于 P2 .

w.w. w. k.s.5 .u.c.o.m

P1 F1
O

(1) 求线段 P P 的中点 P 的轨迹 E 的方程; 1 2 (2) 设 轨 迹 E 与 x 轴 交 于 B、D 两 点 , 在 E 上 任 取 一 点

F2

x

Q x, y ( y? 0 ,直线 QB,QD 分别交 y 轴于 M ,N 两点. (1 ) 1 ) 1
求证:以 MN 为直径的圆过两定点.

22. (本小题满分 14 分) 各项均为正数的数列 {an} , a1 ? a, a2 ? b ,且对满足 m ? n ? p ? q 的正整数 m, n, p , q 都 有

a p ? aq am ? an ? . (1 ? am )(1 ? an ) (1 ? a p )(1 ? aq )
1 4 , b ? 时,求通项 an ; 2 5

(1)当 a ?

w.w.w. k.s.5. u.c.o.m

(2)证明:对任意 a ,存在与 a 有关的常数 ? ,使得对于每个正整数 n ,都有

1

?

? an ? ?.

2010 年(江西卷)
数学 (理科)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.已知(x+i)(l- i)=y,则实数 x,y 分别为 A.x=-1 y=1 C.x=1 y=1 2.若集合 A= A.{ x | -1 ? x ? 1 } C.{ x | 0 ? x ? 1 } 3.不等式 | B. { x | x ? 0} D. ? B.x=-1,y=2 D. x=1,y=2

x?2 x?2 |? 的解集是 x x

A. (0,2) B. (- ? ,0) C. (2,+ ? ) D. (- ? ,0) ? (0,+ ? )

4 lim (1+
x? ?

1 1 1 + 2 +…+ x )= 3 3 3
B.3/2 C. 2 C .212 D. 215 D.不存在

A.5/3 A. 26 6.(2A.-1

5.等比数列| an |中 a1 = 2,ax = 4,函数 f(x)=x(x - a1)(x – a2 )…(x - ax),责 fx(0)= B.29 x )8 展开始终不含 x4 想的系数的和为 B.0 C. 1 D.2

7.E,F 是等腰直角 ? ABC 斜边 AB 上的三等分点,则 tan∠ECF= A.

26 27

B.

2 3

C.
2

3 3
2

D.

3 4

8.直线 y=kx+3 与圆 ? x ? 3? + ? y ? 2 ? = 4 相交于 M , N 两点,若 MN ≥2 3 ,则 k 的取值 范围是 A. ? ?

? 3 ? ,0 ? 4 ? ?

, B. ? ??, ? ? ∪ ?0,??? C. ? ? ? 4? ? ? 3 3 ?

?

3?

?

3

3?

D. ? ?

? 2 ? ,0 ? 3 ? ?

9.给出下列三个命题: ①函数 y =

1 1 ? cos x x ln 与 y =ln tan 是同一函数; 2 1 ? cos x 2 1 g(x)的 2

②若函数 y = f(x)与 y =g(x)的图像关于直线 y = x 对称,则函数 y =f (2x)与 y =

图像也相关于直线 y = x 对称; ③若奇函数 f(x)对定义域内任意 x 都有 f(x)= f(2-x),则 f(x)为周期函数,期中真命题是 A.①② B.①③ C.②③ D.②

10.过正方体 ABCD ? A B1C1D1 顶点 A 做直线 l1 ,使 l 与棱 AB1 AD1 AA1 所成的角都相 1 等,这样的直线 l 可以作

A.1 条

B.2 条

C.3 条

D.4 条

11.一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了一枚劣币,国王怀疑大臣作 弊,他用两种方法来检测。方法一:在 10 箱中各任意抽查一枚:方法二:在 5 箱中各 任意抽查两枚。国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为 p1 和 p2 ,则 A. p1 = p2 B. p1 ﹤ p2 C. p1 ﹥ p2 D.以上三种情况都有可能 12.如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记 t 时刻五角 星露出水面部分的图形面积为 S (t )( S (0) ? 0) ,则导函数 y ? S , (t ) 的图像大致为

二.填空题;本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,请把答案填在答题卡上。

13.已知向量 a , b ,满足 a =1, b =2,则 a 与 b 的夹角为 60°,则 a - b =_ 14.将 6 位志愿者分成 4 组,其中两个组各 2 人,另两个组各 1 人,分赴世博会的四个不同 场馆服务,不同的分配方案有_种(用数字作答) 。 15.点 A x0, y0 ? 在双曲线

?

?

?? ?

?? ?

?

?

? ?

?

x
4

2

?

y

2

32

=1 的右支上,若点 A 到右焦点的距离等于 2 x0 ,则 x 0 =

16.如图,在三棱锥 O ? ABC 中,三条棱 OA , OB , OC 两

? 两 垂 直 , 且 O A
次为 S1 , S2 S3 ,则

O? B

O分 别 经 过 三 条 棱 , C

OA , OB , OC 作一个截面平分三棱锥的体积,截面面积依

S1 , S2 S3 的大小关系为
三.解答题:本小题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = (1 ? cos x) sin x ? m sin( x ?
2

?

) sin( x ? ) , 4 4

?

(1) 当 m ? 0 时,求 f ( x ) 在区间 ? (2) 当 tan a =2 时, a = 18. (本小题满分 12 分)

? ? 3? ? 上的取值范围; , ?3 4 ? ?

3 ,求 m 的值。 5

某迷宫有三个通道,进入迷宫的每个人都要进入一扇智能门,首次到达此门,系统会随机 (即等可能)为你打开一个通道,若是 1 号通道,则需要 1 小时走出迷宫;若是 2 号,3 号通 道,则分别需要 2 小时,3 小时返回智能门,再次到达智能门时,系统会随即打开一个你 为到过的通道,直至走出迷宫为止,令表示走出迷宫所需的时间。 (1)求 ? 的分布列;(2)求 ? 的数学期望 19. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ln x ? ln(2 ? x) ? ax(a ? ??? (1)当 a=1 时,求 f ( x ) 的单调区间。 (2)若 f ( x ) 在,0,1 上的最大值为 ,求 a 的值。
2 1

20、 (本小题满分 12 分) 如 图 , ? BCD 与 ? MCD 都 是 边 长 为 2 的 正 三 角 形 , 平 面 MCD ? 平 面 B C D ,

AB ? 2 3 ,

(1)求点 A 到平面 MBC 的距离; (2)求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值。

21、 (本小题满分 12 分)

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,抛物线 C2 : x2 ? by ? b2 。 a 2 b2 (1)若 C2 经过 C1 的两个焦点,求 C1 的离心率;
设椭圆 C1 : (2)设 A(0, b), Q(3 3, ) ,又 M、N 为 C1 与 C2 不在 y 轴上的两个交点,若 ? AMN 的垂 心为 B (0, b ) ,且 ?QMN 的重心 在 C2 ,求椭圆 C1 和抛物线 C2 的方 程。

5 4

3 4

22、 (本小题满分 14 分) 证明以下命题: (1)对任一正整数,都存在正整数 b, c(b ? c) ,使得 a , b , c 成等差数列;
2 2 2

2 2 2 (2)存在无穷多个互不相似的三角形 ? ,其边长 an , bn , cn 为正整数且 an , bn , cn 成等差数

列。

2011 年(江西卷)

参考公式: 样本数据 ? x1 ? y1 ? ? ? x2 ? y2 ? ,?, ? xn ? yn ? 的线性关系数

锥体体积公式
1 V= Sh 3

其中 S 为底面积,h 为高

第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.若 z ?
? 1 ? 2i ,则复数 z = i

A. ?2 ? i

B. ?2 ? i

C. 2 ? i

D. 2 ? i

? x?2 ? 2.若集合 A ? ? x ? 1 ? 2 x ? 1 ? 3? , B ? ? x ? 0? , 则 A ? B = x ? ?

A. ? x ? 1 ? x ? 0? C.

B.. ? x 0 ? x ? 1? D.

? x 0 ? x ? 2?

? x 0 ? x ? 1?
,则 f ? x ? 的定义域为
? 1 ? C. ? ? , ?? ? ? 2 ?

3.若 f ? x ? ?
? 1 ? A. ? ? , 0 ? ? 2 ?

1 log 1 ? 2 x ? 1?
2

? 1 ? B. ? ? , 0 ? ? 2 ?

D.

?0,???

4.若 f ? x ? ? x2 ? 2x ? 4ln x 则 f ? x ? >0 的解集为 A. ? 0,??? C. B. D.

? ?1,0? ? ? 2, ???

? 2,???

? ?1,0?

5.已知数列 ∣ an ∣的前 n 项和 s n 满足: s n + sm = sn?m ,且 a1 =1,那么

a10 =( )
A.1 B.9 C.10 D.55

6.变量 X 与 Y 相对应的一组数据为(10,1) (11.3,2) (11.8,3) , , , ( 12.5,4 ),( 13,5 ), 变 量 U 与 V 相 对 应 的 一 组 数 据 为 表示变量 Y 与 X 之间的线性相关 系数 (7) r2 < r1 <0 的线性相关系数( ) B. 0< r2 < r1 C. r2 <0< r1 D. r2 = r1

7、观察下列各式:55=3125, 56=15625, 57=78125,?,则 52011 的末四位数字为 ?? ( _ A、3125 B、5625 C、0625 D、8125

8、已知 ?1 ,? 2,? 3 是三个相互平行的平面,平面 ?1 , ? 2 之间的距离为 d1 ,平面

a2 ,?3 之前的距离为 d 2 ,直线 l 与 ?1 ,?2 ,?3 分别相交于 P , P2 , P3 .那么“ P , P2 , P3 ” 1 1
是“ d1 ? d 2 ”的( ) B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件
2

A、充分不需要条件 C、充分必要条件 一、

y 若曲线 C1 : x + —2x=0 与曲线 C 2 :y(y+mx-m)=0 有四个不同的

2

交点,则实数 m 的取值范围是 ( )

3 3 3 3 A. (— 3 , 3 ) B. (— 3 ,0)∪(0, 3 ) 3 3 C. [— 3 , 3 ] 3 3 D.( -∞, - 3 )∪( 3 ,+∞)

一、如图,一个直径为 1 的小圆沿着直径为 2 的大圆内壁的逆时针方向滚动,

M 和 N 是小圆的一条固定直径的两个端点。那么,当小圆这样滚过大圆内壁的 一周,点 M,N 在大圆内所绘出的图形大致是 ( )

第Ⅱ卷 注意事项: 第Ⅱ卷共 2 页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,若在试题卷上作 答,答案无效。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。

? ? ? ? ? ? ? ? 11.已知 a = b =2, a ? 2b ? a ? b =-2,则 a 与 b 的夹角为

?

? ?

?



12.小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆内投掷一点, 若此点到圆心的距离大于
1 1 ,则周末去看电影;若此点到圆心的距离小于 , 2 4

则去打篮球;否则,在家看书。则小波周末不在家看书的概率为 . 13.下图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是 。



1 x2 y 2 ? 2 ?1 2 2 2 b 14.若椭圆 a 的焦点在 x 轴上,过点(1, 2 )做圆 x + y =1 的切线,

切点分别为 A,B,直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆的方程 是 。

三、选做题:请考生在下列两题中选一题,则按所做的一题评分。本题共 5 分 15 ( 1 ) 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 若 若 曲 线 的 极 坐 标 方 程 为 ( p= 2sin ? ? 4 cos ? ,以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系,则该曲 线的直角坐标方程为 。

15(2) (不等式选做题)对于实数 x,y,若 x ? 1 ≤1, y ? 2 ≤1,则 x ? 2 y ? 1 的 最大值为 。

四、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答题写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 16.(本小题满分 12 分) 某饮料公司招聘了一名员工,现对其进行一项测试,以便确定工资级别。公司 准备了两种不同的饮料共 8 杯,其颜色完全相同,并且其中 4 杯为 A 饮料,另 外 4 杯为 B 饮料,公司要求此员工一一品尝后,从 8 杯饮料中选出 4 杯 A 饮 料。若 4 杯都选对,则月工资定位 3500 元;若 4 杯选对 3 杯,则月工资定为 2800 元,否则月工资定为 2100 元,今 X 表示此人选对 A 饮料的杯数,假设此 人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力。 (1)求 X 的分布列; (2)求此员工月工资的期望。 17.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 sinC+cosC=1-sin (1)求 sinC 的值 (2)若 a2+b2=4(a+b)-8,求边 c 的值 18.(本小题满分 12 分) 已知两个等比数列 ?an? , ?bn? ,满足 a1 ? a (a ? 0) , b1 ? a1 ? 1 , b 2 ? a 2 ? 2 ,
b3 ? a 3 ? 3 .

C 2

(1)若 a ? 1 ,求数列 ?an? 的通项公式; (2)若数列 ?an? 唯一,求 a 的值. 19.(本小题满分 12 分)

1 1 设 f ( x) ? ? x3 ? x 2 ? 2ax 3 2 2 (1)若 f ( x) 在 ( , ??) 上存在单调递增区间,求 a 的取值范围。 3

(2)当 o ? a ? 2 时, f ( x) 在 [1, 4] 的最小值为 ? 值。 20.(本小题满分 13 分)

16 ,求 f ( x) 在该区间上的最大 3

x2 y 2 P( x0 , y0 )( x0 ? ?a) 是双曲线 E: 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点,M,N 分别是双曲 a b
1 线 E 的左右顶点,直线 PM,PN 的斜率之积为 。 5

(1)求双曲线的离心率; (2)过双曲线 E 的右焦点且斜率未 1 的直线交双曲线于 A,B 两点,O 为坐标 原点,C 为双曲线上一点,满足 21.(本小题满分 14 分) (1)如图,对于任意给定的四面体 A1 A2 A3 A4 ,找出依次排列的四 个相互平行的 ?1?2?3?4 ,使得 Ai ??i (i ? 1, 2,3, 4),且其中每相邻两 个平面间的距离都相等; (2)给定依次排列的四个相互平行的平面 ?1 , ? 2 , ?3 , ? 4 ,其中每 相邻两个平面间的距离为 l ,若一个正四面体 A1 A2 A3 A4 的四个顶点 满足: ,求 ? 的值。

Ai ??i (i ? 1, 2,3, 4), 求该正四面体 A1 A2 A3 A4 的体积

2012 年(江西卷)
参考公式:

锥体体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 为底面积, h 为高。 3

第Ⅰ卷
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1、若集合 A ? {?1,1} , B ? {0, 2} ,则集合 {z | z ? x ? y, x ? A, y ? B} 中的元素的个数为 A.5 B.4 C.3
3

D.2

2、下列函数中,与函数 y ? A. y ?

1 定义域相同的函数为 x
C. y ? xe
x

1 sin x

B. y ?

ln x x
x ?1 x ?1
C. 1

D. y ?

sin x x

3、若函数 f ( x ) ? ? A. lg101 4、若 tan ? ? A. B. 2

? x 2 ? 1, ? lg x,

,则 f ( f (10)) ? D. 0

1 ? 4 ,则 sin 2? ? tan ?
B.

1 5

1 4

C.

1 3

D.

1 2

5、下列命题中,假命题为 A.存在四边相等的四边形不是正方形 . B. z1 , z2 ? C, z1 ? z2 为实数的充分必要条件是 z1 , z2 互为共轭复数 C.若 x, y ? R ,且 x ? y ? 2, 则 x, y 至少有一个大于 1
0 1 n D.对于任意 n ? N , Cn ? Cn ? ?? Cn 都是偶数

6 、 观 察 下 列 各 式 : a ? b ? 1, a ? b ? 3, a ? b ?4 , a ? b ?7 , a ? b ?? , 11则
2 2 3 3 4 4 5 5

a10 ? b10 ?
A.28 B.76 C.123 D.199 7 、 在 直 角 三 角 形 ABC 中 , 点 D 是 斜 边 AB 的 中 点 , 点 P 为 线 段 CD 的 中 点 , 则

| PA |2 ? | PB |2 ? | PC |2
A.2 B.4 C.5 D.10 8、某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过 50 计,投入资金不超过 54 万元,假设种 植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 黄瓜 韭菜 年产量/亩 4吨 6吨 年种植成本/亩 1.2 万元 0.9 万元 每吨售价 0.55 万元 0.3 万元

为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入 ? 总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植

面积(单位:亩)分别为 A.50,0 B.30,20 C.20,30 D.0,50

9、样本( x1 , x2 ,?, xn )的平均数为 x ,样本( y1 , y2 ,? ym )的平均数为 y( x ? y) ,若 样 本 ( x1 , x2 ,?, xn , y1 , y2 ,? ym ) 的 平 均 数 z ? ? x ? (1 ? ? ) y , 其 中 0 ? ? ?

1 ,则 2

n, m 的大小关系为
A. n ? m B. n ? m C. n ? m D.不能确定
S E

10、如右图,已知正四棱锥 S ? ABCD 所有棱长都为 1,点 E 是侧棱

SC 上一动点,过点 E 垂直于 SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部 分 , 记 S E ? x 0 ? x ? 1) 截 面 下 面 部 分 的 体 积 为 V ( x ) ,则 函 数 ( ,

y ? V ( x) 的图像大致为
D A B

C

第Ⅱ卷
注:
第Ⅱ卷共 2 页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。若在试题卷上作答,答案无效。

二。填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 11、计算定积分

?

1

?1

( x2 ? sin x)dx ? ___________。

12 、 设 数 列 {an } bn { 都 是 等 差 数 列 , 若 a1 ? b1 ? 7 , a3 ? b3 ? 21 , 则 , }

a5 ? b5 ? ___________。
x2 y 2 13、椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点分别是 A, B ,左、右焦点分别是 F1 , F2 。若 a b | AF1 |,| F1 F2 |,| F1 B | 成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________.
14、下图为某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是______________.

是 开始 是 a=1
k=k+1

k<6



输出T

结束

否 a=0

三、选做题:请在下列两题中任选一题作答。若两题都做,则按第一题评阅计分。本题共 5 分。 15.(1) (坐标系与参数方程选做题)曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 ,以原点 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为___________。 15. ( 2 ) 不 等 式 选 做 题 ) 在 实 数 范 围 内 , 不 等 式 | 2 x ? 1| ? | 2 x ? 1|? 6 的 解 集 为 ( ___________。 四.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ? ? (1)确定常数 k ,并求 an ; (2)求数列 {

1 2 n ? kn (其中 k ? N? ) Sn 的最大值为 8 。 ,且 2

9 ? 2an } 的前 n 项和 Tn 。 2n

17、 (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中 , 角

A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c 。 已 知 A ?

?
4



b sin( ? C ) ? c sin( ? B) ? a 。 4 4
(1)求证: B ? C ? (2)若 a ?

?

?

?
2

2 ,求 ?ABC 的面积。

18、 (本题满分 12 分) 如 图 , 从 A (1, 0, 0) A2 (2,0,0) , B1 (0,1,0) , B2 (0, 2,0) , , 1

z C2 C1 O A1 A2 x B1 B2 y

C1 (0,0,1) , C2 (0,0, 2) 这 6 个点中随机选取 3 个点,将这 3 个点及
原点 O 两两相连构成一个“立体” ,记该“立体”的体积为随机变量

V (如果选取的 3 个点与原点在同一个平面内,此时“立体”的体
积V ? 0 ) 。 (1)求 V ? 0 的概率; (2)求 V 的分布列及数学期望 EV 。

19、 (本题满分 12 分) 在 三 棱 柱

ABC ? A1B1C1









A1 B1

C1

AB ? AC ? AA1 ? 5 , BC ? 4 ,在 A1 在底面 ABC 的投影
是线段 BC 的中点 O 。 ( 1 ) 证 明 在 侧 棱 AA1 上 存 在 一 点 E , 使 得 OE ? 平 面

BB1C1C ,并求出 AE 的长; (2)求平面 A B1C 与平面 BB1C1C 夹角的余弦值。 1

A O B

C

20、 (本题满分 13 分) 已知三点 O (0, 0) , A(?2,1) , B(2,1) ,曲线 C 上任意一点 M ( x, y ) 满足

??? ???? ???? ??? ??? ? ? ? ? | MA ? MB |? OM ? (OA ? OB) ? 2 。
(1)求曲线 C 的方程; (2)动点 Q( x0 , y0 )(?2 ? x0 ? 2) 在曲线 C 上,曲线 C 在点 Q 处的切线为 l 。问:是否存 在定点 P(0, t )(t ? 0) ,使得 l 与 PA, PB 都相交,交点分别为 D, E ,且 ?QAB 与 ?PDE 的 面积之比是常数?若存在,求 t 的值。若不存在,说明理由。

21、 (本小题满分 14 分) 若函数 h( x) 满足 (1) h(0) ? 1 , h(1) ? 0 ; (2)对任意 a ? [0,1] ,有 h(h(a)) ? a ; (3)在 (0,1) 上单调递减。

1? x p p 则称 h( x) 为补函数。已知函数 h( x) ? ( ) (? ? ?1, p ? 0) 。 1? ? x p (1)判函数 h( x) 是否为补函数,并证明你的结论;
1

(2)若存在 m ? [0,1] ,使得 h(m) ? m ,称 m 是函数 h( x) 的中介元。记 p ? 时 h( x) 的中介元为 xn ,且 S ( x) ? 范围;

1 (n ? N ? ) n

? x ,若对任意的 n ? N
i ?1 i

n

?

,都有 S n ?

1 ,求 ? 的取值 2

(3)当 ? ? 0 , x ? (0,1) 时,函数 y ? h( x) 的图像总在直线 y ? 1 ? x 的上方,求 p 的取 值范围。

2013 年(江西卷)
第Ⅰ卷 选择题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题意要求的。 1.已知集合 M = ?1, 2, zi? , i 为虚数单位, N ? ?3, 4? , M ? N ? ?4? ,则复数 z ? A. ? 2i 2.函数 y ? A. ? 0,1? B. 2i C. ? 4i D. 4i

x ln ?1 ? x ? 的定义域为
B. ?0,1? C. ? 0,1? D. ?0,1?

3.等比数列 x,3x ? 3,6 x ? 6,… 的第四项等于 A. ?24 B. 0 C. 12 D. 24 4.总体由编号为 01,02,…,19,20 的 20 个个体组成,利用下面的随机数表选取 5 个个体,选 取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始从左到右依次选取两个数字,则选出来的 第 5 个个体的编号为 7816 3204 A.08
5

6572 9234

0802 4935 C.02

6314 8200 D.01

0702 3623

4369 4869

9728 6938

0198 7481

B.07

2? ? 5. ? x 2 ? 3 ? 展开式中的常数项为 x ? ?
A. 80 6.若 S1 ? B. ?80 C. 40
2 1

D. ?40

?

2

1

x 2 dx , S 2 ? ?

2 1 dx , S3 ? ? e x dx ,则 S1 , S2 , S3 的大小关系为 1 x

A. S1 ? S2 ? S3

B. S2 ? S1 ? S3

C. S2 ? S3 ? S1

D. S3 ? S2 ? S1

7.阅读如下程序框图,如果输出 i ? 5 ,那么在空白矩形框中应填入的语句为 否 是 i 是奇数 否

开始 开 始

i=1,S=0

i=i+1

S<10 是

输出 i

结果 开 始

A. S ? 2* i ? 2

B. S ? 2* i ? 1

C. S ? 2* i

D. S ? 2* i ? 4
F

8.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 ? 上,且 AB ∥ CD ,正方体的六个面 所在的平面与直线 CE, EF 相交的平面个数分别记为 m, n ,那么 m ? n ? A.8 B.9
C E D

?

A

B

C.10 D.11 9.过点 2, 引直线 l 与曲线 y ? 1 ? x 2 相交于 A, B 两点, O 为坐标原点,当 ?AOB 的面 ( 0) 积取最大值时,直线 l 的斜率等于 A.

3 3

B. ?

3 3

C. ?

3 3

D. 3

10.如图,半径为 1 的半圆 O 与等边三角形 ABC 夹在两平行线 l1 , l2 之间, l1 ∥ l2 , l 与半圆

? 相交于 F , G 两点,与三角形 ABC 两边相交于 E , D 两点。设弧长 FG 的长为 x(0 ? x ? ? ) ,

y ? EB ? BC ? CD ,若 l 从 l1 平行移动到 l2 ,则函数 y ? f ( x) 的图像大致是
O

A E D
G

F

B

C

第Ⅱ卷 非选择题
注意事项:第Ⅱ卷共 2 页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。若在试题卷上作答,答 案无效。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 11.函数 y ? sin 2 x ? 2 3sin 2 x 的最小正周期 T 为 12.设 e1 , e2 为单位向量且 e1 、 e2 的夹角为 方向上的射影为 . . .

??

?? ?

??

?? ?

?
3

,若 a ? e1 ? 3e2 , b ? 2e1 ,则向量 a 在 b

?

? ?

?? ?

?

??

?

?

13.设函数 f ( x) 在 ? 0,??? 内可导,且 f (e x ) ? x ? e x ,则 f '(1) ?

14.抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F ,其准线与双曲线 若 ?ABF 为等边三角形,则 p ? 分。 .

x2 y 2 ? ? 1 相交于 A, B 两点, 3 3

三、选做题:请在下列两题中任选一题作答,若两题都做按其中一题评阅计分。本题共 5 15.(1)(坐标系与参数方程选做题)设曲线 C 的参数方程为: x ? t , y ? t 2 (t为参数), . 若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴简历极坐标系,则曲线 C 的极坐标方 程为_______. (2)(不等式选做题)在实数范围内,不等式 x ? 2 ? 1 的解集为___________. . 四、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 cos C ? (cos A ? 3sin A)cos B ? 0 . 1)求角 B 的大小; 2)若 a ? c ? 1 ,求 b 的取值范围。

17. (本小题满分 12 分)
2 正项数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足: Sn ? (n2 ? n ?1)Sn ? (n2 ? n) ? 0 。

1)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; 2 ) 令 bn ?

n ?1 * , 数 列 ?bn ? 的 前 n 项 和 为 Tn 。 证 明 : 对 于 任 意 n ? N , 都 有 (n ? 2) 2 an 2

Tn ?

5 。 64

18.(本小题满分 12 分) 小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队,游戏规 则为:以 O 为起点,再从 A , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 , A7 , A8(如图)这 8 1

个点中任取两点分别分终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为 ? 。若 ? ? 0 就参加学校 合唱团,否则就参加学校排球队。 1)求小波参加学校合唱团的概率; 2)求 X 的分布列和数学期望。

19.(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中, PA ⊥平面 ABCD , E 为 AB 的中 点, G 为 PD 的中点, ?DAB ? ? DCB, EA ? EB ? AB ? 1 ,

PA ?

3 ,连接 CE 并延长交 AD 于 F . 2
1)求证:AD⊥平面 CFG; 2)求平面 BCP 与平面 DCP 的夹角的余弦值

20. (本小题满分 13 分)

3 1 x2 y 2 如图,椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 P (1, ) ,离心率 e ? ,直线 l 的方程为 x ? 4 . 2 2 a b 1)求椭圆 C 的方程;
2) AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P ) ,设直线 AB 与直线 l 相交于点 M ,记

PA , PB , PM 的斜率分别为 k1 , k2 , k3 。问:是否存在常数 ? ,使得 k1 ? k2 ? ? k3 ?若存在,
求 ? 的值;若不存在,说明理由.

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? a(1 ? 2 x ?

1 ) , a 为常数且 2

a ? 0.
1 ) 证 明 : 函 数 f ( x) 的 图 像 关 于 直 线

x?

1 对称; 2 2)若 x0 满足 f ( f ( x0 )) ? x0 , 但 f ( x0 ) ? x0 ,则 x0 称为函数 f ( x ) 的二阶周期点,如果 f ( x) 有两个二阶周期点 x1 , x2 ,试确定 a 的取值范围;
3)对于(2)中的 x1 , x2 ,和 a ,设 x3 为函数 f ( f ( x)) 的最大值点, A( x1 , f ( f ( x1 ))) ,

B( x2 , f ( f ( x2 ))) , C( x3 ,0) ,记 ?ABC 的面积为 S (a) ,讨论 S (a) 的单调性。


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