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3.5


对数函数的概念

复习回顾
换底公式
loga N ?a, b ? 0, a, b ? 1, N ? 0?. logb N ? loga b

常用结论

logb a ? loga b ? 1 logb a ? logb c ? logc a ? 1
n log a m b ? log

a b m
n

在细胞分裂的问题中,细胞分裂个数y和 分裂次数x的函数关系,用正整数指数函数 y=2x表示.在学习过程中我们已经反它推 广到实数指数函数. 分裂?次 细胞个数 1万 10万
x=log2y

在y=2x中知y求x

一般的指数函数y=ax(a>0,a≠1)中的 两个变量,能不能把y当作自变量,使得 x是y的函数?

y=ax(a>0,a≠1),对于x每一个确定值,y都 y 有唯一确定的值和它对应. y=ax (a>1) y2 x1≠x2 y1≠y2
R R 一一对应 {y|y>0} {y|y>0}
y1 x1

x2

x

对于任意y∈(0,+∞)有唯一x∈R满足y=ax 把y当作自变量,x是y的函数 x=logay(a>0,a≠1)

x=logay
a>0,a≠1 习惯

对数函数
y>0

y=logax(a>0,a≠1) a为对数函数的底数

对数函数 常用对数函数 自然对数函数

10为底的对数函数 y=lgx e为底的对数函数 y=lnx

例1 计算:
(1)计算对数函数y=log2x对应于x取1,2,4时的函数值; (2)计算常用对数函数y=lgx对应于x取1,10,100,0.1时 的函数值.

解(1)当x=1时,y=log2x=log21=0, 当x=2时,y=log2x=log22=1, 当x=4时,y=log2x=log24=2; (2)当x=1时,y=lgx=lg1=0, 当x=10时,y=lgx=lg10=1, 当x=100时,y=lgx=lg100=2, 当x=0.1时,y=lgx=lg0.1=-1.

指数函数y=ax与对数函数x=logay(a>0,a≠1) 有什么关系?

y=ax x=logay

数 自变量 因变量 定义域 值
x y y x R (0,+∞)



(0,+∞) R

对应法则互逆

称这两个函数互为反函数
指数函数 y = a x 是对数函数 x =log a y ( a >0, a ≠ 1) 的反函数

指数函数 y = a x ( a >0, a ≠ 1)
反 函 数

对数函数 y =log a x ( a >0, a ≠ 1)

例2 写出下列对数函数的反函数:
(1)y=lgx;

?2?y ? log1 x.
3

解 (1)对数函数y=lgx,它的底数是 10 它的反函数是指数函数 y=10x
1 (2)对数函数 y ? log1 x, 它的底数是 3 x 3
1? 它的反函数是指数函数 y ? ? ? ?. ? 3?

例3 写出下列指数函数的反函数:
(1)y=5x
?2? ?2?y ? ? ? . ?3?
x

解(1)指数函数y=5x,它的底数是5 它的反函数是对数函数 y=log5x; (2)指数函数
? 2? y?? ? ? 3?
x

,它的底数是
3

它的反函数是对数函数 y ? log2 x

2 3

,

练习 1.计算: (1)计算对数函数 y ? log1 x 对应于x取 2 0.25,0.5,1,2,4,8时的函数值;

(2)计算常用对数函数y=lgx对应于x取 0.1,0.0001,1,100时的函数值.

练习 2.说出下列各组函数之间的关系: (1)y=10x和y=lgx; 互为反函数, (2)y=2x和y=log2x; 定义域和值域互换, 对应法则互逆 (3)y=ex和y=lnx.

练习 3.写出下列对数函数的反函数: ?3?y ? log1 x. (1)y=log2.5x; (2)y=logπx;
3

(1)y=2.5x

(2)y=πx
?? ? ?3?y ? ? ? . ?2?
x

?1? ?3?y ? ? ? ? 3?

x

4.写出下列指数函数的反函数:
(1)y=4x; (1)y=log4x (2)y=1.4x;

(2)y=log1.4x ?3?y ? log? x
2

小结

对数函数的概念 y=logax(a>0,a≠1,x>0)
反函数 指数函数 y = a x ( a >0, a ≠ 1) 与 对数函数 y =log a x ( a >0, a ≠ 1) 互为反函数 定义域和值域互换 对应法则互逆


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