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2016-2017学年高中数学第三章导数及其应用3.3.1函数的单调性与导数高效测评新人教A版选修1-1资料

时间:2017-03-18


2016-2017 学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.1 函数的单调 性与导数高效测评 新人教 A 版选修 1-1

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.下列函数中,在区间(-1,1)上是减函数的是( A.y=2-3x C.y= 1
2

)

B.y=ln x D.y=sin x 1 -1 ,其导数 y′= 2<0,且函数在区间(-1,1)上有意 x-2 ?x-2?

x-2

解析: 对于函数 y= 义,所以函数 y= 答案: C

1 在区间(-1,1)上是减函数,其余选项都不符合要求,故选 C. x-2

2.若在区间(a,b)内有 f′(x)>0,且 f(a)≥0,则在(a,b)内有( A.f(x)>0 C.f(x)=0 B.f(x)<0 D.不能确定

)

解析: ∵f′(x)>0,∴f(x)在(a,b)内单调递增.∴f(x)>f(a)≥0,即 f(x)>0. 答案: A 3.函数 f(x)=ax -x 在 R 上为减函数,则( A.a≤0 C.a<2
2 3

)

B.a<1 1 D.a≤ 3

解析: f′(x)=3ax -1,∵f(x)在 R 上为减函数, ∴f′(x)≤0 在 R 上恒成立, ∴a≤0,经检验 a=0 符合题意,故选 A. 答案: A 4.设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数 y=f′(x)的图象 可能为( )

1

解析: 由 f(x)的图象知 f(x)在(-∞,0)上单调递增, ∴f′(x)>0,排除 A,C. 当 x>0 时,f(x)先增又减后又增, ∴f′(x)的图象应先在 x 轴上方又下方后又上方,故 D 正确. 答案: D 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.命题甲:对任意 x∈(a,b),有 f′(x)>0;命题乙:f(x)在(a,b)内是单调递增的, 则甲是乙的________条件. 解析: f(x)=x 在(-1,1)内是单调递增的,但 f′(x)=3x ≥0(-1<x<1),故甲是乙 的充分不必要条件. 答案: 充分不必要 6.若函数 f(x)=x +ax+8 的单调减区间为(-5,5),则 a 的值为________. 解析: f′(x)=3x +a,∵f′(x)<0 的解为-5<x<5, ∴3×5 +a=0,∴a=-75. 答案: -75 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.求下列函数的单调区间: 2 3 2 (1)y= x -2x +3; 3 (2)y=ln(2x+3)+x . 解析: (1)函数的定义域为 R.
2 2 2 3 3 2

y′=2x2-4x=2x(x-2).令 y′>0,则 2x(x-2)>0,解得 x<0 或 x>2.所以函数的单调
递增区间为(-∞,0),(2,+∞). 令 y′<0,则 2x(x-2)<0,解得 0<x<2,所以函数的单调递减区间为(0,2).

? 3 ? 2 (2)函数 y=ln(2x+3)+x 的定义域为?- ,+∞?. ? 2 ?
y′=
= 2 4x +6x+2 +2x= 2x+3 2x+3
2

2?2x+1??x+1? . 2x+3

3 1 令 y′>0,解得- <x<-1 或 x>- . 2 2

2

? 3 ? ? 1 ? 所以函数的单调递增区间为?- ,-1?,?- ,+∞?. ? 2 ? ? 2 ?
1 令 y′<0,解得-1<x<- , 2 1? ? 所以函数的单调递减区间为?-1,- ?. 2? ? 8.已知函数 f(x)=ln(2-x)+ax 在区间(0,1)上是增函数,求实数 a 的取值范围. 1 解析: f′(x)=a- , 2-x ∵f′(x)≥0 在(0,1)上恒成立, 1 ∴a≥ . 2-x 又∵0<x<1,1<2-x<2, 1 1 ∴ < <1. 2 2-x ∴a≥1.

9.(10 分)求证:x>1 时,x>ln(1+x). 证明: 设 f(x)=x-ln(1+x), 则 f′(x)=1- 1 x = , 1+x 1+x

∵x≥1 时,f′(x)>0, ∴f(x)在[1,+∞)上是增函数, ∴当 x>1 时,f(x)=x-ln(1+x)>f(1)=1-ln 2>1-ln e=0, ∴f(x)>0,即 x>ln(1+x)(x>1).

3


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