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福建四地六校联考2013-2014学年上学期第三次月考高一数学试卷

时间:2013-12-24


“四地六校”联考

2013-2014 学年上学期第三次月考 高一数学试题
(考试时间:120分钟
一、

总分:150分)
( )

选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,计 60 分,每小题只有一个答案是正确的)

1. 已知集合 M ? x ? Z 2 x

? 6 ? 0 , N ? ?1, 2,3, 4? ,则 M ? N ? A. ?1, 2,3? B. ?2, 3, 4? C. ?2,3? D. ?1, 2?

?

?

2. sin 1, cos1 , tan1的大小关系是 A. sin 1< tan1< cos1 C. tan1< sin 1< cos1

( B. sin 1< cos1 < tan1 D. cos1 < sin 1< tan1 ( D. ?



3、已知角α 的终边过点 P(-3,4),则 cosα = A. ?



3 5

B. ?

3 4

C.

4 5

4 3
( )

4.函数

y ? 2 x ?1 的图象是

1 5. 若 ? ? ? ? ?3?

x?1

? 9 ,则 x 的取值范围是
B. ? ??, 2 ?
2

( C. ? ??, ?1? D. ? 2, ?? ?

)

A. ? ?1, ?? ?

6.如果函数 f ( x) ? x ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间 ? ??, 4? 上单调递减,那么实数 a 的取值范( A. a ? ?3 B. a ? ?3 C. a ? 5 D. a ? 5 ( )



7.下列函数中,周期为 ? 且图像关于直线 x ?

?
3

对称的函数是

? A、 y ? sin(2 x ? )
6

x ? B、 y ? 2sin( ? ) 2 3

? x ? C、 y ? sin(2 x ? ) D、 y ? 2sin( ? )
6 2 3

8. 若 2 弧度的圆心角所对的弦长为 4,则这个圆心角所对的弧长为





A. 2 sin

1 2

B.

4 sin1

C. 4 cos

1 2

D.

2 cos1

“六校联考”第三次月考高一数学试卷第 1 页 共 8 页

9. 函数 y ? sin(2 x ?

), x ? R 的图像经过怎样平移可得 y ? sin(2 x ? ), x ? R 的图像( 4 4 ? ? A. 向右平移 个单位 B. 向左平移 个单位 8 8 ? ? C. 向右平移 个单位 D. 向左平移 个单位 4 4 1 10、若 tan ? ? ? ,并且 ? 是第二象限角,那么 sin ? 的值为 ( ) 2 5 2 5 5 A、 ? B、 C、 ? D、 5 5 5 5 5 11.若 sin ? ? 2cos ? ? 0 ,则 2 sin 2 ? ? 3 sin ? cos? ? 5 cos2 ? +2 的值为 ( ) 5 1 7 3 A、 B、 ? C、 D、 ? 3 3 5 5 ? x ? 1 (0 ? x ? 1) ? 12. 已知函数 f ( x) ? ? x 1 , ?2 ? 2 ( x ? 1) ?
设 a ? b ? 0 ,若 f (a) ? f (b) ,则 b ? f (a) 的取值范围是 A. ( ??, ] ( )

?

?



1 4

B. ? , 2 ?

?3 ?4

? ?

C. ( ?

3 1 3 , ] D. (? , ??) 4 4 4

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,计 16 分) 13. sin 300 ?
0

14.若 cos ? ≤ ? 且 ? ? ? 0, 2? ? ,写出角 ? 的集合
1 2

15. 设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(3)=5,求满足 f(-3)= 16. 关于函数 f(x)=4sin(2x+
? ) (x∈R) ,有下列命题:其中正确的序号为 3

①若 f(x1)=f(x2)=0,则 x1-x2 必是 ? 的整数倍; ②y= f(x)的表达式可改写为 y=4cos(2x③y= f(x)的图象关于点(-

? ,0)对称; 3 5? ④y= f(x)的图象向右平移 个单位后的图像所对应的函数是偶函数; 12 5? ⑤当 x ? ? ? k? , k ? Z 时,函数有最小值-4. 12
“六校联考”第三次月考高一数学试卷第 2 页 共 8 页

? );? 6

三、解答题(共 6 题,满分 74 分) 17.(本小题满分 12 分) 已知函数

f ( x) ? l o g 0.5 (4 ? 2 x) ,

(Ⅰ)求函数 f(x)的定义域; (Ⅱ)判断并证明函数 y ? f (x ) 在定义域上的单调性;

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin( x ? (1)求 f (

?

8? ) 的值; 3

3 ) ? sin 2 x ? , x ? R 2 4

(2)当 x 取什么值时,函数 f(x)有最大值,是多少?

19. (本小题满分 12 分) 已知 a>0,函数 f(x)=2asin (2 x ?

?
6

) +2a+b, x ? R ;

(1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)当 x∈ ?0,

? ?? 时,-5≤f(x)≤1,求常数 a,b 的值? ? 2? ?

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3sin( x ?

1 2

?
3

), x ? R

(1)用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图; (2)说明函数 f(x)的图像可由 y ? sin x, x ? R 的图像经过怎样的变化得到?

“六校联考”第三次月考高一数学试卷第 3 页 共 8 页

21. (本小题满分 12 分) 在每年的“春运”期间,某火车站经统计每天的候车人数 y(万人)与时间 t(小时) ,近似满足 函数关系式 y ? 6sin(?t ? ? ) ? 10, ? ? 0, ? ? ? , t ? ? 0, 24? ,并且一天中候车人数最少是夜晚 2 点钟,最多是在下午 14 点钟。 (1)求函数关系式? (2)当候车人数达到 13 万人以上时,车站将进入紧急状态,需要增加工作人员应对。问在一天 中的什么时间段内,车站将进入紧急状态?

22. (本小题满分 14 分) 已知 a ? 0 且 a ? 1 ,函数 f ( x) ? log a ( x ? 1) , g ( x) ? log a (1)求函数 F (x) 的定义域 D 及其零点; (2)试讨论函数 F (x) 在定义域 D 上的单调性; (3)若关于 x 的方程 F ( x) ? 2m 2 ? 3m ? 5 ? 0 在区间 [0, 1) 内仅有一解,求实数 m 的取值范围.

1 ,记 F ( x) ? 2 f ( x) ? g ( x) 1? x

“六校联考”第三次月考高一数学试卷第 4 页 共 8 页

“四地六校”联考

2013-2014 学年上学期第三次月考高一数学参考答案
一、选择题: 本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分 1 2 3 4 5 6 7 题号 D D A A C A A 答案 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分 13. ? 8 B 9 C 10 D 11 C 12 B

3 2

14. ?

? 2? 4? ? , ? 3 3 ? ?

15.-5

16. ○④⑤ 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2分 17.解:(1) 由 4 ? 2 x ? 0 得: x ? 2 所以,函数 f(x)的定义域是 x x ? 2

? ? ? ?3分

?

?

? ? ? ?5分 ? ? ? ?6分

(2) 函数 f(x)在定义域 x x ? 2 上是增函数 证明:设 ?x1 ? x2 ? 2, 有:

?

?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? log 0.5
∵ ?x1 ? x2 ? 2, ∴

2 ? x1 2 ? x2

? ? ? ?7分
∴ 2 ? x1 ? 2 ? x2 ? 0

∴ ? x1 ? ? x2 ? ?2

2 ? x1 ?1 2 ? x2

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?9分

所以 log 0.5

2 ? x1 ? 0 , 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 2 ? x2

? ? ? ? ? ? 11 分
? ? ? ? 12 分 ? ? ? ?? ?1分 ??? ?? ?3分 ? ? ? ? ?6分

所以,函数 f(x)在定义域 x x ? 2 上是增函数 18. 解: (1) f ( x) ? sin( = sin =

?

?

13? 8? 3 ) ? sin 2 ? 6 3 4

?
6

? sin 2

?
3

?

3 4

1 3 3 ? ? ?2 2 4 4

(2) ? f ( x) ? ? cos x ? 1 ? cos x ?
2

3 4

? ? ? ?? ?8分

“六校联考”第三次月考高一数学试卷第 5 页 共 8 页

= ?(cos x ? ) 2 ? 2 ∴当 cos x ? ?

1 2

??????9分 ? ? ? ? ? ? 11 分 ? ? ? ? ? ? 12 分

1 2? ,即 x ? ? ? 2k? , k ? Z 时, 2 3

f(x)有最大值为 2 19. 解(1)由: 2k? ? 得: k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

?

?
2

? 2k? , k ? Z ? ? ? ? ? ? ? ? 2 分
???????4分

?
6

?x?

?
3

? k? , k ? Z

?函数 f(x)的单调递增区间为: [k? ?
(2)? 0 ? x ? ∴?

? ?

, ? k? ], k ? Z ? ? ? ? 6 分 6 3
?? ? ? ? ?? ?7分 ????????9分

?
2

??

?
6

? 2x ?

?
6

?

5? 6

1 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 6

∵a>0,-5≤f(x)≤1, ∴?

? 2a ? 2a ? b ? 1 ?a ? 2 ?? ??a ? 2a ? b ? ?5 ?b ? ?7

? ? ? ? ? ? ? ? 12 分

20.解(1):①列表:
1 ? x? 2 3

0

? 2
5? 3
3

?
8? 3
0

3? 2 11? 3
-3

2?
14? 3
0

x y

2? 3
0

?? ??? ?? ?2分
②在坐标系中描出以上五点 ③ 用光滑的曲线连接这五点,得所要求作的函数图像

? ? ? ?? ?6分

“六校联考”第三次月考高一数学试卷第 6 页 共 8 页

y 3

·
2? · 3
5? 3

8? 3

11? · 3

·

14? 3

x

-3

·
? 个单位,所得图像 3
? ? ? ? ? ? ? ?8分

(2) ①把 y ? sin x, x ? R 的图像向右平移 对应的析式为 y ? sin( x ? ②再把 y ? sin( x ?

?
3

)

?
3

) 的图像纵坐标不变,横坐标伸长为原来的 2 倍,所得图像
1 2

对应的解析式为 y ? sin( x ? ③再把 y ? sin( x ?

?
3

)

? ? ? ? ? ? ? 10 分

1 2

?
3

) 的图像横坐标不变,纵坐标伸长为原来的 3 倍,所得图像的

解析式为 f ( x) ? 3sin( x ? 21.解:⑴(1)由题意知 解得: ? ? 即: y ? 6sin(

1 2

?
3

), x ? R

? ? ? ? ? ? ? ? 12 分

?
12

T 2? ? 12 ? T ? 24 ? T ? ? 24 ???????2 分 2 ?

?

12

t ? ? ) ? 10, t ? ? 0, 24?

??????3 分

又∵当 t ? 2 时, sin( ∴? ? ?

?
6

? ? ) ? ?1, ? ? ?
?????5 分

2? ) ? 10, t ? ?0, 24? 12 3 ? 2? (2)问题等价于, y ? 6sin( t ? ) ? 10 ? 13 12 3 ? 2? 1 即 sin( t ? )? 12 3 2 ? ? 2? 5? ∴ ? t? ? ? 10 ? t ? 18 6 12 3 6
∴ y ? 6sin(

2? 3

?

t?

?????6 分 ?????7 分 ?????9 分 ???????11 分

答:一天中 10~18 点,车站将进入紧急状态。 22.解: (1)解: (1) F ( x) ? 2 f ( x) ? g ( x) ? 2 log a ( x ? 1) ? log a

1 ( a ? 0 且 a ? 1) 1? x

“六校联考”第三次月考高一数学试卷第 7 页 共 8 页

?x ? 1 ? 0 ,解得 ? 1 ? x ? 1 , ? ?1 ? x ? 0 所以函数 F (x) 的定义域为 (?1, 1)
令 F (x) ? 0 ,则 2 log a ( x ? 1) ? log a 解得 x1 ? 0 , x2 ? ?3

???????2 分

1 ? 0 ??(*)方程变为 1? x log a ( x ? 1) 2 ? log a (1 ? x) , ( x ? 1) 2 ? 1 ? x ,即 x 2 ? 3 x ? 0
???????3 分

经检验 x ? ?3 是(*)的增根,所以方程(*)的解为 x ? 0 , 所以函数 F (x) 的零点为 0 , ???????4 分 (2)∵函数 y ? x ? 1, y ?

1 在定义域 D 上是增函数 1? x
1 1? x

∴①当 a ? 1 时,由复合函数的单调性知:函数 f ( x) ? log a ( x ? 1) , g ( x) ? log a 在定义域 D 上是增函数 ∴函数 F ( x) ? 2 f ( x) ? g ( x) 在定义域 D 上是增函数

???????6 分

②当 0 ? a ? 1时,由复合函数的单调性知:函数 f ( x) ? log a ( x ? 1) , g ( x) ? log a 在定义域 D 上是减函数 ∴函数 F ( x) ? 2 f ( x) ? g ( x) 在定义域 D 上是减函数
2

1 1? x

???????8 分

(3)问题等价于关于 x 的方程 2m ? 3m ? 5 ? F ( x) 在区间 [0, 1) 内仅有一解,??9 分 ∴①当 a ? 1 时,由(2)知,函数 F(x)在 [0, 1) 上是增函数 ∴ F ( x) ? ? 0, ?? ? ∴只需 2m ? 3m ? 5 ? 0
2

解得: m ? ?1, 或 m ? ∴ F ( x) ? ? ??, 0?

∴②当 0 ? a ? 1时,由(2)知,函数 F(x)在 [0, 1) 上是减函数 ∴只需 2m ? 3m ? 5 ? 0
2

5 2

???????11 分

解得: ?1 ? m ?

5 2

???????13 分

综上所述,当 0 ? a ? 1时: ?1 ? m ?

5 5 ;当 a ? 1 时, m ? ?1, 或 m ? 2 2
???????14 分

“六校联考”第三次月考高一数学试卷第 8 页 共 8 页


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