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2015《金榜e讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第3章 第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式


第二节

同角三角函数的基本 关系与诱导公式

[主干知识梳理] 一、同角三角函数的基本关系式 1.平方关系:sin2α +cos2α =1(α∈R).
? sin α ? π ? ? 2.商数关系:tan α = α ≠kπ + ,k∈Z?. ? 2 cos α ? ?

二、六组诱导公式

r /> kπ 对于角“ ±α ”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变,符 2 号看象限” , “奇变偶不变”是指“当 k 为奇数时,正弦变余弦, 余弦变正弦;当 k 为偶数时,函数名不变” . “符号看象限”是指 “在 α 的三角函数值前面加上当 α 为锐角时,原函数值的符号” .

[基础自测自评] 1.sin 585°的值为 2 A.- 2 2 B. 2 3 C.- 2 3 D. 2 ( )

A [sin 585°=sin(360°+225°) =sin 225°=sin(180°+45°)=-sin 45° 2 =- .] 2

π 2.(教材习题改编)已知 sin(π +θ)=- 3cos(2π -θ),|θ|< 2 ,则 θ 等于 π A.- 6 π B.- 3 π C. 6 π D. 3 ( )

D [∵sin(π+θ)=- 3cos(2π-θ), ∴-sin θ=- 3cos θ,∴tan θ= 3. π π ∵|θ|< 2 ,∴θ= 3 .]

3.已知 tan θ

?π ? ? sin? +θ? -cos(π -θ) ? ?2 ? =2,则 ? = ? π ? sin? - θ ?2 ?-sin(π -θ) ? ?

(

)

2 A.2 B.-2 C.0 D.3 cos θ+cos θ 2 2 B [原式= = = =-2] cos θ-sin θ 1-tan θ 1-2

1 4.已知 α 是第二象限角,tan α =- ,则 cos α =________. 2 解析 由题意知 cos α<0,又 sin2α+cos2α=1,

sin α 1 2 5 tan α= =-2.∴cos α=- 5 . cos α 答案 2 5 - 5

5.(2014· 郑州模拟)已知

? π α∈? ?- 2 ?

? ? ,0?,sin ?

3 α =- , 5

则 tan(π -α)=__________. 解析 4 依题意得,cos α= 1-sin α=5,
2

sin α 3 3 tan α= =- ,tan(π-α)=-tan α= . 4 4 cos α 答案 3 4

[关键要点点拨] 应用诱导公式时应注意的问题 (1)利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三 角函数为锐角三角函数 ,其步骤:去负号 — 脱周期 — 化锐

角.特别注意函数名称和符号的确定.
(2)在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意 判断符号. (3)注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化.

同角三角函数的基本关系式
[典题导入] 1 (1)若 tan θ + =4,则 sin 2θ = tan θ 1 A.5 1 C.3 1 B.4 1 D.2 ( )

[听课记录]

1 ∵tan θ+ =4, tan θ

sin θ cos θ ∴cos θ+ sin θ =4, sin2θ+cos2θ 2 ∴ =4,即 =4, cos θsin θ sin 2θ 1 ∴sin 2θ= . 2 答案 D

(2) 已 知 sin(3 π + α) = 2sin ________. [听课记录] 解法一:由

?3π ? ? 2 ?

? ? +α ? , ?

sin α -4cos α 则 = 5sin α +2cos α

?3π ? ? sin(3π+α)=2sin? +α? ?得 2 ? ?

tan α=2.

tan α-4 2-4 1 原式= = =- . 6 5tan α+2 5×2+2

解法二:由已知得 sin α=2cos α. 2cos α-4cos α 1 原式= =-6. 5×2cos α+2cos α 答案 1 - 6

[互动探究] 在(2)的条件下,sin2α +sin 2α =________. 解析
2 sin α+2sin αcos α 2 原式=sin α+2sin αcos α= sin2α+cos2α

tan2α+2tan α 8 = = . 2 5 tan α+1 答案 8 5

[规律方法] 1.利用 sin2α+cos2α=1 可以实现角 α 的正弦、余弦的互化,利 sin α 用 =tan α可以实现角 α 的弦切互化. cos α 2. 应用公式时注意方程思想的应用: 对于 sin α+cos α, sin α cos α,sin α-cos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2=1± 2sin αcos α,可以知一求二(参阅本节题型技法点拨). 3.注意公式逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α, sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.

[跟踪训练] cos α 2sin α 1.(1)若角 α 的终边落在第三象限,则 + 的 2 2 1-sin α 1-cos α 值为 A.3 C.1 B.-3 D.-1 ( )

(2)已知 sin α =2sin β ,tan α =3tan β , 则 cos α =________.

解析 (1)由角 α 的终边落在第三象限得 sin α <0,cos α <0, cos α 2sin α cos α 2sin α 故原式= + = + |cos α | |sin α | -cos α -sin α =-1-2=-3. (2)∵sin α =2sin β ,tan α =3tan β , ∴sin2α =4sin2β , tan2α =9tan2β , ① ②

由①÷ ②得: 9cos2α =4cos2β , ①+③得: sin2α +9cos2α =4, ∵cos2α +sin2α =1, 3 6 ∴cos α = ,即 cos α =± . 8 4
2



答案

6 (1)B (2)± 4

三角函数的诱导公式
[典题导入] tan(π +α)cos(2π (1) cos(-α-3π )sin(-3π -α) [听课记录] 原式
? ? ? π? ? ? ?? αsin?-2π+?α+ ?? 2 ?? ? ? ? 3π ? +α)sin?α- 2 ? ? ? ? ?

=________.

tan αcos =

cos(3π+α)[-sin(3π+α)]

tan αcos tan αcos αcos α = = (-cos α)sin α (-cos α)sin α tan αcos α sin α cos α =- =- · =-1. sin α cos α sin α 答案 -1

?π ? ? αsin? +α? ? ?2 ?

sin(kπ +α) cos(kπ +α) (2)已知 A= + (k∈Z),则 A 的值构成 sin α cos α 的集合是 A.{1,-1,2,-2} C.{2,-2} B.{-1,1} D.{1,-1,0,2,-2} ( )

[听课记录]

sin α cos α 当 k 为偶数时,A=sin α+cos α=2;

-sin α cos α k 为奇数时,A= - =-2. sin α cos α 答案 C

[规律方法] 利用诱导公式化简求值时的原则

(1)“负化正”,运用- α的诱导公式将任意负角的三角函数
化为任意正角的三角函数. (2)“ 大化小 ” ,利用 k·360°+ α(k∈Z) 的诱导公式将大于 360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数. (3)“ 小化锐 ” ,将大于 90°的角化为 0°到 90°的角的三角

函数.
(4)“ 锐求值 ” ,得到 0°到 90°的三角函数后,若是特殊角 直接求得,若是非特殊角可由计算器求得.

[跟踪训练] 2. (1)(2014· 安徽皖北模拟)若 3 A.- 5 4 C.5 3 B. 5 4 D.-5
?π sin? ?6 ? ? 3 ? 则 +α?=5, ? ?π cos? ?3 ? ? ? -α?=( ?

)

解析

?π ?π ?π ? ?? ? ? ? ? ? cos? -α?=cos? -? +α? ?? ?3 ? ?6 ?? ?2

?π ? 3 ? =sin? +α? =5,故选 ? ?6 ?

B.

答案 B

(2)(2014· 江西临川期末)已知 α 是第二角限角,其终边上一点
? π? 2 ? P(x, 5),且 cos α = x,则 sin?α + ? ?=__________. 4 2 ? ?

解析

2 x 由题意得 cos α= 2= 4 x, 5+x

解得 x=0 或 x= 3或 x=- 3.

又 α 是第二象限角, ∴x=- 3.
? π? 6 6 ? ? 即 cos α=- 4 ,sin?α+ ?=cos α=- 4 . 2? ?

答案

6 -4

诱导公式在三角形中的应用
[典题导入] 在△ABC 中,若 sin(2π -A)=- 2sin(π -B), 3cos A=- 2cos (π -B),求△ABC 的三个内角.

[听课记录]

由已知得 sin A= 2sin B,

3cos A= 2cos B 两式平方相加得 2cos2A=1, 2 2 即 cos A= 或 cos A=- . 2 2 2 3 (1)当 cos A= 2 时,cos B= 2 ,又角 A、B 是三角形的内角,

π π 7π ∴A= ,B= ,∴C=π-(A+B)= . 4 6 12 2 3 (2)当 cos A=- 2 时,cos B=- 2 , 3π 5π 又角 A、B 是三角形的内角,∴A= 4 ,B= 6 ,不合题意. π π 7π 综上知,A=4,B=6,C=12.

[规律方法] 1.诱导公式在三角形中经常使用,常用的角的变形有:A+B= A B C π π-C,2A+2B=2π-2C, 2 + 2 + 2 = 2 等,于是可得 A+B C sin(A+B)=sin C,cos =sin 等; 2 2 2.求角时,通常是先求出该角的某一个三角函数值,再结合其范 围,确定该角的大小.

[跟踪训练] 3.在三角形 ABC 中, (1)求证:cos (2)若
?π cos? ?2 ?
2A+B

2 +cos 2 =1;
? +B?tan ?

2C

? ?3 ? +A?sin?2π ? ?

(C-π )<0,求证:三角形 ABC

为钝角三角形.

证明

(1)在△ABC 中,A+B=π-C,

A+B π C 则 2 = 2 -2,
?π C? A+B C ? ? 所以 cos 2 =cos? - ?=sin 2 , 2? ?2

故 cos (2)若

2A+B

2 +cos 2 =1. (C-π)<0,

2C

?π ? ?3 ? ? ? cos? +A?sin?2π+B?tan ? ? ?2 ?

则(-sin A)(-cos B)tan C<0, 即 sin Acos Btan C<0, ∵在△ABC 中,0<A<π,0<B<π,0<C<π, ∴sin
? ?tan C<0, ?cos B<0, ? A>0,? 或? ? ? ?tan C>0 ?cos B>0,

∴B 为钝角或 C 为钝角, 故△ABC 为钝角三角形.

【创新探究】 巧用平方关系解决三角化简、求值问题 π 1 已知- <x<0,sin x+cos x= ,则 sin x- 2 5
cos x=________. 【思路导析】 可利用方程思想先求出 sin x 与 cos x,直接代

入求值;也可利用平方关系先求出 sin 2x,再整体代入求值.

【解析】

1 解法一:由 sin x+cos x= ,与 sin2x+cos2x=1 5

1 ? ?sin x+cos x= , 5 联立方程组? 2 2 ? ?sin x+cos x=1, 4 3 ? ? ?sin x=5, ?sin x=-5, 解得? 或? ?cos x=-3 ?cos x=4, 5 ? 5 ?

π ∵- 2 <x<0, 3 ? ?sin x=-5, 7 ∴? ∴sin x-cos x=-5. ?cos x=4, 5 ? 1 解法二:sin x+cos x=5,两边平方得, 1 24 1+sin 2x=25,∴sin 2x=-25.

49 ∴(sin x-cos x) =1-sin 2x=25,
2

π 又∵- 2 <x<0,∴sin x<0,cos x>0, 7 ∴sin x-cos x=-5. 【答案】 7 -5

【高手支招】

1.上述解法一易理解掌握,但计算量较大,很

容易出错.若利用sin α+cos α,sin α· cos α,sin α-cos α三者

之间的关系,即(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α;
(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α; (sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2,问题迎刃而解. 2.对所求式子进行恒等变形时,注意式子正、负号的讨论与 确定.

[体验高考] 1.(2013· 广东高考)已知 2 A.-5 1 C.5
?5π sin? ? 2 ? ? 1 ? +α?=5,那么 ?

cos α = (

)

1 B.-5 2 D.5

C

?5π ? ? ? π ? ? ? [∵sin? +α?=sin?2π+ +α? ? 2 ? 2 ? ? ?

?π ? ? =sin? +α? ?=cos 2 ? ?

1 α=5,

1 ∴cos α= .] 5

10 2.(2013· 浙江高考)已知 α∈R,sin α +2cos α = 2 , 则 tan 2α = 4 A.3 3 C.-4 3 B.4 4 D.-3 ( )

10 10 C [由 sin α+2cos α= 得,sin α= -2cos α.① 2 2 10 3 10 把①式代入 sin α+cos α=1 中可解出 cos α= 10 或 10 ,
2 2

10 3 10 当 cos α= 时,sin α= ; 10 10 3 10 10 当 cos α= 10 时,sin α=- 10 . 1 ∴tan α=3 或 tan α=-3, 3 ∴tan 2α=- .] 4

3.(2012· 大纲版全国高考)已知 α 为第二象限角,sin α +cos α 3 = 3 ,则 cos 2α = 5 A.- 3 5 C. 9 5 B.- 9 5 D. 3 ( )

3 A [解法一:∵sin α+cos α= 3 , 1 ∴(sin α+cos α) = . 3
2

2 2 ∴2sin αcos α=- ,即 sin 2α=- . 3 3 3 又∵α 为第二象限角且 sin α+cos α= >0, 3 π 3 ∴2kπ+ <α<2kπ+ π(k∈Z). 2 4

3 ∴4kπ+π<2α<4kπ+2π(k∈Z), ∴2α为第三象限角. 5 ∴cos 2α=- 1-sin 2α=- 3 .
2

3 1 解法二: 由 sin α+cos α= 3 两边平方得 1+2sin αcos α=3, 2 ∴2sin αcos α=-3.

∵α为第二象限角,∴sin α>0,cos α<0, ∴sin α-cos α= (sin α-cos α)2 15 = 1-2sin αcos α= 3 . 3 ? ?sin α+cos α= 3 , 由? 得 ?sin α-cos α= 15, 3 ?
2

? ?sin α= 3+ 15, 6 ? ? 3- 15 ? cos α= , ? 6 ?

5 ∴cos 2α=2cos α-1=- .] 3

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