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三角函数题的错解剖析

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龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 三角函数题的错解剖析 作者:崔环 来源:《中学教学参考· 理科版》2013 年第 10 期 易错环节一:对角的概念认识不深刻,考虑不全导致出错 角的概念推广到任意角后,已知一个角的终边所在的象限,确定与其相关的角的终边所在 的象限问题及相关角之间的关系成为一个易错点. 【例 1】已知角 α,β 的终边关于 y 轴对称,则 α 与 β 的关系为. 错解:由角 α,β 的终边关于 y 轴对称,则有 α+β2=π2+2kπ(k∈ Z). 错因分析:本题考查的是具有对称关系的角的表示,由于对角习惯性的认识,学生往往只 考虑到 x 轴上半部分的情形,即关于 y 轴正半轴对称的情形,忽视了关于 y 轴负半轴对称的情 形. 正解:由角 α,β 的终边关于轴对称可得 α+β2=π2+kπ(k∈ Z),即 α+β=2kπ+π(k∈ Z). 点评:利用位置关系确定角的集合,必须明确角的终边的图象关系,考虑全面才能防止出 错. 易错环节二:利用平方关系求值时忽视范围问题而出错 同角三角函数基本关系式是基本公式之一,在运用这些公式进行恒等变形时,首先应分析 等式两边的三角式的取值范围. 【例 2】已知 sinθ+cosθ=15,θ∈ (0,π),则 cotθ=. 错解:两边同时平方,由 sinθ·cosθ=-1225 与 sinθ+cosθ=15 得(sinθ-cosθ) 2=sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ-4sinθcosθ=(sinθ+cosθ)2-4sinθcosθ=4925, ∴ sinθ-cosθ=±75.∴ sinθ=45,cosθ=-35,进而可求得 cotθ=-34. 或 sinθ=-35,cosθ=45,进而可求得 cotθ=-43. 错因分析:没有注意到当 θ∈ (0,π)时,由于 sinθ·cosθ 正解:sinθ+cosθ=15,θ∈ (0,π),两边同时平方,有 sinθ·cosθ=-1225 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 点评:已知角的某一三角函数值或关系式的值,求角 α 的其余三角函数值时,要注意公式 的合理选择.若角 α 的终边所在象限已经确定,求另两种三角函数值时,只有一种结果;若角 α 所在象限不确定,应注意根据关系式特点进行讨论. 易错环节三:忽视三角函数的有界性,造成错解 【例 3】若 22sin2α+sin2β-2sinα=0,则 cos2α+cos2β 的取值范围是(). A.[1,5]B.[1,2]C.[1,94]D.[1,+∞) 解:由条件得 sin2β=2sinα-2sin2α,则 cos2α+cos2β=2-sin2α-sin2β=2-sin2α-(2sinα-2sin2α)=sin2α-2sinα+2=(sinα-1)2+1. 错解一:由(sinα-1)2+1≥1,从而选 D. 错解二:∵ -1≤sinα≤1,∴ 1≤(sinα-1)2+1≤5,从而选 A. 剖析:错解一忽视了正弦函数的有界性;错解二虽然考虑了正弦函数的有界性,但没注意 到 sin2β=2sinα-2sin2α 还隐含 sinα 取值范围的条件.由 sin2β=2sinα-2sin2α≥0,可得 0≤sinα≤1,从 而应选 B. 易错环节四:忽视复合函数的性质,造成错解 【例 4】求函数 y=2sin(π4-2x)的递增区间. 错解:令 u=π4-2x,则 y=2sinu 在[2kπ-π2,2kπ+π2](k∈ Z)上是增函数,即 2kπ-

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