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函数概念表示及函数基本性质(高考数学专题)


函数概念与表示
一. 【课标要求】
1.了解映射,函数的概念,会求一些简单函数的定义域和值域; 2. 了解简单的分段函数,并能简单应用; 3.通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性、最大(小)值及 其几何意义;结合具体函数,了解奇偶性的含义; 4.学会运用函数图象理解和研究函数的性质

二. 【要点精讲】
1.映射的概念

一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对 于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么 就称对应 f:A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f:A ? B” 。 2.函数的概念: 设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的 任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为 从集合 A 到集合 B 的一个函数。记作:y=f(x),x∈A。其中,x 叫做自变量,x 的取 值范围 A 叫做函数的定义域; 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值, 函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。 3.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 求函数的值域是比较困难的数学问题,中学数学要求能用初等方法求一些简 单函数的值域问题 ①配方法(将函数转化为二次函数) ;②判别式法(将函数转化为二次方程) ; ③不等式法(运用不等式的各种性质) ;④函数法(运用基本函数性质,或抓住函 数的单调性、函数图象等) 。 4.两个函数的相等:定义域和对应法则都分别相同 5.区间 6.常用的函数表示法 (1)解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫 做函数的解析表达式,简称解析式; (2)列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系; (3)图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系

7.分段函数 若一个函数的定义域分成了若干个子区间,而每个子区间的解析式不同,这种 函数又称分段函数; 8.复合函数 若 y=f(u),u=g(x),x?(a,b),u?(m,n),那么 y=f[g(x)]称为复合函数,u 称为中间 变量,它的取值范围是 g(x)的值域 4、函数解析式的常见求法有: (1)配凑法.已知 f [h(x)]=g(x),求 f(x)的问题,往往把右边的 g(x)整理成或配凑成只含 h(x)的式子,用 x 将 h(x)代换. (2)待定系数法.若已知函数的类型(如一次函数、二次函数) ,比如二次函数可设 为 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),其中 a、b、c 是待定系数,根据题设条件列出方程组,解出 a、 b、c 即可. (3)换元法.已知 f [h(x) ]=g(x),求 f(x)时,往往可设 h(x)=t,从中解出 x,代入 g(x)进行 换元,便可求解. (4)方程组法.已知 f(x)满足某个等式,这个等式除 f(x)是未知量外,还有其他未知量,

?1? f? ? ? x ? 等,必须根据已知等式再构造其他等式组成方程组 ,通过解方程组求出 如
f(x). 例 1. 设 A ? ?x | 0 ? x ? 2?, B ? ? y |1 ? y ? 2?, 在下图中 , 能表示从集合 A 到集合

B 的映射是 y
2 1 1 2

y
2 1

y

y
2 1 1 2

O

1

2

x

O

A.

1

2

x

O

x

O

B.

C.

D.

1

2

x

例 2、下列函数中哪个与函数 y=x 相等?

1

(1)y = ( x )2 ;
例 3.求定义域:

(2)y = ( 3 x 3 ) ;

(3)y = x 2 ;

(4)y=

x2 x

1.已知函数 f ( x) , g ( x) 分别由下表给出:

x
1 1 x
1 2? x

1 1

2
3

3
1

x
g ( x)

1

2 2

3
1

② f ( x) ?

1?
③ f(x) = ④ f(x) =

f ( x)

3

x ?1 +
x?4 x?2

则 f [ g (1)] 的值为

;满足 f [ g ( x)] ? g[ f ( x)] 的 x 的值是

2.已知函数 f ( x) ? x 2 ? | x ? 2 |, 则f (1) ? 3. 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ? A.-1 B. -2

例 4. 求函数的解析式 (1)若 f (2 x ? 1) ? x 2 ,求 f ( x) (2) .若 f ( x ? 1) ? 2 x ? 1,求 f ( x)
2

x?0 ?log2 (4 ? x), , 则( f 3) 的( ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0
D. 2

)

C.1

(3).若一次函数 f ( x) 满足 f [ f ( x)] ? 1 ? 2 x ,求 f ( x)

?3x , x ? 1, 4. 已 知 函 数 f ( x) ? ? 若 f ( x) ? 2 , 则 x ? ?? x, x ? 1,
5. 列函数中,与函数 y ? A . f ( x) ? ln x

.

1 有相同定义域的是 x
1 x
C. f ( x) ?| x | D. f ( x) ? e
x

B. f ( x) ?

例 4.求下列函数的值域: (1) y ? 3x ? x ? 2 ;
2

(2) y ? ? x2 ? 6x ? 5 ; (3) y ?

3x ? 1 ; x?2

6. 数 y ?

? x 2 ? 3x ? 4 的定义域为 x A. [?4,1] B. [?4, 0) C. (0, 1]

D. [?4, 0)

(0, 1]

g ( x) ? 4 x ? 5 , 例 5. 设 f ( x) ? 2 x ? 3 , 若 f [h( x)] ? g ( x) 则 h( x) ? _____.

7. 画出下列函数图象并有图象观察起定义域和值域。 (1) y ? x ? 3 (2) y ? 2x ? 3

2

函数基本性质
一. 【课标要求】
1.通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性、最大(小)值及 其几何意义; 2.函数的单调性,奇偶性,周期性以及最值。

二. 【要点精讲】
1.奇偶性 (1)定义:如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(-x)=-f(x),则称 f(x) 为奇函数;如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(-x)=f(x),则称 f(x)为偶函 数。 (2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: 1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; ○ 2 确定 f(-x)与 f(x)的关系; ○ 3 作出相应结论: ○ 若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数; 若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数 (3)简单性质: ①图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称; 一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 y 轴对称; ②设 f ( x) , g ( x) 的定义域分别是 D1 , D2 ,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,偶+偶=偶,偶 ? 偶=偶,奇 ? 偶=奇 ③若奇函数的定义域包含 0,则 f(0)=0 2.单调性 (1)定义:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个 区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2)) ,那么 就说 f(x)在区间 D 上是增函数(减函数) ; (2)利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤: 1 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; ○ 2 作差 f(x1)-f(x2); ○ 3 变形(通常是因式分解和配方) ○ ;

4 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ○ ; 5 下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) ○ 。 (3)简单性质 ①奇函数在其对称区间上的单调性相同; ②偶函数在其对称区间上的单调性相反; (4)复合函数的单调性结论: “同增异减” 3.最值 (1)定义: 最大值:最小值: (2)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值 4.周期性定义:如果存在一个非零常数 T,使得对于函数定义域内的任意 x,都有

f(x+T)= f(x),则称 f(x)为周期函数;
例 1. 判断奇偶(1) f ( x) ? x2

x ?[?1, 2]

(2) f ( x) ?

x3 ? x 2 x ?1

例 2. 奇函数 f ( x) 的定义域为 ? ?5, 5? 若当 x ??0, 5? 时,

f ( x) 的图象如右图,则不等式 f ( x) ? 0 的解是

y
? O
例 3. 函数 y==x2-6x+10 在区间(2,4)上是( A.递减函数 C.先递减再递增

y ? f ( x)

? 2

5

? x



B.递增函数 D.选递增再递减.

3

例 4.函数 y=

1 的单调区间为___________. x+1

4. 若函数 f ( x) ? x2 ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间 ? ??, 4? 上是减函数,则实数 a 的取值 范围是( )

A.

??3, ???

B.

? ??, ?3?

C.

? ??,3?

D.

?3, ?? ?

5. 设 f ( x) 是定义在 R 上以 6 为周期的函数, f ( x) 在 (0,3) 内单调递减,且

y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 3 对称,则下面正确的结论是 (
例 5. 已知奇函数 f ( x) 在 ? 0, ?? ? 单调递增,且 f (3) ? 0 ,则不等式 xf ( x) ? 0 的 解集是

)

A. f (1.5) ? f (3.5) ? f (6.5)

B. f (3.5) ? f (1.5) ? f (6.5) D. f (3.5) ? f (6.5) ? f (1.5)

C. f (6.5) ? f (3.5) ? f (1.5)

6. 已知 f ( x) ? ax7 ? bx5 ? cx3 ? dx ? 5 , 其中 a, b, c, d 为常数, 若 f (?7) ? ?7 , 则 f (7) ? _______ 例 6. 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x ),则 f (6) 的值为 7. 设 f ( x) 的最小正周期 T ? 2 且 f ( x) 为偶函数,它在区间 ? 0, 1? 上 的图象如右图所示的线段 AB ,则在区间 ?1, 2? 上, f ( x) ? y A

A. ?1

B. 0

C. 1

D. 2

? 2 1?
0

?B
1

2 x

1. 已知 y ? f ( x) 为奇函数,若 f (3) ? f (2) ? 1 ,则 f (?2) ? f (?3) ? 2. 已知函数 f ? x ? ? a ?
2

x

1 , ,若 f ? x ? 为奇函数,则 a ? 2 ?1
x

3. 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c , x ???2a ? 3, 1? 是偶函数,则 a ? b ?
4


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