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学案5 均值不等式(文理)


高三数学导学案
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均值不等式及应用
一、

目标要求

了解基本不等式的证明过程, 会用基本不等式解决简单的最大 (小) 值问题。

二、知识梳理

1、均值不等式 ab ? ① a>0,b>0

a?b 的成立的条件 2

a?b 中的等号成立。 2 2、利用均值不等式求最大(小)值问题时,要注意以下三点: a?b 中a ? 0, b ? 0, 及各项均为正数。 ① ab ? 2 ②只有和 a+b 为定值时,积 ab 才有最大值;只有积 ab 为定值时,和 a+b 才有最小值 a?b a?b ③只有 a=b 时, ab ? 中的等号才成立,即只有 a=b 时, 才能 2 2 a?b . 即“一正, 取得最小值 ab ;只有 a=b 时, ab 才能取得最大值 2 二定,三相等” 。

② 当且仅当 a=b 时 ab ?

三、基础训练 1、下列函数中,最小值是 4 的是 ( A. f ( x) ? x ?
x



4 x
?x

B. f ( x ) ? sin x ?

4 sin x

C. f ( x) ? 3 ? 4 ? 3

D. f ( x) ? lg x ? logx 10 )

2、若正数 a,b 满足 ab=a+b+3,则 a+b 的取值范围是( A. [9,??) B. [6,??) C.(0,9]

D.(0,6)

3、 给出下列不等式:1) ? 1 ? 2a ;2) ? 4 ? 4a ;3) ? ( a ( a (
2 2

b a

2a 2 b 2 a ? ab . ( ? 2 ;4) 2 b a ? b2

其中恒成立的是( ) A.(1) (4) B.(4) (3) C.(2) (3) D.(1) (2)

四、典例精析
例 1 求 f ( x) ?

1 ? x 的值域。 x?2

1

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变式训练:设 x>-1,求函数 y ?

( x ? 5)( x ? 2) 的最值。 x ?1

例 2、如图,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影 部分) ,这两栏的面积之和为 18000cm2,四周空白的宽度为 10cm,两栏之间的中缝空白的宽 度为 5cm,怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位:cm) ,能使矩形广告面积最小?

五、当堂检测
1.函数 f(x)=

2 x 的最大值为( )(A) 5 x ?1


(B)

1 2

(C)

2 2

(D)1

2.已知 a>b>0,则下列不等式成立的是( A.a>b>

a?b ? 2

ab

B.a>

a?b ? 2
2

ab >b

C.a>

a?b ? b> 2

ab

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a?b >b 2 1 1 1 3.设 M=( ? 1)( ? 1)( ? 1) ,且 a+b+c=1(a,b,c ? R ?), 则 M 的取值范围是( a b c 1 1 A.[0, ] B. ( ,1) C.[1,8] D.[8,+ ? ) 8 8
D.a> ab ? 4.若直线 2ax-by+2=0(a,b>0)过圆 A.



x ?y
2

2

则 ( ? 2x ? 4y ? 1 ? 0 的圆心, ab 的最大值是 D.2



1 4

B.

1 2

C.1

六、体验高考
1、 (2007,山东)函数 y ? loga ( x ? 3) ? 1(a ? 0, a ? 1) 的图像恒过定点 A,若定点 A 在直 线 mx+ny+1=0 上,其中 mn>0,则

1 1 ? 的最小值为 m n

.

?3x ? y ? 6 ? 0 ? 2 、 2009 , 山 东 理 ) 设 x 、 y 满 足 约 束 条 件 ? x ? y ? 2 ? 0 , 若 目 标 函 数 ( ? x ? 0, y ? 0 ?

z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 的最大值为 12,则
A.

2 3 ? 的最小值为( a b



25 6

B.

8 3

C.

11 3

D.4

七、课后作业
1.已知 x>1,y>1,且 lgx+lgy=4,则 lgx ? lgy 的最大值是( A.4 B.2 C.1 ) D.

1 4 1 x a?b 2 ab * ) ,G= f ( ab) ,H= f ( ), 2.已知 f(x)= ( ) ,a,b ? R ,A= f ( 2 2 a?b
则 A,G,H 的大小关系是 ( ) A. A ? G ? H B. A ? H ? G C. G ? H ? A 3、若 a, b ? R ,则
*

D. H ? G ? A

2 ab a?b a2 ? b2 、 ab 、 、 的大小关系 a?b 2 2
(由小到大) .



? 2sin 2 x ? 1 4、设 x ? (0, ) ,则函数 y ? 的最小值为 2 sin 2 x
* 5、已知:a,b 是正常数,x,y ? R ,且 a+b=10,

a b ? ? 1, x+y 的最小值为 18,求:a、b 的 x y

3

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值。

6、甲、乙两地相距 s 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 c 千米/时,已知汽 车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 v(千米 /时)的平方成正比,比例系数为 b;固定部分为 a 元。 (1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(千米/时) 的函数,并指出这个函数的定义域。 (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?

4


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