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2013年广州市普通高中毕业班综合测试(一)理科数学试卷


试卷类型:A

2013年广州市普通高中毕业班综合测试(一)

数学(理科)
2013.3 本试卷共4页,21小题, 满分150分。考试用时120分钟。 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、 座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置 上。 2.选择题每小题选

出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点 涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目 指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的 答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4. 作答选做题时, 请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点, 再作答.漏涂、 错涂、多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式: 如果事件 A, B 相互独立,那么

P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ?

.

? ? ? 线性回归方程 y ? bx ? a 中系数计算公式
? b ?
i ?1

? ( xi ? x)( yi ? y )
i ?1

n

? ( xi ? x)

n

? ? , a ? y ? bx


2

其中 x, y 表示样本均值. 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设全集

U ? ?1,2,3,4,5,6?

,集合

A ? ?1,3,5?



B ? ?2,4?

,则

A. U ? A ? B

? A ?B B. U ? U

?

?

?B C. U ? A ? U

?

?

? A ? ?U B D. U ? U

?

? ?

?

a ? 1 ? bi 2. 已知 1 ? i ,其中 a,b 是实数,i是虚数单位,则 a ? b i ?
A. 1 ? 2 i B. 2 ? i C. 2 ? i D. 1 ? 2 i

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? x ? 2 y ? 1, ? ? x ? y ? 1, ? y ? 1 ? 0. 3.已知变量 x, y 满足约束条件 ? 则 z ? x ? 2 y 的最大值为
A. ?3 4. 直线 x ? B. 0
2

C. 1

D. 3

2 3 y ? 0 截圆 ? x ? 2 ? ? y ? 4 所得劣弧所对的圆心角是

?
A. 6

?
B. 3

?
C. 2

2? D. 3

5. 某空间几何体的三视图及尺寸如图1,则该几何体的体积是

A. 2 6. 函数

B. 1

2 C. 3


1 D. 3

y ? ?sin x ? cos x ? ?sin x ? cos x ?

? ?? ?0, 2 ? ? 上单调递增 A.奇函数且在 ? ? ?? ?0, 2 ? ? 上单调递增 C.偶函数且在 ?
7.已知e是自然对数的底数,函数

?? ? ? 2 ,? ? ? 上单调递增 B.奇函数且在 ? ?? ? ? 2 ,? ? ? 上单调递增 D.偶函数且在 ?

f ? x? ?

g ? x ? ? ln x ? x ? 2 e ? x ? 2 的零点为 a ,函数
x

的零点为 b ,则下列不等式中成立的是 A. C.

f ? a ? ? f ?1? ? f ? b ? f ?1? ? f ? a ? ? f ? b ?

B. D.
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f ? a ? ? f ? b ? ? f ?1? f ? b ? ? f ?1? ? f ? a ?

8.如图2,一条河的两岸平行,河的宽度 d ? 600 m,一艘客船从码头 A 出发匀速驶往河 对岸的码头 B .已知

AB ? 1 km,水流速度为 2 km/h, 若客船行驶完航程所用最短时间为

6 分钟,则客船在静水中的速度大小为

A. 8 km/h C. 2 34 km/h

B. 6 2 km/h D. 10 km/h

图2

二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. (一)必做题(9~13题) 9. 不等式 10. ?0
1

x ?1 ? x

的解集是 .

.

cos x d x ?

11.某工厂的某种型号的机器的使用年限 x 和所支出的维修费用 y (万元)有下表的统计资 料:

x
y

2 2.2

3 3.8

4 5.5

5 6.5

6 7.0

? ? 根据上表可得回归方程 y ? 1.23 x ? a ,据此模型估计,该型号机器使用年限为10年时维
修费用约 万元(结果保留两位小数) .

12.已知 a ? 0, a ? 1 ,函数

?a x ? x ? 1? , ? f ? x? ? ? ?? x ? a ? x ? 1? , ?

若函数

f ? x?

在?

?0,2 ? ?

上的最

5 大值比最小值大 2 ,则 a 的值为
*

.

13. 已知经过同一点的 n(n ? N , n ? 3)个平面,任意三个平面不经过同一条直线.若这 n
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个平面将空间分成

f ?n?

个部分, 则

f ? 3? ?



f ?n? ?

.

(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)

? 3 ? A ? 2, ? ? 在极坐标系中,定点 ? 2 ? ,点 B 在直线 ? cos ? ? 3? sin ? ? 0 上运

B D

C

动,当线段 AB 最短时,点 B 的极坐标为 15. (几何证明选讲选做题)



O

A 图3

如图3, AB 是 ? O 的直径, BC 是 ? O 的切线, AC 与 ? O 交于点 D ,

若 BC ? 3 ,

AD ?

16 5 ,则 AB 的长为



三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分)

f ( x) ? A sin(? x ?
已知函数 周 期为 8 . (1)求函数 f ( x) 的解析式;

?

) 4 (其中 x ? R , A ? 0 ,? ? 0 )的最大值为2,最小正

O (2) 若函数 f ( x) 图象上的两点 P, Q 的横坐标依次为 2, 4 , 为坐标原点, 求△ POQ 的
面积.

17. (本小题满分12分)

1 甲, 丙三位学生独立地解同一道题, 乙, 甲做对的概率为 2 , 丙做对的概率分别为 m , 乙,

n ( m > n ),且三位学生是否做对相互独立.记 ? 为这三位学生中做对该题的人数,其
分布列为:

?

0

1

2

3

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P

1 4

a

b

1 24

(1) 求至少有一位学生做对该题的概率; (2) 求 m , n 的值; (3) 求 ? 的数学期望.

18. (本小题满分14分)
A1 B1 C1

如图4,在三棱柱 形,

ABC ? A1 B1C1 中,△ ABC 是边长为 2 的等边三角

D

AA1 ? 平面 ABC , D , E 分别是 CC1 , AB 的中点. A BD ; (1)求证: CE ∥平面 1

A E 图4 B

C

15 A1 B 上的动点,当 CH 与平面 A1 AB 所成最大角的正切值为 2 时, (2)若 H 为
求平面

A1 BD 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的余弦值.

19. (本小题满分14分) 已知数列

{an } 的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ??? ? nan ? (n ? 1) S n ? 2n (n ? N * ). {an } 的通项公式;

(1) 求数列

(2)若 p, q, r 是三个互不相等的正整数,且 p, q, r 成等差数列,试判断

a p ? 1,aq ? 1,ar ? 1

是否成等比数列?并说明理由.

20. (本小题满分14分) 已知椭圆 圆

C1

的中心在坐标原点,两个焦点分别为

F1 (?2, 0)



F2 ? 2,0 ?

,点 A(2, 3) 在椭

C1

上, 过点 A 的直线 L 与抛物线

C2 : x 2 ? 4 y

交于 B,C 两点, 抛物线

C2

在点 B,C 处

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的切线分别为 (1) 求椭圆

l1 ,l2 ,且 l1 与 l2 交于点 P .

C1 的方程;

(2) 是否存在满足

PF1 ? PF2 ? AF1 ? AF2

的点 P ? 若存在, 指出这样的点 P 有几个 (不

必求出点 P 的坐标); 若不存在,说明理由.

21. (本小题满分14分) 已 知 二 次 函 数

f ? x ? ? x2 ? ax ? m ? 1

, 关 于

x 的 不 等 式

f ? x ? ? ? 2 m ? 1? x ? 1 ? m2

的解集为

? m,m ? 1? ,其中 m 为非零常数.设 ? ?

g ? x? ?

f ? x? x ?1.

(1)求 a 的值;

? x ? g x ? k ln x ? 1 (2) k(k ? R )如何取值时,函数 存在极值点,并求出极
值点;

? ?

?

?

? g ? x ? 1? ? ? g x n ? 1 ? 2n ? 2(n ? * ? (3)若 m ? 1 ,且 x ? 0 ,求证: ? N ).
n

?

?

2013年广州市普通高中毕业班综合测试(一) 数学(理科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几 种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点 和能力对照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不 得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,
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就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题5分,满分40分. 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 D 5 A 6 C 7 A 8 B

二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共7小题,每小题5分,满分 30分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题.

?1 ? ? 2 , ?? ? ? ? 9.

sin 1 10.

12.38 11.

1 7 2 12. 或 2

13. n ? n ? 2 8,
2

? 11? ? ?1, ? 6 ? 14. ?

15. 4

说明:① 第13题第一个空填对给2分,第二个空填对给3分.

? 11? ? ? 2k ? ? (k ? ?1, 6 ? ② 第14题的正确答案可以是: ? Z ).
三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) (本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公 式等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力) (1)解:∵ f ( x) 的最大值为2,且 A ? 0 , 1分 ∴A? 2. ……………

∵ f ( x) 的最小正周期为 8 , 分

T?


2?

?

?8
, 得

??

?
4.
……………2

f ( x) ? 2sin(
∴ 3分

?
4

x?

?

) 4 .

……………

? ?? ? ? f (2) ? 2sin ? ? ? ? 2 cos ? 2 4 ?2 4? (2)解法1:∵ ,


……………4

?? ? ? f (4) ? 2sin ? ? ? ? ? ?2sin ? ? 2 4? 4 ? ,


……………5

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∴ P (2, 2), Q(4, ? 2) . ∴ 8分

OP ? 6, PQ ? 2 3, OQ ? 3 2

.

……………

cos ?POQ ?
∴ 10分

OP ? OQ ? PQ
2 2

2

2 OP OQ

? 6 ? ? ?3 2 ? ? ? 2 3 ? ?
2 2

2

2 6 ?3 2

?

3 3

. ………

∴ 11分

sin ?POQ ?

6 1 ? cos ?POQ ? 3 .
2

……………





POQ









S ?

1 1 OP OQ sin ?POQ ? ? 2 2

6 ?3 2 ?

6 3 ? 3 2.
……………

12分

? ?? ? ? f (2) ? 2sin ? ? ? ? 2 cos ? 2 4 ?2 4? 解法2:∵ ,


……………4

?? ? ? f (4) ? 2sin ? ? ? ? ? ?2sin ? ? 2 4? 4 ? ,
分 ∴ P (2, 2), Q(4, ? 2) . (苏元高考吧:www.gaokao8.net)

……………5

??? ? ???? OP ? (2, 2), OQ ? (4, ? 2) . ∴
8分

……………

∴ 分

??? ???? ? ??? ???? ? OP ? OQ 6 3 cos ?POQ ? cos ? OP, OQ ?? ??? ???? ? ? ? 3 6 ?3 2 OP OQ

.

……………10

∴ 11分

sin ?POQ ?

6 1 ? cos2 ?POQ ? 3 .

……………





POQ









第 8 页 共 25 页

S ?

1 1 OP OQ sin ?POQ ? ? 2 2

6 ?3 2 ?

6 3 ? 3 2.
……………

12分

? ?? ? ? f (2) ? 2sin ? ? ? ? 2 cos ? 2 4 ?2 4? 解法3:∵ ,


……………4

?? ? ? f (4) ? 2sin ? ? ? ? ? ?2sin ? ? 2 4? 4 ? ,
分 ∴ P (2, 2), Q(4, ? 2) .

……………5

∴直线 OP 的方程为 分

y ?

2 x 2 ,即 x ?
4? 2 3

2y ? 0.

……………7

∴点 Q 到直线 OP 的距离为 9分 ∵ 分

d ?

? 2 3
. ……………

OP ?

6



……………11

∴△ POQ 的面积为

S ?

1 1 OP ? d ? ? 2 2

6 ?2 3

? 3 2.

……………

12分 17. (本小题满分12分) (本小题主要考查相互独立事件的概率、 离散型随机变量的均值等基础知识, 考查数据处理、 推理论证、运算求解能力和应用意识,以及或然与必然的数学思想) 解:设“甲做对”为事件 A ,“乙做对”为事件 B ,“丙做对”为事件 C ,由题意知,

P ? A? ?


1 , P ? B ? ? m, P ? C ? ? n 2 .

……………1

(1)由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“ ? ? 0 ”是对立的,

所以至少有一位学生做对该题的概率是

1 ? P ?? ? 0 ? ? 1 ?

1 3 ? 4 4.

…………3

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(2)由题意知

P ?? ? 0 ? ? P ABC ?

?

?

1 ?1 ? m ? ?1 ? n ? ? 1 2 4,

……………4分

P ?? ? 3? ? P ? ABC ? ?


1 1 mn ? 2 24 ,

……………5

mn ?
整理得

7 1 m ? n ? 12 . 12 ,
m ? 1 1 n ? 3, 4.

由 m ? n ,解得 7分 (3)由题意知

……………

a ? P ?? ? 1? ? P ABC ? P ABC ? P ABC
?


?

?

?

?

?

?

1 ?1 ? m ? ?1 ? n ? ? 1 m ?1 ? n ? ? 1 ?1 ? m ? n ? 11 2 2 2 24 , ………9

1 b ? P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 3) = 4 ,


……………10

13 ? 的数学期望为 E? ? 0 ? P(? ? 0) ? 1? P(? ? 1) ? 2 P(? ? 2) ? 3P(? ? 3) = 12 . ∴
………… 12分 18. (本小题满分14分) (本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识,考查空间 想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力,以及化归与转化的数学思想方法) 解法一: (1)证明:延长

A1 D

交 AC 的延长线于点 F ,连接 BF .

A1

C1 B1 D

∵ CD ∥

AA1

,且 CD

?

1 2 AA1 ,
……………2分
H A E
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∴ C 为 AF 的中点.

C B

F

∵ E 为 AB 的中点, ∴ CE ∥ BF . ……………3分

A BD , CE ? 平面 A1 BD , ∵ BF ? 平面 1
∴ CE ∥平面 分 (2)解:∵ ∴ 分 ∵△ ABC 是边长为 2 的等边三角形, E 是 AB 的中点,

A1 BD .

……………4

AA1 ? 平面 ABC , CE ? 平面 ABC ,
……………5

AA1 ? CE .

∴ CE ? AB ,

CE ?

3 AB ? 2

3
.

A AB , AA1 ? 平面 A1 AB , AB ? AA1 ? A , ∵ AB ? 平面 1 A AB . ∴ CE ? 平面 1
∴ ?EHC 为 CH 与平面 7分 ∵ CE ? ……………6分

A1 AB 所成的角.

……………

3,

在Rt△ CEH 中, tan

?EHC ?

CE 3 ? EH EH ,
……………8

∴当 EH 最短时, tan ?EHC 的值最大,则 ?EHC 最大. 分

∴当

EH ? A1 B

时, ?EHC 最大. 此时, tan

?EHC ?

CE 3 15 ? ? 2 . EH EH

EH ?
∴ 9分

2 5 5 .

……………

A AB ∵ CE ∥ BF , CE ? 平面 1 , A AB ∴ BF ? 平面 1 .
第 11 页 共 25 页

……………

10分

A AB , A1B ? 平面 A1 AB , ∵ AB ? 平面 1 AB ∴ BF ? AB , BF ? 1 .
分 ∴ 分 ……………11

?ABA1 为平面 A1 BD 与平面 ABC 所成二面角(锐角).

……………12

在Rt△ EHB 中, BH ? 分

EB ? EH
2

2

5 BH ?ABA1 ? EB ? ? 5 , cos

5 5 .…13

5 A BD 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的余弦值为 5 . ∴平面 1
分 解法二:

……………14

z
(1)证明:取

A1 B 的中点 F ,连接 DF 、 EF .

A1 B1

C1

∵ E 为 AB 的中点,

∴ EF ∥

AA1

EF ?
,且

1 AA1 2 .
1 2 AA1 ,

……………1分

F H A E B

D

∵ CD ∥

AA1 ,且 CD

?

C x

y

∴ EF ∥ CD , EF ? CD . ∴四边形 EFDC 是平行四边形. ∴ CE ∥ DF .

……………2分

……………3分

A BD CE ? A BD ∵ DF ? 平面 1 , 平面 1 ,
∴ CE ∥平面 (2)解:∵ ∴

A1 BD

.

(苏元高考吧:www.gaokao8.net)

……………4分

AA1 ?

平面 ABC , CE ? 平面 ABC , . ……………5

AA1 ? CE

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分 ∵△ ABC 是边长为 2 的等边三角形, E 是 AB 的中点,

∴ CE ? AB ,

CE ?

3 AB ? 2

3
.

A AB , AA1 ? 平面 A1 AB , AB ? AA1 ? A , ∵ AB ? 平面 1 A AB . ∴ CE ? 平面 1
∴ ?EHC 为 CH 与平面 7分 ∵ CE ? ……………6分

A1 AB 所成的角.

……………

3,

在Rt△ CEH 中, tan

?EHC ?

CE 3 ? EH EH ,
……………8

∴当 EH 最短时, tan ?EHC 的值最大,则 ?EHC 最大. 分

∴当

EH ? A1 B 时, ?EHC 最大. 此时, tan

?EHC ?

CE 3 15 ? ? 2 . EH EH

EH ?
∴ 9分

2 5 5 .

……………

在Rt△ EHB 中,

BH ?

EB 2 ? EH 2 ?

5 5 .

∵Rt△ EHB ~Rt△

A1 AB ,
5 5 2 .
……………

2 5 EH BH 5 ? ? AA1 AB ,即 AA1 ∴
∴ 10分

AA1 ? 4

.

以 A 为原点,与 AC 垂直的直线为 x 轴, AC 所在的直线为 y 轴, 轴, 建立空间直角坐标系 A ? xyz .
第 13 页 共 25 页

AA1

所在的直线为 z

A1 (0, 0, 4) , B 3, 1, 0 , D (0, 2, 2) . ???? ???? ???? ? AA1 ? (0, 0, 4) , A1 B ? 3, 1, - 4 , A1D ? (0, 2, - 2) . ∴


A (0, 0, 0)



(

)

(

)

设平面

A1 BD 的法向量为 n = ? x, y, z ? ,

???? n ?A1B 由

???? ? 0 , n ?A1D

0,

ì 3x + y - 4 z = 0 ? ? í ? 2 y - 2 z = 0. ? 得? (苏元高考吧:www.gaokao8.net)
令 y = 1 ,则 z = 1, x = ∴平面 分

3.

A1 BD 的一个法向量为 n =

(

3, 1, 1

).

……………12

???? AA1 ? 平面 ABC , ∴ AA1 = (0, 0, 4) 是平面 ABC 的一个法向量. ∵ ???? ? ???? ? n ? AA1 n, AA1 ? ???? ? 5 ? n AA1 5 . ∴ cos ……………
13分

5 A BD ∴平面 1 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的余弦值为 5 .

……………14

分 19. (本小题满分14分) (本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前 n 项和等基础知识,考查合情推理、化归 与转化、特殊与一般的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力) (1) 解:

? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? (n ? 1) S n ? 2n ,
……………1

a ? (1 ? 1) S1 ? 2, 解得 a1 ? 2 . ∴ 当 n ? 1 时,有 1
分 由 得 2分 ② - ①得:

a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? (n ? 1) S n ? 2n

, ,

① ② ……………

a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? (n ? 1)an ?1 ? nS n ?1 ? 2(n ? 1)

(n ? 1)an ?1 ? nSn ?1 ? (n ? 1) S n ? 2

.



……………

3分 以下提供两种方法:
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法1:由③式得: 即 4分

(n ? 1)( S n ?1 ? S n ) ? nSn ?1 ? (n ? 1) S n ? 2 ,
……………

Sn ?1 ? 2Sn ? 2 ;

? Sn ?1 ? 2 ? 2( Sn ? 2) ,
5分 ∵

……………

S1 ? 2 ? a1 ? 2 ? 4 ? 0 , {Sn ? 2} 是以4为首项,2为公比的等比数列.
……………

∴数列 ∴ 6分

S n ? 2 ? 4 ? 2n ?1 ,即 Sn ? 4 ? 2n?1 ? 2 ? 2n?1 ? 2 .

a ? S n ? S n ?1 ? (2n ?1 ? 2) ? (2n ? 2) ? 2n , 当 n ? 2 时, n
分 又 ∴ 分 法2:由③式得: 得 分

……………7

a1 ? 2 也满足上式, an ? 2n .
……………8

(n ? 1)an ?1 ? nSn ?1 ? (n ? 1) S n ? 2 ? n ? S n ?1 ? S n ? ? S n ? 2


, ……………4

an ?1 ? Sn ? 2 .

a ? S n ?1 ? 2 , 当 n ? 2 时, n
5分 ⑤-④得: 分 由 ∴ 7分 ∴数列 分 (2)解:∵ p, q, r 成等差数列,



……………

an ?1 ? 2an . a2 ? 4

……………6

a1 ? 2a2 ? S 2 ? 4

,得

, ……………

a2 ? 2a1

.

{an }

是以

a1 ? 2

为首项,2为公比的等比数列.



an ? 2n

.

……………8

第 15 页 共 25 页

∴ p ? r ? 2q . 分 假设

……………9

a p ? 1,aq ? 1,ar ? 1
p

成等比数列,

?a 则


? 1 ? ar ? 1? ? aq ? 1

?

?

?,
2

……………10

?2 即

p

? 1 2r ? 1 ? 2q ? 1
p

??

? ?

?,
2

化简得: 2

? 2r ? 2 ? 2q .

(*)

……………11分

∵ p ? r, ∴2 13分 ∴
p

? 2r ? 2 2 p ? 2r ? 2 ? 2q ,这与(*)式矛盾,故假设不成立.……

a p ? 1,aq ? 1,ar ? 1

不是等比数列.

……………

14分 20. (本小题满分14分) (本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识,考查数形结合、函数与方程、化 归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识)

x2 y 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? 2 C b (1) 解法1:设椭圆 1 的方程为 a ,
? 22 32 ? 2 ? 2 ? 1, b ?a ?a 2 ? b 2 ? 4. ?
?a 2 ? 16, ? ? 2 ?b ? 12. ?

依题意: 2分

解得:

……………

x2 y 2 ? ?1 C ∴ 椭圆 1 的方程为 16 12 .
3分

……………

x2 y 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? 2 C b 解法2:设椭圆 1 的方程为 a ,
根据椭圆的定义得 分
2 2 2 ∵ c ? 2 , ∴ b ? a ? c ? 12 .

2a ? AF1 ? AF2 ? 8

,即 a ? 4 ,

……………1

……………

2分
第 16 页 共 25 页

x2 y 2 ? ?1 C ∴ 椭圆 1 的方程为 16 12 .
3分

……………

(2)解法1:设点

B ( x1 ,

1 2 1 2 1 2 BC ? ( x 2 ? x1 , ( x 2 ? x12 )) x1 ) C ( x 2 , x 2 ) 4 4 4 , ,则 , 1 2 x1 ) 4 ,

BA ? (2 ? x1 ,3 ?



A, B , C 三点共线, (苏元高考吧:www.gaokao8.net)
……………

??? ? ??? ? BC // BA . ∴
4分

?x


2

? 1 ? 1 2 ? x1 ? ? 3 ? x12 ? ? x2 ? x12 4 ? 4 ?

?

? ?2 ? x ?
1

, ……………5

化简得: 分
2

2( x1 ? x2 ) ? x1 x2 ? 12 . ①

由x 6分

? 4 y ,即

y ?

1 1 2 x , ?? 2 x 4 得y .

……………

∴抛物线

C2

x x 1 1 y ? 1 x ? x12 y ? x12 ? 1 ( x ? x1 ) 2 4 . ② 4 2 在点 B 处的切线 的方程为 , 即
l1 C2 l

同理, 抛物线 分

在点 C 处的切线 2 的方程为

y?

x2 1 2 x ? x2 2 4 .



……………8

x1
P( x, y) ,由②③得: 2 设点
而 x1 ? x2 , 则 分

x 1 1 2 x ? x12 ? 2 x ? x2 2 4 , 4

x?

1 ( x1 ? x 2 ) 2 .

……………9

y?
代入②得 分

1 x1 x 2 4 ,

……………10

4x ? 4 y ? 1 2 , 即 点 P 的 轨 迹 方 程 为 则 2x ? x1 ? x2 , 4 y ? x1 x2 代 入 ① 得
第 17 页 共 25 页

y ? x ?3.
…………… 11分 若 12分 ∵直线 ∴直线 13分 ∴满足条件 14分

PF1 ? PF2 ? AF1 ? AF2

,则点 P 在椭圆

C1 上,而点 P 又在直线 y ? x ? 3 上,
……………

y ? x ? 3 经过椭圆 C1 内一点 (3, 0) , y ? x ? 3 与椭圆 C1 交于两点.
……………

PF1 ? PF2 ? AF1 ? AF2

的点 P 有两个.

……………

C ( x2 , y 2 ) , P ( x 0 , y 0 ) , 解法2:设点 B( x1 , y1 ) ,
2

由x 分

? 4 y ,即

y ?

1 1 2 x , ?? 2 x 4 得y .

……………4

∴抛物线

C2

在点 B 处的切线 的方程为

l1

y ? y1 ?

x1 (x ? x1 ) 2 ,

即 5分

y?

x1 1 x ? y1 ? x12 2 2 .

……………



y1 ?

1 2 x x1 y ? 1 x ? y1 4 , ∴ 2 .

∵点 6分

P( x 0 , y 0 )

在切线 上,

l1



y0 ?

x1 x0 ? y1 2 .



……………

同理, 分

y0 ?

x2 x0 ? y 2 2 . ②

……………7

综合①、②得,点 B(x1 , y1 ),C(x2 , y2 ) 的坐标都满足方程 分
第 18 页 共 25 页

y0 ?

x x0 ? y 2 . ……………8

∵经过 B(x1 , y1 ),C(x2 , y2 ) 的直线是唯一的,

∴直线 L 的方程为 分 ∵点 分

y0 ?

x x0 ? y 2 ,

……………9

A(2,3) 在直线 L 上,



y 0 ? x0 ? 3

.

……………10

∴点 P 的轨迹方程为 11分 若 分 ∵直线 ∴直线 13分 ∴满足条件 14分

y ? x?3.

……………

PF1 ? PF2 ? AF1 ? AF2

,则点 P 在椭圆

C1 上,又在直线 y ? x ? 3 上,……12

y ? x ? 3 经过椭圆 C1 内一点 (3, 0) , y ? x ? 3 与椭圆 C1 交于两点.
……………

PF1 ? PF2 ? AF1 ? AF2

的点 P 有两个.

……………

解法3:显然直线 L 的斜率存在,设直线 L 的方程为

y ? k ? x ? 2? ? 3



? y ? k ? x ? 2 ? ? 3, ? ? 2 2 ? x ? 4 y, 由? 消去 y , x ? 4kx ? 8k ? 12 ? 0 . 得
分 设 5分
2

……………4

B ? x1 , y1 ? ,C ? x2 , y2 ?

,则

x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? 8k ? 12 .

……………

由x 6分

? 4 y ,即

y ?

1 1 2 x , ?? 2 x 4 得y .

……………

∴抛物线 分

C2

在点 B 处的切线 1 的方程为

l

y ? y1 ?

x1 x 1 (x ? x1 ) y ? 1 x ? y1 ? x12 2 2 2 .…7 ,即



y1 ?

x 1 1 2 x1 y ? 1 x ? x12 4 , ∴ 2 4 .

第 19 页 共 25 页

同理,得抛物线 8分

C2 在点 C 处的切线 l2 的方程为

y ?

x2 1 2 x ? x2 2 4 .

……………

? x1 x ? ?y ? ? 2 ? ? y ? x2 x ? ? 2 由?


? x1 ? x2 1 2 ? 2k , x1 , ?x ? ? 2 4 ? 1 2 ? y ? x1 x2 ? 2k ? 3. x2 , ? 4 4 解得 ?
. ……………

P ? 2k , 2k ? 3 ?

10分 ∵

PF1 ? PF2 ? AF1 ? AF2

,

x2 y2 C1 : ? ? 1 16 12 ∴点 P 在椭圆 上.
11分

……………

? 2k ?
∴ 16

2

?
2

? 2k

? 3? 12

2

?1
. ……………12

化简得 7 k ? 12k ? 3 ? 0 .(*) 分 由

Δ ? 122 ? 4 ? 7 ? ? ?3? ? 228 ? 0

,

……………

13分 可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点 P 有两个. ……………

14分 21. (本小题满分14分) (本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基 础知识,考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法,以及抽象 概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识) (1)解:∵关于 x 的不等式 即不等式 ∴ ∴ ∴

f ? x ? ? ? 2m ? 1? x ? 1 ? m 2

的解集为

? m,m ? 1? ,

x 2 ? ? a ? 1 ? 2m ? x ? m 2 ? m ? 0

的解集为

? m,m ? 1? ,
. .

x 2 ? ? a ? 1 ? 2m ? x ? m 2 ? m ? ? x ? m ? ? x ? m ? 1?

x 2 ? ? a ? 1 ? 2m ? x ? m 2 ? m ? x 2 ? ? 2m ? 1? x ? m ? m ? 1? a ? 1 ? 2m ? ? ? 2m ? 1?
.

第 20 页 共 25 页

∴ a ? ?2 . 2分

……………

(2)解法1:由(1)得

g ? x? ?

f ? x? x ?1

?

x2 ? 2x ? m ? 1 m ? ? x ? 1? ? x ?1 x ? 1.

m ? ? x ? ? g ? x ? ? k ln ? x ? 1? ? ? x ? 1? ? x ? 1 ?k ln ? x ? 1? ∴ 的定义域为

?1,?? ? .
m

? x ? 1? ? ∴ ? ( x) ? 1 ?
3分 方程

2

?

x2 ? ? 2 ? k ? x ? k ? m ? 1 k ? 2 x ?1 ? x ? 1?

.

……………

x2 ? ? 2 ? k ? x ? k ? m ? 1 ? 0
2

(*)的判别式 . ……………

Δ ? ? 2 ? k ? ? 4 ? k ? m ? 1? ? k 2 ? 4m
4分

①当 m ? 0 时, Δ ? 0 ,方程(*)的两个实根为

x1 ?

2?k ? 2

k 2 ? 4m

? 1,

x2 ?
5分 则

2? k ? 2

k 2 ? 4m

? 1,
……………

x ? ?1, x2 ?

x ? x2 ,?? ? ? 时, ? ( x) ? 0 ; 时, ? ( x) ? 0 .

?

?

∴函数 ∴函数 6分

? ? x? ? ? x?



?1, x ? 上单调递减,在 ? x ,?? ? 上单调递增.
2 2

有极小值点

x2 .

……………

②当 m ? 0 时,由 Δ ? 0 ,得 k ? ?2 ? m 或 k ? 2 ? m , 若

k ? ?2 ?m





x1 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

? 1, x2 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

? 1,

1,?? ? 故x ? 时, ? ( x) ? 0 , (苏元高考吧:www.gaokao8.net)

?

?

第 21 页 共 25 页

∴函数 ∴函数 7分 若

? ? x? ? ? x?



?1,?? ? 上单调递增.
……………

没有极值点.

k ? 2 ?m





x1 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

? 1, x2 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m

? 1,



x ? ?1, x1 ?

x ? x1 , x2 x ? x2 ,?? ? ? 时 , ? ( x) ? 0 ; 时 , ? ( x) ? 0 ; 时,

?

?

?

?

? ?( x) ? 0 .
∴函数 ∴函数 8分

? ? x? ? ? x?



?1, x ? 上单调递增,在 ? x , x ? 上单调递减,在 ? x ,?? ? 上单调递增.
1 1 2 2

有极小值点

x2 ,有极大值点 x1 .

……………

? x x 综上所述, 当 m ? 0 时, k 取任意实数, 函数 有极小值点 2 ; ? x x x 当 m ? 0 时, k ? 2 ? m ,函数 有极小值点 2 ,有极大值点 1 .………9


? ?

? ?

(其中

x1 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m
,

x2 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m
)

x2 ? 2x ? m ? 1 m g ? x? ? ? ? ? x ? 1? ? x ?1 x ? 1. x ?1 解法2:由(1)得
m ? ? x ? ? g ? x ? ? k ln ? x ? 1? ? ? x ? 1? ? x ? 1 ?k ln ? x ? 1? ∴ 的定义域为

f ? x?

?1,?? ? .
m

? x ? 1? ? ∴ ? ( x) ? 1 ?
3分 若函数 且 至少有一个零点在

2

x2 ? ? 2 ? k ? x ? k ? m ? 1 k ? ? 2 x ?1 ? x ? 1?

.

……………

? ? x ? ? g ? x ? ? k ln ? x ? 1?

? 存在极值点等价于函数 ? ( x) 有两个不等的零点,

?1,?? ? 上.
第 22 页 共 25 页

……………

4分

? 令 ? ( x)
得 则 分

?

x2 ? ? 2 ? k ? x ? k ? m ? 1

? x ? 1?
2

2

? 0,

x2 ? ? 2 ? k ? x ? k ? m ? 1 ? 0 , (*)

Δ ? ? 2 ? k ? ? 4 ? k ? m ? 1? ? k 2 ? 4m ? 0

,(**)

……………5

方程(*)的两个实根为 设

x1 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m
, ,

x2 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m
.

h ? x ? ? x2 ? ? 2 ? k ? x ? k ? m ? 1

①若 则

x1 ? 1, x2 ? 1 ,则 h ?1? ? ?m ? 0 ,得 m ? 0 ,此时, k 取任意实数, (**)成立.

x ? ?1, x2 ?

x ? x2 ,?? ? ? 时, ? ( x) ? 0 ; 时, ? ( x) ? 0 .

?

?

∴函数 ∴函数 6分

? ? x? ? ? x?



?1, x ? 上单调递减,在 ? x ,?? ? 上单调递增.
2 2

有极小值点

x2 .

……………

? h ?1? ? ?m ? 0, ? ?2 ? k ?m ? 0, ? ? 1. ? x1 ? 1, x2 ? 1 ? 2 ②若 ,则 得 ? k ? 0.
又由(**)解得 k ? 2 ? m 或 k ? ?2 ? m , 故 k ? 2 ?m . 分 则 ……………7

x ? ?1, x1 ?

x ? x1 , x2 x ? x2 ,?? ? ? 时 , ? ( x) ? 0 ; 时 , ? ( x) ? 0 ; 时,

?

?

?

?

? ?( x) ? 0 .
∴函数 ∴函数 8分

? ? x? ? ? x?



?1, x ? 上单调递增,在 ? x , x ? 上单调递减,在 ? x ,?? ? 上单调递增.
1 1 2 2

有极小值点

x2

,有极大值点

x1

.

……………

? x x 综上所述, 当 m ? 0 时, k 取任何实数, 函数 有极小值点 2 ;

? ?

第 23 页 共 25 页

? x x x 当 m ? 0 时, k ? 2 ? m ,函数 有极小值点 2 ,有极大值点 1 .………9


? ?

(其中

x1 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m
,

x2 ?

2? k ? 2

k 2 ? 4m
)

1 g ? x ? ? ? x ? 1? ? x ? 1 (2)证法1:∵ m ? 1 , ∴ .
? ? 1? 1 ? ? g ? x ? 1? ? ? g x ? 1 ? ? x ? ? ? ? x n ? n ? ? ? x? x ? ? ? ∴
n

?

n

?

n

1 ? x n ? Cn x n ? 1 ?

? 1 1 1 1 ? 2 n n 1 ? Cn x n ? 2 ? 2 ? ? ? Cn ? 1 x ? n ? 1 ? C n n ? ? x n ? n ? x x x x x ? ?
……………

1 2 n ? Cn x n ? 2 ? C n x n ? 4 ? ? ? C n ? 1 x 2 ? n .

10分 令T 则T
1 2 n ? Cn x n ? 2 ? C n x n ? 4 ? ? ? C n ? 1 x 2 ? n , n n 1 ? Cn ? 1 x 2 ? n ? C n ? 2 x 4 ? n ? ? ? C n x n ? 2 1 2 n ? Cn x 2 ? n ? C n x 4 ? n ? ? ? C n ? 1 x n ? 2

.

∵ x ? 0, ∴ 2T
1 2 n ? Cn x n ? 2 ? x 2 ? n ? C n x n ? 4 ? x 4 ? n ? ? ? C n ? 1 x 2 ? n ? x n ? 2

?

?

?

?

?

?

……

11分
1 n?2 2 n ? x 2 ? n ? Cn ? 2 x n ? 4 ? x 4 ? n ? ? ? C n ? 1 ? 2 x 2 ? n ? x n ? 2 ? Cn ? 2 x



12分
1 2 n ? 2 C n ? C n ? ? ? C n ?1

?

? ?
……………

0 1 2 n n 0 n ? 2 C n ? C n ? C n ? ? ? C n ?1 ? C n ? C n ? C n

?

? 2 ?2
n

n

?2

?.
n

13分

? g ? x ? 1? ? ? g x n ? 1 ? 2 n ? 2 ? ∴ T ? 2 ? 2 ,即 ? .


?

?

……………14

第 24 页 共 25 页

? ? n 1? 1 ? ?x ? ? ? ?x ? n ? x? x ? ? 2n ? 2 . ? 证法2:下面用数学归纳法证明不等式 ?

n

? 1? ? 1? ? ?x ? ? ? ?x ? ? ? 0 1 x? ? x? ① 当 n ? 1 时,左边 ? ,右边 ? 2 ? 2 ? 0 ,不等式成
立; …………… 10分

? ? k 1? 1 ? ?x ? ? ? ?x ? k ? * x? x ? ? 2k ? 2 , ? ② 假设当 n ? k (k ? N )时,不等式成立,即 ?

k

? 1? ?x ? ? x? 则 ?

k ?1

? 1 ? ? ? x k ?1 ? k ?1 ? x ? ?

k ? ? 1 ? ?? 1? 1 ? ? x ? ? ?? x ? ? ? ? x k ? k x ? ?? x? x ? ? ?

?? ? 1? ? k 1 ? ? k ?1 1 ? ? ? ? ? x ? ? ? x ? k ? ? ? x ? k ?1 ? x? ? x ? ? x ? ?? ? ?

k ? ? 1 ? ?? 1? 1 ?? ? ? x ? ? ? ? x ? ? ? ? x k ? k ? ? ? ? x k ?1 ? 1 ? ? x ? ?? x? x ?? ? ? ? x k ?1 ? ? ? ?

……………11



? 2 x?
12分

1 1 ? 2 k ? 2 ? 2 x k ?1 ? k ?1 x x

?

?

……………

? 2k ? 1 ? 2 .
分 也就是说,当 n ? k ? 1 时,不等式也成立.

……………13

? g ? x ? 1? ? ? g x n ? 1 ? 2n ? 2 * ? 由①②可得,对 ? n ? N , ? 都成立. ………14分
n

?

?

第 25 页 共 25 页


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