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第29讲 2009年全国高中数学联赛试题及详细解析


受中国数学会委托,2009 年全国高中数学联赛由黑龙江省数学会承办。 中国数学会普 及工作委员会和黑龙江数学会负责命题工作。 2009 年全国高中数学联赛一试命题 范围不超出教育部 2000 年《全日制普通高级中学数 学教学大纲》中所规定的教学要求和内容,但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对 基础知识和基本技能的掌握情况,以及综合和灵活运用的能力。全卷包括 8 填空题和 3

道 大题,满分 100 分。答卷时间为 80 分钟。 全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨,在知识方面有所扩展,适当 增加一些竞赛教学大纲的内容。全卷包括 4 道大题,其中一道平面几何题,试卷满分 200 分。答卷时问为 150 分钟。 一 试

5.椭圆 为

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0 ? 上任意两点 P , Q ,若 OP ? OQ ,则乘积 OP ? OQ 的最小值 a 2 b2 . 1. 若方程 lg kx ? 2lg ? x ? 1? 仅有一个实根,那么 k 的取值范围是 .
[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

2. 一个由若干行数字组成的数表,从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两 个数之和,最后一行仅有一个数,第一行是前 100 个正整数按从小到大排成的行,则最后一 行的数是 (可以用指数表示) 3. 某车站每天 8 ∶ 00 ~ 9 ∶ 00 , 9 ∶ 00 ~10 ∶ 00 都恰有一辆客车到站,但到站的时刻是 随机的,且两者 到站的时间是相互独立的,其规律为 8 ∶ 10 8 ∶ 30 8 ∶ 50 到站时刻 9 ∶ 10 9 ∶ 30 9 ∶ 50 1 1 1 概率 6 2 3 一旅客 8 (精确到分) . ∶ 20 到车站,则它候车时间的数学期望为 二、解答题
[来源:学.科.网]

x2 y 2 ? ? 1 交于不同两点 16 12 ???? ??? ? x2 y 2 与双曲线 ? ? 1 交于不同两点 C , 问是否存在直线 l , 使得向量 AC ? BD ? 0 , A, B, D, 4 12 若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由.

9、 (14 分)设直线 l : y ? kx ? m (其中 k , m 为整数)与椭圆

加试 一、填空(共 4 小题,每小题 50 分,共 200 分)
? 、? 12、如图, M , N 分别为锐角三角形 ?ABC ( ?A ? ?B )的外接圆 ? 上弧 BC AC 的 中点.过点 C 作 PC ∥MN 交圆 ? 于 P 点, I 为 ?ABC 的内心,连接 PI 并延长交圆 ? 于 T . ⑴求证: MP ? MT ? NP ? NT ; ⑵在 弧 ? ,记 ?AQC , △QCB 的内心 AB (不含点 C )上任取一点 Q ( Q ≠ A , T , B )

分别为 I1 , I 2 , 求证: Q , I1 , I 2 , T 四点共圆.
P N I T C M

B

13、

求证不等式: 1 ? n k ? ?1 ? ? ? 2 ? ? ln n ≤ , n ? 1 ,2,… k ? 1 2 ? k ?1 ?

A

Q

14、

设 k , l 是给定的两个正整数.证明:有无穷多个正整数 m ≥ k ,使得 Ck m 与l

互素.

2009 全国高中数学联赛解答
一、填空(共 8 小题,每小题 7 分,共 56 分) x 99 ? 1.若函数 f ? x ? ? 且 f (n) ? x ? ? f ? ,则 f ? ? ?1? ? f? f ? f ? x ?? ? ? ? ? 2 ??? ? ???? ? 1? x
n



【答案】

1 10
x 1? x
2

【解析】 f ?1? ? x ? ? f ? x ? ? ……, f ?99? ? x ? ?
x 1 ? 99 x
2

, f ? 2? ? x ? ? f ? ? f ? x ?? ??
1 . 10

x 1 ? 2 x2



.故 f ?99? ?1? ?

2.已知直线 L : x ? y ? 9 ? 0 和圆 M : 2 x 2 ? 2 y 2 ? 8x ? 8 y ? 1 ? 0 ,点 A 在直线 L 上, B , C 为圆

M 上两点,在 ?ABC 中, ?BAC ? 45? , AB 过圆心 M ,则点 A 横坐标范围为 【答案】 ?3 ,6?
【解析】
34 .解得 3 ≤ a ≤ 6 . 2



设 A? a , 9 ? a ? ,则圆心 M 到直线 AC 的距离 d ? AM sin 45? ,由直线 AC

与圆 M 相交,得 d ≤

5.椭圆 为

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0 ? 上任意两点 P , Q ,若 OP ? OQ ,则乘积 OP ? OQ 的最小值 a 2 b2 . 2a 2 b 2 【答案】 a 2 ? b2 ? π? π ?? ? ? 【解析】 设 P ? OP cos? ,OP sin ? ? , Q ? OQ cos ? ? ? ? ,OQ sin ? ? ? ? ? . 2 2 ?? ? ? ? ? 由 P , Q 在椭圆上,有
1 OP
2

?

cos 2 ? sin 2 ? ? 2 a2 b


? 1 1 ? . a 2 b2

1 OQ
2

?

sin 2 ? cos 2 ? ? a2 b2



①+② 得

1 OP
2

?

1 OQ
2

于是当 OP ? OQ ?

2a 2b 2 2a 2 b 2 时, OP OQ 达到最小值 2 . 2 2 a ?b a ? b2

6.若方程 lg kx ? 2lg ? x ? 1? 仅有一个实根,那么 k 的取值范围是 【答案】 k ?0或k ?4 【解析】 当且仅当 ① kx ? 0 ② x ?1 ? 0 2 x ? ?2 ? k ? x ?1 ? 0 ③



1 对③由求根公式得 x1 , x2 ? ?k ? 2 ? k 2 ? 4k ? ④ ? 2? ? ? k 2 ? 4k ≥ 0 ? k ≤ 0 或 k ≥ 4 . ?x ? x ? k ? 2 ? 0 (ⅰ) 当 k ? 0 时,由③得 ? 1 2 ,所以 x1 , x2 同为负根. ? x1 x2 ? 1 ? 0 ?x ?1 ? 0 又由④知 ? 1 ,所以原方程有一个解 x1 . ? x2 ? 1 ? 0 k (ⅱ)当 k ? 4 时,原方程有一个解 x ? ? 1 ? 1 . 2 ?x ? x ? k ? 2 ? 0 (ⅲ)当 k ? 4 时,由③得 ? 1 2 , ? x1 x2 ? 1 ? 0

所以 x1 , x2 同为正根,且 x1 ? x2 ,不合题意,舍去. 综 上可得 k ? 0 或 k ? 4 为所求.

8.某车站每天 8 ∶ 00 ~ 9 ∶ 00 , 9 ∶ 00 ~10 ∶ 00 都恰有一辆客车到站,但到站的时刻是随机的, 且两者到站的时间是相互独立的,其规律为 8 ∶ 10 8 ∶ 30 8 ∶ 50 到站时刻 9 ∶ 10 9 ∶ 30 9 ∶ 50 1 1 1 概率 6 2 3 一旅客 8 (精确到分) . ∶ 20 到车站,则它候车时间的数学期望为 【答案】 27 【解析】 旅客候车的分布列为 候车时间(分) 10 30 50 70 90 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? 概率 2 6 6 2 6 3 6 3 候车时间的数学期望为 1 1 1 1 1 10 ? ? 30 ? ? 50 ? ? 70 ? ? 90 ? ? 27 2 3 36 12 18 二、解答题 x2 y 2 9.(本小题满分 14 分)设直线 l : y ? kx ? m (其中 k , m 为整数)与椭圆 ? ?1交 16 12
[来源:学科网 ZXXK]

x2 y 2 于不同两点 A , B ,与双曲线 ? ? 1 交于不同两点 C , D ,问是否存在直线 l ,使 4 12 ???? ??? ? 得向量 AC ? BD ? 0 ,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由.

10.(本小题 15 分)已知 p , q ? q ? 0 ? 是实数,方程 x2 ? px ? q ? 0 有两个实根 ? , ? ,数
4, ?? 列 ?an ? 满足 a1 ? p , a2 ? p 2 ? q , an ? pan?1 ? qan?2 ? n ? 3 ,

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式(用 ? , ? 表示) ; (Ⅱ)若 p ? 1 , q ? 【解析】

1 ,求 ?an ? 的前 n 项和. 4 方法一:(Ⅰ)由韦达定理知 ? ? ? ? q ? 0 ,又 ? ? ? ? p ,所以

整理得 an ? ? an?1 ? ? ? an?1 ? ? an?2 ?

an ? pxn?1 ? qxn?2 ? ?? ? ? ? an?1 ? ?? an?2 , ? n ? 3 , 4, 5, ??

2, ?? .所以 ?bn ? 是公比为 ? 的等比数列. 令 bn ? an?1 ? ? an ,则 bn?1 ? ? bn ? n ? 1,

数列 ?bn ? 的首项为: b1 ? a2 ? ? a1 ? p 2 ? q ? ? p ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? 2 .
2

2, ?? . 所以 bn ? ? 2 ? ? n?1 ? ? n?1 ,即 an?1 ? ? an ? ? n?1 ? n ? 1, 2, ?? . 所以 an?1 ? ? an ? ? n?1 ? n ? 1, 2, ?? ①当 ? ? p2 ? 4q ? 0 时,? ? ? ? 0 , a1 ? p ? ? ? ? ? 2? , an?1 ? ? an ? ? n?1 ? n ? 1,

a 1 an ?a ? 2, ?? . ?? . 变为 an?1 ? ? an ? ? n?1 ? n ? 1, 整理得, nn? 所以, 数列 ? nn ? ? n ?1, ? n ? 1,2 , ?1 ? ? ?? ? a a 2? 成公差为 1 的等差数列,其首项为 1 ? ? 2 .所以 nn ? 2 ? 1? n ? 1? ? n ? 1 .

于是数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ? n ? 1?? ;
n

?

?

?

②当 ? ? p2 ? 4q ? 0 时, ? ? ? ,

an?1 ? ? an ? ? n?1 ? ? an ?

? ? ? n?1 ? ? 2, ?? . ? ? ? an ? ? n?1 ? ? n?1 ? n ? 1, ? ?? ? ?? ? ??

? ? n? 2 ? n?1 ? 2, ?? . ? ? ? an ? ? , ? n ? 1, ? ?? ? ?? ? ? ? ? n?1 ? 所以,数列 ?an ? ? 成公比为 ? 的等比数列,其首项为 ? ?? ? ?

整理得 an?1 ?

?2 ?2 ?2 ? n?1 ?2 .所以 an ? ?? ? ? ? ? ? ? n?1 . ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? n?1 ? ? n?1 于是数列 ?an ? 的通项公式为 an ? . ? ??
a1 ?

11.(本小题满分 15 分)求函数 y ? x ? 27 ? 13 ? x ? x 的最大和最小值. 【解析】
13? .因为 函数的定义域为 ?0 ,
y ? x ? x ? 27 ? 13 ? x ? x ? 27 ? 13 ? 2 x ?13 ? x ? ≥ 27 ? 13 ? 3 3 ? 13

当 x ? 0 时等号成立.故 y 的最小值为 3 3 ? 13 . 又由柯西不等式得 2 1? ?1 y 2 ? x ? x ? 27 ? 13 ? x ≤ ? ? 1 ? ? ? 2 x ? ? x ? 27 ? ? 3?13 ? x ? ? ? 121 3? ?2 所以 y ≤11 .
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?

?

由柯西不等式等号成立的条件,得 4 x ? 9 ?13 ? x ? ? x ? 27 ,解得 x ? 9 .故当 x ? 9 时等

号成立.因此 y 的最大值为 11 . 2009 年全国高中数学联合竞赛加试 试题参考答案及评分标准(A 卷) 说明: 1.评阅试卷时,请严格按 照本评分标准的评分档次给分. 2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本 评分标准适当划分档次评分,10 分为一个档次,不要增加其他中间档次. ⌒ 一、 如图,M ,N 分别为锐角三角形 ?ABC ( ?A ? ?B ) 的外接圆 ? 上弧⌒ BC 、 AC的中点. 过 点 C 作 PC ∥MN 交圆 ? 于 P 点, I 为 ?ABC 的内 心,连接 PI 并延长交圆 ? 于 T . ⑴求证: MP ? MT ? NP ? NT ; ⑵在弧⌒ AB(不含点 C )上任 取一点 Q ( Q ≠ A , T , B ) ,记 ?AQC , △QCB 的内心 分别为 I1 , I 2 ,
P N I T A Q C M

B

求证: Q , I1 , I 2 , T 四点共圆. 【解析】⑴连 NI , MI .由于 PC ∥MN , P , C , M , N 共圆,故 PCMN 是等腰梯 形.因此 NP ? MC , PM ? NC .
P N I T A C M

B

连 AM , CI ,则 AM 与 CI 交于 I ,因为 ?MIC ? ?MAC ? ?ACI ? ?MCB ? ?BCI ? ?MCI ,所以 MC ? MI .同理 NC ? NI . 于是 NP ? MI , PM ? NI . 故四边形 MPNI 为平行四边形.因此 S△PMT ? S△PNT (同底,等高) . 又 P , N , T , M 四点共圆,故 ?TNP ? ?PMT ? 180? ,由三角形面积公式 1 1 1 S△PMT ? PM ? MT sin ?PMT ? S△PNT ? PN ? NT sin ?PNT ? PN ? NT sin ?PMT 2 2 2 于是 PM ? MT ? PN ? NT . ⑵因为 ?NCI1 ? ?NCA ? ?ACI1 ? ?NQC ? ?QCI1 ? ?CI1 N ,

1 ? n k ? 二、求证不等式: ?1 ? ? ? 2 ? ? ln n ≤ , n ? 1 ,2,… 2 ? k ?1 k ? 1 ?

三、设 k , l 是给定的两个正整数.证明:有无 穷多个正整数 m ≥ k ,使得 Ck m 与 l 互素. 【解析】
l? ?1 . 证法一:对任意正整数 t ,令 m ? k ? t ? l ? (k !) .我们证明 ? Ck m,

设 p 是 l 的任一素因子,只要证明:p/ ∣ Ck m .

四、在非负数构成的 3 ? 9 数表 ? x11 x12 x13 x14 x15 x16 x17 x18 x19 ? ? ? P ? ? x21 x22 x23 x24 x25 x26 x27 x28 x29 ? ?x x x x x x x x x ? ? 31 32 33 34 35 36 37 38 39 ? 中每行的数互不相同, 前 6 列中每列的三数之和为 1,x17 ? x28 ? x39 ? 0 ,x27 ,x37 ,x18 ,
x38 , x19 , x29 均大于.如果 P 的前三列构成的数表

? x11 x12 x13 ? ? ? S ? ? x21 x22 x23 ? ?x x x ? ? 31 32 33 ?
? x1k ? ? ? 满足下面的性质 (O) :对于数表 P 中的任意一列 ? x2 k ? ( k ? 1 ,2,…,9)均存在某个 ?x ? ? 3k ? i ? ?1,2 , 3? 使得

⑶ xik ≤ ui ? min ?xi1 ,xi 2 ,xi 3 ? . 求证: (ⅰ)最小值 ui ? min ?xi1 ,xi 2 ,xi 3? , i ? 1 ,2,3 一定自数表 S 的不同列.
? x1k * ? ? ? (ⅱ)存在数表 P 中唯一的一列 ? x2 k * ? , k * ≠1 ,2,3 使得 3 ? 3 数表 ? ?x ? ? ? 3k* ? ? x11 x12 x1k * ? ? ? S ? ? ? x21 x22 x2 k * ? ? ? x31 x32 x ? ? 3k * ? ? 仍然具有性质 (O) .

【解析】

(ⅰ)假设最小值 ui ? min ?xi1 ,xi 2 ,xi 3 ? ,i ? 1 ,2,3 不是取自数表 S 的

不同列.则存在一列不含任何 ui .不妨设 ui ≠ xi 2 , i ? 1 ,2,3.由于数表 P 中同一行中的 任何两个元素都不等,于是 ui ? xi 2 , i ? 1 ,2,3.另一方面,由于数表 S 具有性质 (O) ,在
3? 使得 xi0 2 ≤ ui0 .矛盾. ⑶中取 k ? 2 ,则存在某个 i0 ? ?1,2 ,

(ⅱ)由抽届原理知, min ? x11 ,x12 ? , min ?x21 ,x22 ? , min ?x31 ,x32 ? 中至少有两个值取在

同一列.不妨设 min ? x21 ,x22 ? ? x22 , min ?x31 ,x32 ? ? x32 .由前面的结论知数表 S 的第一列

一定含有某个 ui ,所以只能是 x11 ? u1 .同样,第二列中也必含某个 ui , i ? 1 ,2.不妨设
x22 ? u2 .于是 u3 ? x33 ,即 ui 是数表 S 中的对角线上数字.

? x11 x12 x13 ? ? ? S ? ? x21 x22 x23 ? ?x x x ? ? 31 32 33 ?

下证唯一性.设有 k ? M 使得数表 ? x11 x12 x1k ? ? ? ? S ? ? x21 x22 x2 k ? ?x x x ? ? 31 32 3k ? 具有性质 (O) ,不失一般性,我们假定 ⑷ u2 ? min ?x21 ,x22 ,x23 ? ? x22
u3 ? min ?x31 ,x32 ,x33 ? ? x33
x32 ? x31 .
?1 ? min ? x ,x ,x ? ? x .又由(ⅰ)知:或者 由于 x32 ? x31 , x22 ? x21 及(ⅰ) ,有 u 11 12 1k 11 ? ? (a) u 3 ? min ? x31 ,x32 ,x3k ? ? x3k ,或者 (b)u 2 ? min ? x21 ,x22 ,x2 k ? ? x2 k . ? 具有性质 (O) ,则 如果 (a) 成立,由数表 S ?1 ? min ? x ,x ,x ? ? x , u 11 12 1k 11 ? ⑸ u 2 ? min ? x ,x ,x ? ? x ,
21 22 2k 22

u1 ? min ?x11 ,x12 ,x13 ? ? x11

? 3 ? min ? x ,x ,x ? ? x . u 31 32 3k 3k
?i ≥ x . ? 满足性质 (O) , 3? 使得 u 由数表 S 则对于 3 ? M 至少存在一个 i ? ?1,2 , 由 k* ? I ik *

?1 , x ? x ? u ? 3 .于是只能有 x ≤ u ? 2 ? x .类似地,由 S ? 满 及⑷和⑹式知, x1k * ? x11 ? u 32 2k 3k * 2k*

? ? x2k* .从而 k * ? k . 足性质 (O) 及 k ? M 可推得 x2k ≤ u2

\

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第29讲 2009年全国高中数学联赛试题及详细解析

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